Страница 8 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

22. Определите проекции векторов перемещения на ось x (рис. 4, а) и ось y (рис. 4, б).

Рис. 4

Дано:

Графики векторов перемещения на координатных плоскостях (рис. 4, а и рис. 4, б).

Масштаб по осям x и y указан на рисунках в метрах (м).

Найти:

Проекции векторов на оси x ($s_x$) и y ($s_y$) для каждого вектора.

Решение:

Проекция вектора перемещения на координатную ось равна разности координат конца и начала вектора на этой оси. Если вектор начинается в точке с координатами $(x_{нач}, y_{нач})$ и заканчивается в точке с координатами $(x_{кон}, y_{кон})$, то его проекции на оси x и y вычисляются по формулам:

$s_x = x_{кон} - x_{нач}$

$s_y = y_{кон} - y_{нач}$

Примечание: формулировка вопроса "на ось x (рис. 4, а) и ось y (рис. 4, б)" может быть истолкована как требование найти только проекции на ось x для векторов на рисунке 4, а, и только проекции на ось y для векторов на рисунке 4, б. Для более полного и развернутого ответа мы определим обе проекции ($s_x$ и $s_y$) для всех векторов на обоих рисунках.

рис. 4, а)

Вектор 1: начало в точке (2; 2), конец в точке (0; 2).
Проекция на ось x: $s_{1x} = 0 \text{ м} - 2 \text{ м} = -2 \text{ м}$.
Проекция на ось y: $s_{1y} = 2 \text{ м} - 2 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Ответ: $s_{1x} = -2$ м, $s_{1y} = 0$ м.

Вектор 2: начало в точке (3; 6), конец в точке (3; 4).
Проекция на ось x: $s_{2x} = 3 \text{ м} - 3 \text{ м} = 0 \text{ м}$.
Проекция на ось y: $s_{2y} = 4 \text{ м} - 6 \text{ м} = -2 \text{ м}$.

Ответ: $s_{2x} = 0$ м, $s_{2y} = -2$ м.

Вектор 3: начало в точке (8; 5), конец в точке (5; 5).
Проекция на ось x: $s_{3x} = 5 \text{ м} - 8 \text{ м} = -3 \text{ м}$.
Проекция на ось y: $s_{3y} = 5 \text{ м} - 5 \text{ м} = 0 \text{ м}$.

Ответ: $s_{3x} = -3$ м, $s_{3y} = 0$ м.

Вектор 4: начало в точке (6; 3), конец в точке (4; 1).
Проекция на ось x: $s_{4x} = 4 \text{ м} - 6 \text{ м} = -2 \text{ м}$.
Проекция на ось y: $s_{4y} = 1 \text{ м} - 3 \text{ м} = -2 \text{ м}$.

Ответ: $s_{4x} = -2$ м, $s_{4y} = -2$ м.

рис. 4, б)

Вектор 1: начало в точке (2; 4), конец в точке (5; 1).
Проекция на ось x: $s_{1x} = 5 \text{ м} - 2 \text{ м} = 3 \text{ м}$.
Проекция на ось y: $s_{1y} = 1 \text{ м} - 4 \text{ м} = -3 \text{ м}$.

Ответ: $s_{1x} = 3$ м, $s_{1y} = -3$ м.

Вектор 2: начало в точке (3; -1), конец в точке (5; 0).
Проекция на ось x: $s_{2x} = 5 \text{ м} - 3 \text{ м} = 2 \text{ м}$.
Проекция на ось y: $s_{2y} = 0 \text{ м} - (-1 \text{ м}) = 1 \text{ м}$.

Ответ: $s_{2x} = 2$ м, $s_{2y} = 1$ м.

Вектор 3: начало в точке (1; 1), конец в точке (2; -2).
Проекция на ось x: $s_{3x} = 2 \text{ м} - 1 \text{ м} = 1 \text{ м}$.
Проекция на ось y: $s_{3y} = -2 \text{ м} - 1 \text{ м} = -3 \text{ м}$.

Ответ: $s_{3x} = 1$ м, $s_{3y} = -3$ м.

Вектор 4: начало в точке (-2; -4), конец в точке (-2; -1).
Проекция на ось x: $s_{4x} = -2 \text{ м} - (-2 \text{ м}) = 0 \text{ м}$.
Проекция на ось y: $s_{4y} = -1 \text{ м} - (-4 \text{ м}) = 3 \text{ м}$.

Ответ: $s_{4x} = 0$ м, $s_{4y} = 3$ м.

Вектор 5: начало в точке (-4; 2), конец в точке (0; 3).
Проекция на ось x: $s_{5x} = 0 \text{ м} - (-4 \text{ м}) = 4 \text{ м}$.
Проекция на ось y: $s_{5y} = 3 \text{ м} - 2 \text{ м} = 1 \text{ м}$.

Ответ: $s_{5x} = 4$ м, $s_{5y} = 1$ м.

23. Автобус совершил рейс по маршруту ABC (рис. 5). Определите графически пройденный автобусом путь и модуль перемещения.

Рис. 5

Дано:

Маршрут движения автобуса: A → B → C.

Координаты точек, определённые по графику (рис. 5):

$x_A = 240$ км, $y_A = 160$ км

$x_B = 240$ км, $y_B = 80$ км

$x_C = 40$ км, $y_C = 40$ км

Перевод в систему СИ:
$x_A = 240 \cdot 1000 = 240000$ м
$y_A = 160 \cdot 1000 = 160000$ м
$x_B = 240 \cdot 1000 = 240000$ м
$y_B = 80 \cdot 1000 = 80000$ м
$x_C = 40 \cdot 1000 = 40000$ м
$y_C = 40 \cdot 1000 = 40000$ м

Найти:

Пройденный путь $S$ — ?

Модуль перемещения $|\vec{r}|$ — ?

Решение:

Пройденный автобусом путь

Пройденный путь $S$ — это скалярная величина, равная длине траектории движения. Для маршрута ABC путь равен сумме длин отрезков AB и BC.

$S = L_{AB} + L_{BC}$

Длина отрезка AB определяется по разности y-координат, так как x-координата остается неизменной:

$L_{AB} = |y_A - y_B| = |160 - 80| = 80$ км

Длину отрезка BC найдем по теореме Пифагора, как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами, равными изменениям координат $\Delta x$ и $\Delta y$:

$L_{BC} = \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2}$

$L_{BC} = \sqrt{(240 - 40)^2 + (80 - 40)^2} = \sqrt{200^2 + 40^2} = \sqrt{40000 + 1600} = \sqrt{41600}$ км

Вычислим приближенное значение: $\sqrt{41600} \approx 203.96$ км.

Теперь найдем общий пройденный путь:

$S = 80 \text{ км} + \sqrt{41600} \text{ км} \approx 80 + 203.96 = 283.96$ км

Округлим результат до целого числа: $S \approx 284$ км.

Ответ: пройденный автобусом путь составляет $S \approx 284$ км (или $284000$ м).

Модуль перемещения

Перемещение — это вектор $\vec{r}$, соединяющий начальное (A) и конечное (C) положение тела. Модуль перемещения $|\vec{r}|$ — это длина этого вектора, то есть расстояние по прямой между точками A и C.

Найдем модуль перемещения по теореме Пифагора:

$|\vec{r}| = L_{AC} = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}$

$|\vec{r}| = \sqrt{(240 - 40)^2 + (160 - 40)^2} = \sqrt{200^2 + 120^2} = \sqrt{40000 + 14400} = \sqrt{54400}$ км

Вычислим приближенное значение: $\sqrt{54400} \approx 233.24$ км.

Округлим результат до целого числа: $|\vec{r}| \approx 233$ км.

Ответ: модуль перемещения составляет $|\vec{r}| \approx 233$ км (или $233000$ м).

24. Самолёт пролетел по прямой 400 км, затем повернул под углом 90° и пролетел ещё 300 км. Определите графически пройденный самолётом путь и модуль перемещения.

Дано:

Длина первого участка пути, $d_1 = 400$ км
Длина второго участка пути, $d_2 = 300$ км
Угол поворота, $\alpha = 90^\circ$

Перевод в систему СИ:
$d_1 = 400 \cdot 10^3$ м
$d_2 = 300 \cdot 10^3$ м

Найти:

Пройденный путь $L$ — ?
Модуль перемещения $|\vec{s}|$ — ?

Решение:

Пройденный самолётом путь

Пройденный путь — это скалярная величина, равная длине траектории движения тела. Он вычисляется как сумма длин всех участков, которые пролетел самолёт.
$L = d_1 + d_2$
$L = 400 \text{ км} + 300 \text{ км} = 700 \text{ км}$

Ответ: пройденный самолётом путь составляет 700 км.

Модуль перемещения

Перемещение — это вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории. Модуль перемещения — это длина этого вектора. Для графического определения модуля перемещения построим векторы движения в масштабе.
1. Выберем удобный масштаб, например: 1 см на чертеже равен 100 км в реальности.
2. Из начальной точки А отложим первый вектор $\vec{d_1}$ длиной $400 \text{ км} / 100 \text{ км/см} = 4$ см.
3. Из конца первого вектора (точка В) отложим второй вектор $\vec{d_2}$ под углом $90^\circ$ к первому. Его длина будет равна $300 \text{ км} / 100 \text{ км/см} = 3$ см. Конечная точка — С.
4. Вектор перемещения $\vec{s}$ — это вектор, соединяющий начальную точку А и конечную точку С.
5. Измерим линейкой длину вектора перемещения $\vec{s}$ на чертеже. Она составит 5 см.
6. Переведём полученное значение обратно в километры с учётом масштаба: $|\vec{s}| = 5 \text{ см} \times 100 \text{ км/см} = 500$ км.

Для проверки можно выполнить аналитический расчёт. Векторы $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ образуют катеты прямоугольного треугольника, а вектор перемещения $\vec{s}$ является его гипотенузой. По теореме Пифагора:
$|\vec{s}| = \sqrt{d_1^2 + d_2^2}$
$|\vec{s}| = \sqrt{400^2 + 300^2} = \sqrt{160000 + 90000} = \sqrt{250000} = 500$ км.
Графическое и аналитическое решения совпадают.

Ответ: модуль перемещения самолёта составляет 500 км.

25. Автомобиль, заправившись на АЗС бензином, движется прямолинейно. На расстоянии 20 км от АЗС он поворачивает и, пройдя в противоположном направлении 28 км, останавливается. Найдите модуль перемещения и пройденный автомобилем путь. Сделайте рисунок.

Дано:

Расстояние, пройденное от АЗС: $S_1 = 20$ км
Расстояние, пройденное в обратном направлении: $S_2 = 28$ км

Перевод в систему СИ:
$S_1 = 20 \text{ км} = 20 \cdot 1000 \text{ м} = 20000 \text{ м}$
$S_2 = 28 \text{ км} = 28 \cdot 1000 \text{ м} = 28000 \text{ м}$

Найти:

Пройденный путь $L$ — ?
Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ — ?

Решение:

Для решения задачи введем одномерную систему координат (ось $OX$). Начало координат ($x=0$) совместим с начальной точкой движения — АЗС. Будем считать, что первоначально автомобиль двигался в положительном направлении оси $OX$.

Пройденный автомобилем путь

Пройденный путь $L$ — это скалярная величина, равная длине траектории, то есть сумме расстояний, пройденных автомобилем, независимо от направления движения. Автомобиль сначала проехал 20 км, а затем еще 28 км.

Общий пройденный путь вычисляется как сумма длин двух участков:
$L = S_1 + S_2$

Подставим числовые значения:
$L = 20 \text{ км} + 28 \text{ км} = 48 \text{ км}$

В единицах СИ:
$L = 20000 \text{ м} + 28000 \text{ м} = 48000 \text{ м}$

Ответ: пройденный автомобилем путь составляет 48 км (48000 м).

Модуль перемещения

Перемещение $\Delta\vec{r}$ — это вектор, направленный из начальной точки движения в конечную. Модуль перемещения — это длина этого вектора, то есть кратчайшее расстояние между начальной и конечной точками.

1. Начальная координата автомобиля совпадает с положением АЗС: $x_{нач} = 0$.

2. Автомобиль проехал 20 км в положительном направлении. Координата в точке разворота: $x_1 = x_{нач} + S_1 = 0 + 20 = 20$ км.

3. Затем автомобиль двигался 28 км в противоположном (отрицательном) направлении от точки разворота. Его конечная координата: $x_{кон} = x_1 - S_2 = 20 \text{ км} - 28 \text{ км} = -8$ км.

4. Проекция вектора перемещения на ось $OX$ равна разности конечной и начальной координат:
$\Delta x = x_{кон} - x_{нач} = -8 \text{ км} - 0 \text{ км} = -8$ км.

5. Модуль перемещения — это абсолютная величина (длина) вектора перемещения:
$|\Delta\vec{r}| = |\Delta x| = |-8 \text{ км}| = 8$ км.

В единицах СИ:
$x_{кон} = 20000 \text{ м} - 28000 \text{ м} = -8000 \text{ м}$
$|\Delta\vec{r}| = |x_{кон} - x_{нач}| = |-8000 \text{ м} - 0 \text{ м}| = 8000$ м.

Ответ: модуль перемещения автомобиля равен 8 км (8000 м).

Рисунок

На рисунке представлена схема движения автомобиля вдоль координатной оси $OX$.

26. Вагон шириной 2,7 м был пробит пулей, летящей перпендикулярно движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно 3 см. Чему равна скорость движения пули внутри вагона, если вагон движется со скоростью 36 км/ч?

Дано:

Ширина вагона $L = 2,7$ м

Смещение отверстий $s = 3$ см

Скорость вагона $v_{вагона} = 36$ км/ч

Перевод в систему СИ:

$s = 3$ см $= 0,03$ м

$v_{вагона} = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10$ м/с

Найти:

Скорость движения пули $v_{пули}$ - ?

Решение:

Движение пули можно разложить на два независимых движения: движение поперек вагона и движение вместе с вагоном. Время, за которое пуля пролетает расстояние, равное ширине вагона $L$, можно определить по формуле:

$t = \frac{L}{v_{пули}}$

За это же самое время $t$ вагон смещается вперед на расстояние $s$. Это смещение происходит со скоростью вагона $v_{вагона}$. Следовательно, время движения можно также выразить как:

$t = \frac{s}{v_{вагона}}$

Так как время в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:

$\frac{L}{v_{пули}} = \frac{s}{v_{вагона}}$

Из этого соотношения выразим искомую скорость пули $v_{пули}$:

$v_{пули} = \frac{L \cdot v_{вагона}}{s}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_{пули} = \frac{2,7 \text{ м} \cdot 10 \text{ м/с}}{0,03 \text{ м}} = \frac{27}{0,03} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 900$ м/с

Ответ: скорость движения пули внутри вагона равна 900 м/с.

27. Велосипедист едет равномерно со скоростью $24 \text{ км/ч}$, его обгоняет мотоциклист, движущийся со скоростью $20 \text{ м/с}$. Постройте графики скоростей движения велосипедиста и мотоциклиста.

Дано:

Скорость велосипедиста $v_в = 24$ км/ч

Скорость мотоциклиста $v_м = 20$ м/с

$v_в = 24 \frac{км}{ч} = 24 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{240}{36} \frac{м}{с} = \frac{20}{3} \frac{м}{с} \approx 6,67 \frac{м}{с}$
$v_м = 20 \frac{м}{с}$

Найти:

Построить графики скоростей движения велосипедиста и мотоциклиста $v(t)$.

Решение:

Согласно условию задачи, велосипедист и мотоциклист движутся равномерно. Это означает, что их скорости постоянны во времени. График зависимости скорости от времени ($v(t)$) для равномерного движения представляет собой прямую линию, параллельную оси времени ($t$).

Чтобы построить оба графика в одной системе координат, необходимо выразить скорости в одинаковых единицах измерения. Переведем скорость велосипедиста в м/с (система СИ).

Скорость велосипедиста: $v_в = 24 \frac{км}{ч} = 24 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{20}{3} \frac{м}{с} \approx 6,67 \frac{м}{с}$.

Скорость мотоциклиста уже дана в м/с: $v_м = 20 \frac{м}{с}$.

Теперь мы можем построить графики. Для этого начертим систему координат, где вертикальная ось — это скорость $v$ (в м/с), а горизонтальная ось — время $t$ (в с).

1. График скорости велосипедиста будет представлять собой горизонтальную прямую, проведенную на уровне $v_в \approx 6,67$ м/с.

2. График скорости мотоциклиста будет представлять собой горизонтальную прямую, проведенную на уровне $v_м = 20$ м/с.

Так как $20 \frac{м}{с} > 6,67 \frac{м}{с}$, график скорости мотоциклиста будет расположен выше графика скорости велосипедиста.

Ответ:

Графики скоростей движения велосипедиста и мотоциклиста — это две прямые линии, параллельные оси времени $t$. График для велосипедиста — это горизонтальная линия на уровне $v \approx 6,67$ м/с. График для мотоциклиста — это горизонтальная линия на уровне $v = 20$ м/с.

28. На рисунке 6 представлены графики изменения координат двух тел с течением времени. Чему равны модули скоростей этих тел? Опишите характер движения тел, напишите уравнения движения. Найдите расстояние между телами в начальный момент времени.

Рис. 6

Дано:

Из графика (Рис. 6):

Для тела I:

Начальная координата $x_{01} = 0$ м.

В момент времени $t_1 = 2$ с координата $x_1 = 5$ м.

Для тела II:

Начальная координата $x_{02} = 8$ м.

В момент времени $t_2 = 2$ с координата $x_2 = 5$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Модули скоростей тел $|v_1|$ и $|v_2|$.

2. Характер движения тел.

3. Уравнения движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

4. Расстояние $d_0$ между телами в начальный момент времени.

Решение:

Чему равны модули скоростей этих тел?

Так как графики зависимости координаты от времени ($x(t)$) являются прямыми линиями, движение обоих тел является прямолинейным и равномерным. Проекцию скорости на ось Ох можно найти как тангенс угла наклона графика к оси времени или по формуле:

$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_k - x_n}{t_k - t_n}$

Для тела I:

Используем точки $(0 \text{ с}; 0 \text{ м})$ и $(2 \text{ с}; 5 \text{ м})$.

$v_{1x} = \frac{5 \text{ м} - 0 \text{ м}}{2 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 2.5 \text{ м/с}$.

Модуль скорости тела I: $|v_1| = |2.5 \text{ м/с}| = 2.5 \text{ м/с}$.

Для тела II:

Используем точки $(0 \text{ с}; 8 \text{ м})$ и $(2 \text{ с}; 5 \text{ м})$.

$v_{2x} = \frac{5 \text{ м} - 8 \text{ м}}{2 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{-3 \text{ м}}{2 \text{ с}} = -1.5 \text{ м/с}$.

Модуль скорости тела II: $|v_2| = |-1.5 \text{ м/с}| = 1.5 \text{ м/с}$.

Ответ: Модуль скорости первого тела равен 2.5 м/с, модуль скорости второго тела равен 1.5 м/с.

Опишите характер движения тел, напишите уравнения движения.

Характер движения: оба тела движутся прямолинейно и равномерно. Тело I движется из начала координат в положительном направлении оси Ох (так как $v_{1x} > 0$). Тело II движется из точки с координатой 8 м в отрицательном направлении оси Ох (так как $v_{2x} < 0$), навстречу первому телу.

Уравнение движения для равномерного прямолинейного движения имеет вид: $x(t) = x_0 + v_x t$.

Для тела I: $x_{01} = 0$ м, $v_{1x} = 2.5$ м/с. Уравнение движения:

$x_1(t) = 0 + 2.5t$ или $x_1(t) = 2.5t$.

Для тела II: $x_{02} = 8$ м, $v_{2x} = -1.5$ м/с. Уравнение движения:

$x_2(t) = 8 - 1.5t$.

Ответ: Оба тела движутся равномерно и прямолинейно. Тело I движется в положительном направлении оси Ox, тело II — в отрицательном. Уравнение движения первого тела: $x_1(t) = 2.5t$. Уравнение движения второго тела: $x_2(t) = 8 - 1.5t$.

Найдите расстояние между телами в начальный момент времени.

Начальный момент времени соответствует $t = 0$. Координаты тел в этот момент можно определить по графикам или подставив $t=0$ в уравнения движения.

Координата тела I при $t = 0$: $x_1(0) = 0$ м.

Координата тела II при $t = 0$: $x_2(0) = 8$ м.

Расстояние $d_0$ между телами равно модулю разности их координат:

$d_0 = |x_2(0) - x_1(0)| = |8 \text{ м} - 0 \text{ м}| = 8$ м.

Ответ: Расстояние между телами в начальный момент времени равно 8 м.