Страница 14 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

* 47. Самолёт летит из города А в город Б и обратно со скоростью 600 км/ч относительно воздуха. Расстояние между городами 2400 км. Сколько времени займёт этот полёт: a) в безветренный день; б) при ветре, дующем со скоростью 36 км/ч от А к Б; от Б к А; в) при боковом ветре (скорость его та же), перпендикулярном направлению полёта?

Дано:

Скорость самолёта относительно воздуха $v_с = 600$ км/ч
Расстояние между городами $S = 2400$ км
Скорость ветра $v_в = 36$ км/ч

Перевод в систему СИ:
$v_с = 600 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 600 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 166,67$ м/с
$S = 2400 \text{ км} = 2400 \cdot 1000 \text{ м} = 2400000$ м
$v_в = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10$ м/с

Найти:

а) Общее время полёта $t_a$ в безветренный день.
б) Общее время полёта $t_b$ при попутном/встречном ветре.
в) Общее время полёта $t_c$ при боковом ветре.

Решение:

Для решения задачи будем использовать исходные единицы измерения (км и км/ч), так как они согласованы.

а) в безветренный день

В безветренный день скорость самолёта относительно земли равна его скорости относительно воздуха. Время полёта из города А в город Б ($t_{АБ}$) и обратно ($t_{БА}$) будет одинаковым.

Время в одну сторону: $t_{АБ} = \frac{S}{v_с} = \frac{2400 \text{ км}}{600 \text{ км/ч}} = 4$ ч.

Общее время полёта туда и обратно: $t_a = t_{АБ} + t_{БА} = 4 \text{ ч} + 4 \text{ ч} = 8$ ч.

Ответ: 8 часов.

б) при ветре, дующем со скоростью 36 км/ч от А к Б; от Б к А

Рассмотрим оба случая, указанные в условии.

1. Ветер дует от А к Б.

При полёте из А в Б ветер является попутным, поэтому скорость самолёта относительно земли ($v_{з1}$) складывается из скорости самолёта и скорости ветра:
$v_{з1} = v_с + v_в = 600 \text{ км/ч} + 36 \text{ км/ч} = 636$ км/ч.

Время полёта из А в Б: $t_{АБ} = \frac{S}{v_{з1}} = \frac{2400}{636} = \frac{200}{53}$ ч.

При полёте из Б в А ветер является встречным, поэтому скорость самолёта относительно земли ($v_{з2}$) равна разности скоростей самолёта и ветра:
$v_{з2} = v_с - v_в = 600 \text{ км/ч} - 36 \text{ км/ч} = 564$ км/ч.

Время полёта из Б в А: $t_{БА} = \frac{S}{v_{з2}} = \frac{2400}{564} = \frac{200}{47}$ ч.

Общее время полёта: $t_b = t_{АБ} + t_{БА} = \frac{200}{53} + \frac{200}{47} = 200 \left( \frac{47+53}{53 \cdot 47} \right) = 200 \frac{100}{2491} = \frac{20000}{2491}$ ч.

2. Ветер дует от Б к А.

В этом случае при полёте из А в Б ветер будет встречным ($v_{з2} = 564$ км/ч), а при полёте из Б в А — попутным ($v_{з1} = 636$ км/ч). Время на отдельных участках поменяется местами, но общее время полёта останется таким же:

$t_b = t_{БА} + t_{АБ} = \frac{200}{47} + \frac{200}{53} = \frac{20000}{2491}$ ч.

Вычислим приближенное значение: $t_b \approx 8,029$ ч. Переведём в часы, минуты и секунды:
$8,029 \text{ ч} = 8 \text{ ч} + 0,029 \cdot 60 \text{ мин} \approx 8 \text{ ч} + 1,74 \text{ мин} \approx 8 \text{ ч} \, 1 \text{ мин} \, 44 \text{ с}$.

Ответ: $\frac{20000}{2491}$ ч, что примерно равно 8,029 ч (или 8 ч 1 мин 44 с).

в) при боковом ветре (скорость его та же), перпендикулярном направлению полёта?

Чтобы лететь строго из А в Б, самолёт должен держать курс под некоторым углом к линии АБ, компенсируя снос ветром. Вектор скорости самолёта относительно воздуха ($ \vec{v_с} $), вектор скорости ветра ($ \vec{v_в} $) и вектор скорости самолёта относительно земли ($ \vec{v_з} $) образуют прямоугольный треугольник, где $v_с$ — гипотенуза, а $v_в$ и $v_з$ — катеты.

Скорость самолёта относительно земли $v_з$ можно найти по теореме Пифагора:
$v_с^2 = v_з^2 + v_в^2$
$v_з = \sqrt{v_с^2 - v_в^2} = \sqrt{600^2 - 36^2} = \sqrt{360000 - 1296} = \sqrt{358704}$ км/ч.

Эта скорость будет одинаковой как при полёте из А в Б, так и при полёте обратно (самолёт просто будет направлен в другую сторону против ветра).

Время полёта в одну сторону: $t_{один\_путь} = \frac{S}{v_з} = \frac{2400}{\sqrt{358704}}$ ч.

Общее время полёта туда и обратно: $t_c = 2 \cdot t_{один\_путь} = \frac{2 \cdot 2400}{\sqrt{358704}} = \frac{4800}{\sqrt{358704}}$ ч.

Вычислим приближенное значение: $v_з \approx 598,92$ км/ч.
$t_c \approx \frac{4800}{598,92} \approx 8,014$ ч. Переведём в часы, минуты и секунды:
$8,014 \text{ ч} = 8 \text{ ч} + 0,014 \cdot 60 \text{ мин} \approx 8 \text{ ч} + 0,84 \text{ мин} \approx 8 \text{ ч} \, 0 \text{ мин} \, 50 \text{ с}$.

Ответ: $\frac{4800}{\sqrt{358704}}$ ч, что примерно равно 8,014 ч (или 8 ч 0 мин 50 с).

* 48. Известно, что как-то знаменитому американскому математику Нейману задали каверзную задачку: «Из пунктов А и Б, отстоящих на 100 км, одновременно выходят навстречу друг другу два поезда со скоростью 50 км/ч. Как только они трогаются, пчела, устроившаяся на головной фаре поезда в пункте А, испуганно взлетает и устремляется вперёд вдоль железнодорожного полотна со скоростью 90 км/ч. Наткнувшись на поезд, идущий из пункта Б, она круто поворачивает и летит обратно с той же скоростью. Так и металась между двумя поездами, пока они не встретились. Какой путь пролетела пчела?»

Дано

Расстояние между пунктами А и Б: $S = 100 \text{ км}$

Скорость первого поезда: $v_1 = 50 \text{ км/ч}$

Скорость второго поезда: $v_2 = 50 \text{ км/ч}$

Скорость пчелы: $v_{п} = 90 \text{ км/ч}$

Все величины представлены в согласованных единицах, поэтому перевод в систему СИ для решения данной задачи не требуется.

Найти:

Путь, который пролетела пчела, $S_{п}$ — ?

Решение

Эта классическая задача имеет два подхода к решению. Один, сложный, заключается в вычислении суммы бесконечного ряда расстояний, которые пчела пролетает в каждом отрезке своего пути. Второй подход, простой и изящный, заключается в том, чтобы определить общее время полета пчелы.

Пчела летает между поездами ровно до тех пор, пока они не встретятся. Следовательно, время полета пчелы равно времени движения поездов до их встречи. Найдем это время.

1. Вычисление времени до встречи поездов.

Поезда движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

$v_{сбл} = 50 \text{ км/ч} + 50 \text{ км/ч} = 100 \text{ км/ч}$

Время, через которое поезда встретятся, можно найти, разделив начальное расстояние между ними на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{100 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 1 \text{ час}$

Таким образом, поезда встретятся через 1 час.

2. Вычисление пути пчелы.

Пчела летала непрерывно в течение всего этого времени ($t = 1 \text{ час}$) со своей постоянной скоростью $v_{п} = 90 \text{ км/ч}$. Чтобы найти общий путь, который пролетела пчела, нужно умножить ее скорость на время полета:

$S_{п} = v_{п} \cdot t$

$S_{п} = 90 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 90 \text{ км}$

Ответ: пчела пролетела 90 км.

* 49. Определите, сколько времени потребуется, чтобы на катере пройти расстояние 1,5 км туда и обратно по реке, скорость течения которой 2 км/ч, и по озеру (в стоячей воде), если скорость катера относительно воды в обоих случаях равна 8 км/ч.

Дано:

Расстояние в одну сторону, $S = 1,5$ км

Скорость течения реки, $v_{теч} = 2$ км/ч

Собственная скорость катера (относительно воды), $v_{кат} = 8$ км/ч

$S = 1,5 \text{ км} = 1500 \text{ м}$
$v_{теч} = 2 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 2 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 0,56 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_{кат} = 8 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 8 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 2,22 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Время движения по реке туда и обратно, $t_{река}$ - ?

Время движения по озеру туда и обратно, $t_{озеро}$ - ?

Решение:

Задача состоит из двух частей: расчет времени для движения по реке и для движения по озеру. Для удобства вычислений будем использовать исходные единицы измерения (км и км/ч).

По реке

При движении по реке скорость катера относительно берега будет различной при движении по течению и против течения.

1. Скорость катера при движении по течению ($v_{по}$) равна сумме его собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_{кат} + v_{теч} = 8 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$

2. Время, затраченное на путь по течению ($t_{по}$):

$t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{1,5 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 0,15 \text{ ч}$

3. Скорость катера при движении против течения ($v_{против}$) равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$v_{против} = v_{кат} - v_{теч} = 8 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч}$

4. Время, затраченное на путь против течения ($t_{против}$):

$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{1,5 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = 0,25 \text{ ч}$

5. Общее время движения по реке ($t_{река}$) равно сумме времени движения по течению и против течения:

$t_{река} = t_{по} + t_{против} = 0,15 \text{ ч} + 0,25 \text{ ч} = 0,4 \text{ ч}$

Переведем это время в минуты: $0,4 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 24 \text{ мин}$.

Ответ: чтобы пройти 1,5 км туда и обратно по реке, потребуется 0,4 часа (24 минуты).

По озеру

В озере вода стоячая, поэтому скорость течения равна нулю. Катер движется со своей собственной скоростью $v_{кат}$ в обе стороны.

1. Общее расстояние, которое нужно пройти туда и обратно ($S_{общ}$):

$S_{общ} = 2 \times S = 2 \times 1,5 \text{ км} = 3 \text{ км}$

2. Общее время движения по озеру ($t_{озеро}$) находится делением общего расстояния на собственную скорость катера:

$t_{озеро} = \frac{S_{общ}}{v_{кат}} = \frac{3 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 0,375 \text{ ч}$

Переведем это время в минуты: $0,375 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 22,5 \text{ мин}$.

Ответ: чтобы пройти 1,5 км туда и обратно по озеру, потребуется 0,375 часа (22,5 минуты).

50. a) Может ли движущееся тело иметь скорость и ускорение, всё время направленные в противоположные стороны? б) В каком случае мгновенная и средняя скорости равны? Почему?

а) Нет, движущееся тело не может иметь скорость и ускорение, всё время направленные в противоположные стороны. Когда вектор ускорения $ \vec{a} $ направлен противоположно вектору скорости $ \vec{v} $, тело замедляет свое движение (тормозит). Такое движение называется равнозамедленным, если ускорение постоянно по модулю. Поскольку тело замедляется, его скорость будет уменьшаться до тех пор, пока не станет равной нулю. В этот момент тело остановится. Если ускорение продолжит действовать в том же направлении, тело начнет двигаться в обратную сторону. Теперь вектор скорости будет направлен в ту же сторону, что и вектор ускорения.
Классическим примером является движение тела, брошенного вертикально вверх. Во время подъема его скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения $ \vec{g} $ — вниз (они противоположны). В высшей точке траектории скорость на мгновение становится равной нулю. Затем тело начинает падать, и теперь его скорость направлена вниз, то есть сонаправлена с ускорением свободного падения.
Таким образом, скорость и ускорение могут быть направлены в противоположные стороны только на определенном отрезке времени, пока скорость тела не обнулится.

Ответ: Нет, не может. Такое возможно только до тех пор, пока тело не остановится и не начнет двигаться в обратную сторону, после чего векторы скорости и ускорения станут сонаправленными.

б) Мгновенная и средняя скорости равны в случае прямолинейного равномерного движения.
Почему?

Мгновенная скорость $ \vec{v} $ — это скорость тела в данный момент времени в данной точке траектории.
Средняя скорость $ \vec{v}_{ср} $ — это векторная величина, равная отношению перемещения тела $ \Delta\vec{r} $ ко времени $ \Delta t $, за которое это перемещение произошло: $ \vec{v}_{ср} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} $.
При прямолинейном равномерном движении тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Это означает, что его скорость постоянна как по величине, так и по направлению. В этом случае мгновенная скорость в любой момент времени одна и та же и равна этой постоянной скорости: $ \vec{v} = \text{const} $.
Так как $ \vec{v} $ постоянна, перемещение за время $ \Delta t $ равно $ \Delta\vec{r} = \vec{v} \cdot \Delta t $.
Подставив это выражение в формулу для средней скорости, получим: $ \vec{v}_{ср} = \frac{\vec{v} \cdot \Delta t}{\Delta t} = \vec{v} $.
Таким образом, для прямолинейного равномерного движения средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости в любой момент этого промежутка.

Ответ: Мгновенная и средняя скорости равны при прямолинейном равномерном движении, так как в этом случае вектор скорости постоянен.

51. Может ли тело иметь постоянную по модулю скорость при изменении вектора скорости?

Решение

Да, тело может иметь постоянную по модулю скорость при изменении вектора скорости. Скорость является векторной величиной, которая характеризуется двумя параметрами: модулем (численным значением, которое также называют путевой скоростью) и направлением.

Изменение вектора скорости происходит, если меняется хотя бы один из этих параметров: либо модуль, либо направление, либо оба одновременно. В условии задачи говорится, что модуль скорости постоянен ($v = |\vec{v}| = \text{const}$), но сам вектор скорости изменяется ($\vec{v} \neq \text{const}$).

Такая ситуация возможна, если модуль скорости остается неизменным, а ее направление непрерывно меняется. Это происходит при любом криволинейном движении с постоянной по модулю скоростью.

Классическим примером такого движения является равномерное движение тела по окружности. В каждой точке траектории модуль скорости тела одинаков, но направление вектора скорости, который всегда направлен по касательной к окружности, постоянно изменяется. Поскольку вектор скорости изменяется (по направлению), тело движется с ускорением, которое в данном случае называется центростремительным.

Ответ: Да, может. Примером такого движения является равномерное движение тела по окружности.

52. За 10 с скорость одного тела изменилась от 4 до 14 м/с, другого — от 12 до 2 м/с. Какие это движения? В чём их различие? Что общего? Укажите направление вектора ускорения для каждого случая.

Дано:

Для первого тела:

Начальная скорость $v_{01} = 4$ м/с

Конечная скорость $v_1 = 14$ м/с

Время движения $t = 10$ с

Для второго тела:

Начальная скорость $v_{02} = 12$ м/с

Конечная скорость $v_2 = 2$ м/с

Время движения $t = 10$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Какие это движения?

2. В чём их различие?

3. Что общего?

4. Направление вектора ускорения для каждого случая.

Решение:

Ускорение тела находится по формуле: $a = \frac{v - v_0}{t}$, где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $t$ — время.

Вычислим ускорение для каждого тела:

Для первого тела:
$a_1 = \frac{v_1 - v_{01}}{t} = \frac{14 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = \frac{10 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}^2$

Для второго тела:
$a_2 = \frac{v_2 - v_{02}}{t} = \frac{2 \text{ м/с} - 12 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = \frac{-10 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = -1 \text{ м/с}^2$

Какие это движения?

Поскольку скорость обоих тел изменяется с течением времени, оба движения являются движениями с ускорением. Так как вычисленные ускорения $a_1$ и $a_2$ являются постоянными величинами, оба движения — прямолинейные равноускоренные. Движение первого тела является равноускоренным, так как его скорость увеличивается ($a_1 > 0$). Движение второго тела является равнозамедленным, так как его скорость уменьшается ($a_2 < 0$).

Ответ: Оба движения являются прямолинейными равноускоренными. Первое тело движется равноускоренно, а второе — равнозамедленно.

В чём их различие?

Различие движений заключается в характере изменения скорости и направлении ускорения. У первого тела скорость возрастает, а у второго — убывает. Вектор ускорения первого тела направлен в ту же сторону, что и вектор скорости, а у второго тела вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению скорости.

Ответ: У первого тела скорость увеличивается, а у второго уменьшается. Векторы их ускорений направлены в противоположные стороны.

Что общего?

Общим для этих движений является то, что они оба равноускоренные, то есть происходят с постоянным по модулю ускорением. Время движения одинаково ($t=10$ c). Модуль изменения скорости у тел также одинаков: $|\Delta v_1| = |14 - 4| = 10$ м/с; $|\Delta v_2| = |2 - 12| = 10$ м/с. Как следствие, модули ускорений обоих тел равны: $|a_1| = |a_2| = 1 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Оба движения являются равноускоренными, происходят за одинаковое время, и модули их ускорений равны $1 \text{ м/с}^2$.

Укажите направление вектора ускорения для каждого случая.

Для первого тела, так как его скорость увеличивается, вектор ускорения $\vec{a}_1$ сонаправлен с вектором скорости $\vec{v}_1$.
Для второго тела, так как его скорость уменьшается, вектор ускорения $\vec{a}_2$ направлен противоположно вектору скорости $\vec{v}_2$.

Ответ: В первом случае вектор ускорения сонаправлен вектору скорости. Во втором случае вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости.

53. Два тела изменяют свою скорость от 4 до 24 м/с. В чём различие движений этих тел, если время изменения скорости у одного тела равно 5 с, у другого — 10 с?

Дано:

Начальная скорость тел, $v_0 = 4$ м/с

Конечная скорость тел, $v = 24$ м/с

Время изменения скорости первого тела, $t_1 = 5$ с

Время изменения скорости второго тела, $t_2 = 10$ с

Найти:

В чём различие движений этих тел?

Решение:

Поскольку скорость обоих тел изменяется с течением времени, их движение является равноускоренным. Основная кинематическая характеристика, описывающая быстроту изменения скорости, — это ускорение. Вычислим ускорение для каждого тела по формуле:

$a = \frac{v - v_0}{t}$

где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $t$ — время изменения скорости.

1. Для первого тела:

$a_1 = \frac{v - v_0}{t_1} = \frac{24 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с}}{5 \text{ с}} = \frac{20 \text{ м/с}}{5 \text{ с}} = 4 \text{ м/с}^2$

2. Для второго тела:

$a_2 = \frac{v - v_0}{t_2} = \frac{24 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = \frac{20 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}^2$

Сравнив полученные значения, видим, что ускорение первого тела ($a_1 = 4 \text{ м/с}^2$) в два раза больше ускорения второго тела ($a_2 = 2 \text{ м/с}^2$). Это означает, что первое тело изменяет свою скорость более интенсивно (быстрее разгоняется), чем второе.

Различие в ускорении также приводит к тому, что тела проходят разное расстояние для достижения конечной скорости. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении, можно рассчитать по формуле:

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Для первого тела:

$s_1 = 4 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 5 \text{ с} + \frac{4 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (5 \text{ с})^2}{2} = 20 \text{ м} + \frac{4 \cdot 25}{2} \text{ м} = 20 \text{ м} + 50 \text{ м} = 70 \text{ м}$

Для второго тела:

$s_2 = 4 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 10 \text{ с} + \frac{2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (10 \text{ с})^2}{2} = 40 \text{ м} + \frac{2 \cdot 100}{2} \text{ м} = 40 \text{ м} + 100 \text{ м} = 140 \text{ м}$

Таким образом, первое тело, двигаясь с большим ускорением, проходит в два раза меньший путь для достижения той же конечной скорости.

Ответ:

Различие движений этих тел заключается в их ускорении. Первое тело движется с ускорением $4 \text{ м/с}^2$, а второе — с ускорением $2 \text{ м/с}^2$. Следовательно, первое тело изменяет свою скорость в два раза быстрее, чем второе, и для достижения той же конечной скорости ему требуется в два раза меньше времени и в два раза меньшее расстояние.