Страница 7 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

15. На рисунке 1 изображены навесная и настильная траектории полёта снаряда. Равны ли для этих движений пройденные снарядом пути; перемещения?

Рис. 1

Решение

Для решения этой задачи необходимо понимать разницу между понятиями "путь" и "перемещение" в физике.

Путь — это скалярная величина, равная длине траектории, по которой двигалось тело. Это фактическое расстояние, пройденное объектом.

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Модуль вектора перемещения равен расстоянию по прямой между начальной и конечной точками.

В данном случае, для обеих траекторий (навесной и настильной) начальная точка (место выстрела из пушки) и конечная точка (место падения снаряда на землю) совпадают.

пройденные снарядом пути

Путь — это длина дуги параболической траектории. Из рисунка видно, что навесная траектория (верхняя пунктирная линия) является более длинной кривой по сравнению с настильной траекторией (нижняя пунктирная линия). Снаряд, двигаясь по навесной траектории, поднимается на большую высоту и, соответственно, описывает более длинную дугу. Следовательно, пройденные снарядом пути не равны.

Ответ: Пройденные пути не равны. Путь, пройденный по навесной траектории, больше пути, пройденного по настильной.

перемещения

Перемещение определяется только начальным и конечным положением тела. Так как оба снаряда начинают свое движение из одной и той же точки (пушка) и заканчивают его в одной и той же точке (место падения), то их векторы перемещения одинаковы. Они имеют одинаковый модуль (равный дальности полета по прямой) и одинаковое направление (от точки старта к точке финиша).

Ответ: Перемещения равны.

16. Белка бежит внутри колеса, находясь на одной и той же высоте относительно пола. Сравните путь и перемещение при таком движении.

Решение

Для сравнения пути и перемещения белки необходимо сначала дать определение этим двум физическим величинам в контексте данной задачи.

Перемещение – это вектор, который соединяет начальное положение тела с его конечным положением. Модуль перемещения – это длина этого вектора, то есть кратчайшее расстояние между начальной и конечной точками движения. В условии сказано, что белка "находится на одной и той же высоте относительно пола". Это подразумевает, что её положение в системе отсчета, связанной с полом, не меняется. Таким образом, её начальная точка и конечная точка в любой момент времени совпадают. Следовательно, вектор перемещения белки равен нулю: $\vec{\Delta r} = \vec{0}$. Модуль перемещения также равен нулю: $|\vec{\Delta r}| = 0$.

Путь – это скалярная величина, равная длине траектории, пройденной телом. Хотя белка и остается на одном месте относительно пола, она постоянно бежит, перебирая лапками по внутренней поверхности колеса. Длина "пробегаемой" ею дорожки и есть путь. Так как белка находится в движении (бежит), то за любой промежуток времени, отличный от нуля, она проходит некоторое расстояние по поверхности колеса. Этот путь $S$ является положительной величиной ($S > 0$) и увеличивается с течением времени.

Таким образом, при сравнении пути и перемещения белки мы получаем, что её перемещение равно нулю, в то время как пройденный ею путь всегда больше нуля (при условии, что она бежит). Следовательно, путь всегда больше перемещения.

Ответ: Перемещение белки равно нулю, а пройденный путь — положительная величина. Следовательно, путь больше перемещения.

17. Спортсмену предстоит пробежать один круг (400 м). Чему равно его перемещение: если он пробежал 200 м пути? если он финишировал? Дорожку стадиона считать окружностью.

Дано:

Длина круга стадиона, $L = 400$ м.

Пройденный путь в первом случае, $s_1 = 200$ м.

Пройденный путь во втором случае (финиш), $s_2 = 400$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль перемещения в первом случае, $|\vec{r_1}| - ?$

Модуль перемещения во втором случае, $|\vec{r_2}| - ?$

Решение:

Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Его модуль равен кратчайшему расстоянию между начальной и конечной точками. Путь – это длина траектории, пройденной телом.

По условию, дорожка стадиона является окружностью, длина которой $L = 400$ м. Длина окружности связана с ее диаметром $D$ соотношением $L = \pi D$.

если он пробежал 200 м пути;

Спортсмен пробежал путь $s_1 = 200$ м, что составляет ровно половину длины всей дорожки ($400 \text{ м} / 2 = 200 \text{ м}$). Это означает, что он оказался в точке, диаметрально противоположной точке старта. В этом случае модуль перемещения $|\vec{r_1}|$ равен расстоянию между начальной и конечной точками по прямой, то есть диаметру $D$ этой окружности.

Найдем диаметр из формулы длины окружности:

$D = \frac{L}{\pi}$

Подставим числовые значения:

$|\vec{r_1}| = D = \frac{400}{\pi} \approx 127.3$ м.

Ответ: перемещение спортсмена составляет примерно $127.3$ м.

если он финишировал?

Если спортсмен финишировал, это означает, что он пробежал один полный круг ($s_2 = L = 400$ м) и вернулся в исходную точку. Его начальное и конечное положения совпадают. Так как вектор перемещения соединяет начальную и конечную точки, а они в данном случае являются одной и той же точкой, то вектор перемещения является нулевым, и его модуль равен нулю.

$|\vec{r_2}| = 0$ м.

Ответ: перемещение спортсмена равно $0$ м.

18. Тело, брошенное вертикально вверх из точки А, упало в шахту (рис. 2). Чему равны пройденный телом путь и модуль перемещения, если $AB = 15$ м, $BC = 18$ м?

Рис. 2

Дано:

Расстояние от точки старта до высшей точки подъема $AB = 15$ м.

Расстояние от высшей точки подъема до конечной точки $BC = 18$ м.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Пройденный телом путь $S$ — ?

Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ — ?

Решение:

Пройденный путь

Пройденный путь $S$ — это скалярная величина, равная длине траектории движения тела. Тело сначала движется вверх из точки A в точку B, а затем вниз из точки B в точку C. Таким образом, общий пройденный путь является суммой длин отрезков AB и BC.

$S = AB + BC$

Подставим заданные значения:

$S = 15 \text{ м} + 18 \text{ м} = 33 \text{ м}$

Ответ: Пройденный телом путь равен 33 м.

Модуль перемещения

Перемещение — это вектор $\Delta\vec{r}$, направленный из начальной точки движения в конечную. В данном случае начальная точка — A, конечная — C. Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ — это длина этого вектора, то есть расстояние по прямой между точками A и C.

Так как движение происходит вдоль одной вертикальной линии, модуль перемещения можно найти как разность расстояний BC и AB:

$|\Delta\vec{r}| = AC = BC - AB$

Подставим числовые значения:

$|\Delta\vec{r}| = 18 \text{ м} - 15 \text{ м} = 3 \text{ м}$

Ответ: Модуль перемещения равен 3 м.

19. На рисунке 3 показана траектория движения пешехода, который пришёл из пункта A в пункт D. Определите координаты пешехода в начале и конце движения, пройденный путь, модуль перемещения.

Рис. 3

Дано:

График траектории движения пешехода.
Начальная точка - A.
Конечная точка - D.
Координаты точек на графике:
A (2; 1) м
B (2; 5) м
C (6; 6) м
D (8; 1) м
Все данные представлены в системе СИ (метры).

Найти:

1. Координаты пешехода в начале и конце движения.
2. Пройденный путь, $L$.
3. Модуль перемещения, $S$.

Решение:

Координаты пешехода в начале и конце движения

Движение начинается в точке А и заканчивается в точке D. По графику определяем их координаты, где первая координата соответствует оси x, а вторая — оси y.

Начальная точка: A(2; 1).

Конечная точка: D(8; 1).

Ответ: Координаты в начале движения (точка А) — (2; 1), координаты в конце движения (точка D) — (8; 1).

Пройденный путь

Пройденный путь $L$ – это длина всей траектории движения. Траектория состоит из трех отрезков: AB, BC и CD. Найдем длину каждого отрезка и сложим их.

1. Длина отрезка AB. Координаты точек: A(2; 1) и B(2; 5). Так как x-координаты одинаковы, отрезок вертикален, и его длина равна модулю разности y-координат:

$L_{AB} = |y_B - y_A| = |5 - 1| = 4$ м.

2. Длина отрезка BC. Координаты точек: B(2; 5) и C(6; 6). Длину найдем по теореме Пифагора (формула расстояния между двумя точками):

$L_{BC} = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(6 - 2)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ м.

3. Длина отрезка CD. Координаты точек: C(6; 6) и D(8; 1). Аналогично находим длину:

$L_{CD} = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} = \sqrt{(8 - 6)^2 + (1 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$ м.

4. Общий пройденный путь $L$ равен сумме длин всех отрезков:

$L = L_{AB} + L_{BC} + L_{CD} = 4 + \sqrt{17} + \sqrt{29}$ м.

Для численной оценки: $\sqrt{17} \approx 4,12$ м, $\sqrt{29} \approx 5,39$ м.

$L \approx 4 + 4,12 + 5,39 = 13,51$ м.

Ответ: Пройденный путь равен $4 + \sqrt{17} + \sqrt{29}$ м, что приблизительно составляет 13,5 м.

Модуль перемещения

Перемещение – это вектор, соединяющий начальную (A) и конечную (D) точки траектории. Модуль перемещения $S$ – это длина этого вектора, то есть расстояние по прямой между точками A(2; 1) и D(8; 1).

Так как y-координаты точек А и D одинаковы, отрезок AD горизонтален, и его длина равна модулю разности x-координат:

$S = |x_D - x_A| = |8 - 2| = 6$ м.

Можно также использовать общую формулу расстояния между точками:

$S = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(8 - 2)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$ м.

Ответ: Модуль перемещения равен 6 м.

20. Тело переместилось из точки с координатами $x_1 = -2$ м, $y_1 = 3$ м в точку с координатами $x_2 = 2$ м, $y_2 = 6$ м. Сделайте чертёж, найдите модуль перемещения и его проекции на оси координат.

Рис. 3

Дано:

Начальные координаты тела: $A(x_1; y_1)$, где $x_1 = -2$ м, $y_1 = 3$ м.
Конечные координаты тела: $B(x_2; y_2)$, где $x_2 = 2$ м, $y_2 = 6$ м.
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Чертёж движения тела.
2. Проекции перемещения на оси координат: $s_x, s_y$.
3. Модуль перемещения: $s$.

Решение:

Сделайте чертёж

Нанесём на координатную плоскость начальную точку $A(-2; 3)$ и конечную точку $B(2; 6)$. Вектор перемещения $\vec{s}$ направлен из точки A в точку B.

Найдите его проекции на оси координат

Проекция вектора перемещения на ось Ox ($s_x$) равна разности конечной и начальной координат по этой оси:
$s_x = x_2 - x_1 = 2 \text{ м} - (-2 \text{ м}) = 2 \text{ м} + 2 \text{ м} = 4 \text{ м}$
Проекция вектора перемещения на ось Oy ($s_y$) равна разности конечной и начальной координат по этой оси:
$s_y = y_2 - y_1 = 6 \text{ м} - 3 \text{ м} = 3 \text{ м}$

Ответ: проекция перемещения на ось Ox равна 4 м, а проекция на ось Oy равна 3 м.

Найдите модуль перемещения

Модуль вектора перемещения $s$ (его длина) можно найти по теореме Пифагора, так как вектор перемещения является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются его проекции на оси координат.
$s = |\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$
Подставим найденные значения проекций:
$s = \sqrt{(4 \text{ м})^2 + (3 \text{ м})^2} = \sqrt{16 \text{ м}^2 + 9 \text{ м}^2} = \sqrt{25 \text{ м}^2} = 5 \text{ м}$

Ответ: модуль перемещения равен 5 м.

21. Начало вектора перемещения находится в точке O с координатами $x_1 = -1 \text{ м}$, $y_1 = 2 \text{ м}$. Проекция вектора перемещения на ось x равна $3 \text{ м}$, а на ось y — $4 \text{ м}$. Найдите графически вектор перемещения и его модуль.

Дано:

Координаты начальной точки вектора O: $x_1 = -1$ м, $y_1 = 2$ м.

Проекции вектора перемещения $\vec{s}$ на оси координат:

$s_x = 3$ м,

$s_y = -4$ м.

Найти:

$\vec{s}$ - графически,

$|\vec{s}|$ - ?

Решение:

Графическое построение вектора перемещения

Вектор перемещения $\vec{s}$ направлен из начальной точки $O(x_1, y_1)$ в конечную точку $K(x_2, y_2)$. Его проекции на оси координат определяются как разность координат конца и начала вектора:

$s_x = x_2 - x_1$

$s_y = y_2 - y_1$

Зная координаты начальной точки $O(-1, 2)$ и проекции вектора $s_x = 3$ м, $s_y = -4$ м, найдем координаты конечной точки $K(x_2, y_2)$:

$x_2 = x_1 + s_x = -1 + 3 = 2$ м

$y_2 = y_1 + s_y = 2 + (-4) = -2$ м

Таким образом, вектор перемещения $\vec{s}$ является направленным отрезком, соединяющим точку $O(-1, 2)$ и точку $K(2, -2)$.

Изобразим вектор на координатной плоскости:

Нахождение модуля вектора перемещения

Модуль (длина) вектора перемещения $|\vec{s}|$ вычисляется по теореме Пифагора, используя его проекции:

$|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$

Подставим известные значения проекций:

$|\vec{s}| = \sqrt{(3 \text{ м})^2 + (-4 \text{ м})^2} = \sqrt{9 \text{ м}^2 + 16 \text{ м}^2} = \sqrt{25 \text{ м}^2} = 5$ м.

Ответ:

вектор перемещения изображен графически на рисунке; модуль вектора перемещения равен 5 м.