Страница 12 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

40. Рассмотрите графики движения двух тел (рис. 14) и ответьте на следующие вопросы: а) Каковы виды этих движений? б) Чем они различаются? в) Чему равны скорости движения тел? г) Чему равен путь, пройденный каждым телом за $10 \text{ с}$? По графику определите время и место встречи тел.

Рис. 14

График зависимости координаты от времени $x(t)$ для двух тел (рис. 14).

Из графика для тела 1: начальная координата $x_{01} = 0 \text{ м}$, конечная координата $x_1(10\text{с}) = 50 \text{ м}$.

Из графика для тела 2: начальная координата $x_{02} = 50 \text{ м}$, конечная координата $x_2(10\text{с}) = 0 \text{ м}$.

Общее время движения, рассматриваемое на графике, $t = 10 \text{ с}$.

Все величины даны в системе СИ.

а) Каковы виды этих движений?

б) Чем они различаются?

в) Чему равны скорости движения тел?

г) Чему равен путь, пройденный каждым телом за 10 с?

По графику определить время и место встречи тел.

а) Каковы виды этих движений?

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для обоих тел являются прямыми линиями. Это означает, что за любые равные промежутки времени тела совершают одинаковые перемещения, то есть их скорости постоянны. Такое движение называется равномерным прямолинейным.

Ответ: Оба тела движутся равномерно и прямолинейно.

б) Чем они различаются?

Движения тел различаются начальными положениями и направлениями движения. Тело 1 (график 1) начинает движение из начала координат ($x_{01} = 0 \text{ м}$) и движется в положительном направлении оси $x$ (координата со временем увеличивается). Тело 2 (график 2) начинает движение из точки с координатой $x_{02} = 50 \text{ м}$ и движется в отрицательном направлении оси $x$ (координата со временем уменьшается), то есть навстречу первому телу.

Ответ: Тела различаются начальными положениями и направлениями движения.

в) Чему равны скорости движения тел?

Скорость тела при равномерном движении равна тангенсу угла наклона графика $x(t)$ к оси времени и определяется по формуле $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$.

Для первого тела (график 1):
$v_1 = \frac{x_1(10) - x_{01}}{10 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{50 \text{ м} - 0 \text{ м}}{10 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$.

Для второго тела (график 2):
$v_2 = \frac{x_2(10) - x_{02}}{10 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{0 \text{ м} - 50 \text{ м}}{10 \text{ с}} = -5 \text{ м/с}$.
Знак «минус» указывает на то, что тело движется против положительного направления оси $x$.

Ответ: Скорость первого тела $v_1 = 5 \text{ м/с}$, скорость второго тела $v_2 = -5 \text{ м/с}$.

г) Чему равен путь, пройденный каждым телом за 10 с?

Поскольку тела движутся прямолинейно и без изменения направления, пройденный путь $s$ равен модулю перемещения $\Delta x$ или модулю скорости, умноженному на время: $s = |v| \cdot t$.

Для первого тела:
$s_1 = |v_1| \cdot t = |5 \text{ м/с}| \cdot 10 \text{ с} = 50 \text{ м}$.

Для второго тела:
$s_2 = |v_2| \cdot t = |-5 \text{ м/с}| \cdot 10 \text{ с} = 50 \text{ м}$.

Ответ: За 10 с каждое тело прошло путь $50 \text{ м}$.

По графику определите время и место встречи тел.

Встреча тел происходит в тот момент времени, когда их координаты равны. На графике это соответствует точке пересечения их графиков движения. Из графика видно, что линии пересекаются в точке с координатами: время $t_{встр} = 5 \text{ с}$ и координата $x_{встр} = 25 \text{ м}$.

Для проверки можно составить уравнения движения тел.
Уравнение движения первого тела: $x_1(t) = x_{01} + v_1 t = 5t$.
Уравнение движения второго тела: $x_2(t) = x_{02} + v_2 t = 50 - 5t$.
В момент встречи $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$:
$5t_{встр} = 50 - 5t_{встр} \implies 10t_{встр} = 50 \implies t_{встр} = 5 \text{ с}$.
Координата встречи: $x_{встр} = 5 \cdot 5 = 25 \text{ м}$.
Расчеты подтверждают данные, снятые с графика.

Ответ: Тела встретятся через 5 с после начала движения в точке с координатой 25 м.

41. На рисунке 15 изображены графики движения двух тел. Определите: а) виды этих движений; б) чем они различаются; в) чему равны скорости движения этих тел; г) чему равен путь, пройденный каждым телом за 6 с. По графику определите время и место встречи этих тел.

Рис. 15

Дано:

Из графика движения двух тел:

Тело 1: начальная координата $x_{01} = 60$ м, координата в момент времени $t = 20$ с равна $x_1 = 30$ м.

Тело 2: начальная координата $x_{02} = 100$ м, координата в момент времени $t = 20$ с равна $x_2 = 0$ м.

Промежуток времени для определения пути $t_s = 6$ с.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) виды движений;

б) различия в движениях;

в) скорости движения тел $v_1$ и $v_2$;

г) пути $s_1$ и $s_2$, пройденные телами за 6 с;

время $t_{встр}$ и место $x_{встр}$ встречи тел.

Решение:

а) виды этих движений

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для обоих тел представляют собой прямые линии. Это означает, что движение тел является равномерным прямолинейным, то есть происходит с постоянной скоростью. Уравнение такого движения имеет вид $x(t) = x_0 + v_x t$.

Ответ: Оба тела движутся равномерно и прямолинейно.

б) чем они различаются

Движения тел различаются:

1. Начальными положениями: в момент времени $t=0$ первое тело находилось в точке с координатой $x_{01} = 60$ м, а второе — в точке с координатой $x_{02} = 100$ м.

2. Скоростями: Наклон графика второго тела больше, чем у первого, следовательно, модуль его скорости больше ($|v_2| > |v_1|$). Оба графика имеют отрицательный наклон, значит, оба тела движутся в отрицательном направлении оси $x$, но с разными по модулю скоростями.

Ответ: Тела различаются начальными положениями и скоростями движения.

в) чему равны скорости движения этих тел

Скорость при равномерном прямолинейном движении определяется как тангенс угла наклона графика $x(t)$ к оси времени, то есть $v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x - x_0}{t - t_0}$.

Для первого тела (линия 1):

$v_{1x} = \frac{30 \text{ м} - 60 \text{ м}}{20 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{-30 \text{ м}}{20 \text{ с}} = -1.5 \text{ м/с}$.

Для второго тела (линия 2):

$v_{2x} = \frac{0 \text{ м} - 100 \text{ м}}{20 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{-100 \text{ м}}{20 \text{ с}} = -5 \text{ м/с}$.

Знаки "минус" указывают на то, что тела движутся против направления оси $x$.

Ответ: Скорость первого тела равна -1.5 м/с, скорость второго тела равна -5 м/с.

г) чему равен путь, пройденный каждым телом за 6 с

Поскольку движение прямолинейное и в одном направлении, путь, пройденный телом, равен модулю его перемещения: $s = |v_x| \cdot t$.

Путь, пройденный первым телом за 6 с:

$s_1 = |v_{1x}| \cdot t_s = |-1.5 \text{ м/с}| \cdot 6 \text{ с} = 1.5 \text{ м/с} \cdot 6 \text{ с} = 9 \text{ м}$.

Путь, пройденный вторым телом за 6 с:

$s_2 = |v_{2x}| \cdot t_s = |-5 \text{ м/с}| \cdot 6 \text{ с} = 5 \text{ м/с} \cdot 6 \text{ с} = 30 \text{ м}$.

Ответ: За 6 с первое тело прошло путь 9 м, а второе — 30 м.

Место и время встречи тел определяются точкой пересечения их графиков на диаграмме $x(t)$. В этой точке координаты тел совпадают в один и тот же момент времени. По графику можно оценить, что встреча происходит примерно в момент времени $t \approx 11.5$ с в точке с координатой $x \approx 43$ м. Для нахождения точных значений запишем уравнения движения для каждого тела и приравняем их.

Уравнение движения первого тела: $x_1(t) = 60 - 1.5t$.

Уравнение движения второго тела: $x_2(t) = 100 - 5t$.

В момент встречи $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$:

$60 - 1.5t_{встр} = 100 - 5t_{встр}$

$5t_{встр} - 1.5t_{встр} = 100 - 60$

$3.5t_{встр} = 40$

$t_{встр} = \frac{40}{3.5} = \frac{80}{7} \approx 11.43$ с.

Найдем координату встречи, подставив время в любое из уравнений:

$x_{встр} = 60 - 1.5 \cdot \frac{80}{7} = 60 - \frac{120}{7} = \frac{420 - 120}{7} = \frac{300}{7} \approx 42.86$ м.

Ответ: Тела встретятся через примерно 11.4 с после начала движения в точке с координатой примерно 42.9 м.

42. Любознательный Артём отправился в путешествие. При этом он двигался разными способами: на мотоцикле, пешком, на велосипеде и далее на вертолёте. Пользуясь графиком (рис. 16), ответьте на следующие вопросы: а) Где оказался Артём через 2 ч после начала движения? б) Каким видом транспорта предположительно он двигался на каждом участке пути? в) Сколько времени и когда он отдыхал? г) Сколько всего времени Артём был в пути? Составьте самостоятельно задачу о своём движе- нии из школы домой. Постройте примерный график этого движения.

Рис. 16

Дано:

График зависимости координаты $x$ (км) от времени $t$ (ч) для путешествия Артёма (рис. 16).

Виды транспорта: мотоцикл, пешком, велосипед, вертолёт.

Найти:

а) Где оказался Артём через 2 ч после начала движения?

б) Каким видом транспорта он двигался на каждом участке пути?

в) Сколько времени и когда он отдыхал?

г) Сколько всего времени Артём был в пути?

Составить задачу о своём движении из школы домой и построить примерный график.

Решение:

а) Чтобы определить положение Артёма через 2 часа, найдём на горизонтальной оси времени (ось $t$) значение 2 ч. От этой точки проведём вертикальную линию до пересечения с графиком движения. Затем от точки пересечения проведём горизонтальную линию до пересечения с вертикальной осью координат (ось $x$). Значение на оси $x$ в этой точке равно 10 км.

Ответ: Через 2 ч после начала движения Артём оказался на расстоянии 10 км от начальной точки.

б) Для определения вида транспорта на каждом участке необходимо вычислить скорость движения. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$, где $\Delta x$ — пройденный путь за промежуток времени $\Delta t$.
Вычислим скорость для каждого участка движения:
Участки I, IV, VI: Скорость на этих участках одинакова.
$v_{I} = \frac{10 \text{ км} - 0 \text{ км}}{1 \text{ ч} - 0 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.
$v_{IV} = \frac{20 \text{ км} - 10 \text{ км}}{4 \text{ ч} - 3 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.
$v_{VI} = \frac{40 \text{ км} - 20 \text{ км}}{7 \text{ ч} - 5 \text{ ч}} = \frac{20 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.
Участок VII (с 7 до 10 ч):
$v_{VII} = \frac{200 \text{ км} - 40 \text{ км}}{10 \text{ ч} - 7 \text{ ч}} = \frac{160 \text{ км}}{3 \text{ ч}} \approx 53,3 \text{ км/ч}$.
Участок IX (с 12 до 15 ч, возвращение):
$v_{IX} = |\frac{0 \text{ км} - 200 \text{ км}}{15 \text{ ч} - 12 \text{ ч}}| = |\frac{-200 \text{ км}}{3 \text{ ч}}| \approx 66,7 \text{ км/ч}$.
Теперь сопоставим скорости с видами транспорта. Скорость 10 км/ч характерна для велосипеда (для ходьбы пешком это слишком быстро). Скорость ~53,3 км/ч может соответствовать мотоциклу. Самая высокая скорость ~66,7 км/ч, в рамках условия задачи, может быть отнесена к вертолёту, несмотря на то, что она нереалистично мала, так как это самый быстрый участок пути, а в условии сказано "и далее на вертолёте".

Ответ: Предположительно, на участках I, IV и VI (скорость 10 км/ч) Артём ехал на велосипеде; на участке VII (скорость ≈ 53,3 км/ч) – на мотоцикле; на участке IX (скорость ≈ 66,7 км/ч) – летел на вертолёте.

в) Отдых на графике показан горизонтальными линиями, когда координата $x$ не изменяется. Таких участков три:
1. С 1 ч до 3 ч. Продолжительность: $3 - 1 = 2$ часа.
2. С 4 ч до 5 ч. Продолжительность: $5 - 4 = 1$ час.
3. С 10 ч до 12 ч. Продолжительность: $12 - 10 = 2$ часа.
Общее время отдыха составляет: $2 + 1 + 2 = 5$ часов.

Ответ: Артём отдыхал три раза: с 1 до 3 часов, с 4 до 5 часов и с 10 до 12 часов. Общее время отдыха составило 5 часов.

г) Общая продолжительность всего путешествия, отражённого на графике, составляет 15 часов. Чтобы найти, сколько времени Артём был в пути (двигался), нужно из общего времени вычесть время отдыха.
Время в движении = Общее время путешествия - Общее время отдыха = $15 \text{ ч} - 5 \text{ ч} = 10 \text{ ч}$.

Ответ: Всего в пути (в движении) Артём был 10 часов.

Составьте самостоятельно задачу о своём движении из школы домой. Постройте примерный график этого движения.

Это творческое задание. Ниже приведён пример его выполнения.

Текст задачи:

После занятий я иду из школы до метро. Расстояние в 1 км я прохожу за 15 минут. Затем я жду поезд 5 минут на платформе. Поездка на метро до моей станции занимает 20 минут, за это время я проезжаю 15 км. Выйдя из метро, я иду до дома ещё 500 метров, что занимает у меня 10 минут.

Описание графика движения:

Построим график зависимости расстояния от школы $x$ (в км) от времени $t$ (в минутах). Начало координат ($t=0, x=0$) — школа.
1. Путь до метро: отрезок прямой, соединяющий точки (0 мин, 0 км) и (15 мин, 1 км).
2. Ожидание поезда: горизонтальный отрезок от точки (15 мин, 1 км) до (20 мин, 1 км).
3. Поездка на метро: отрезок прямой от точки (20 мин, 1 км) до точки (40 мин, 16 км). ($1 \text{ км} + 15 \text{ км} = 16 \text{ км}$)
4. Путь от метро до дома: отрезок прямой от точки (40 мин, 16 км) до точки (50 мин, 16,5 км). ($16 \text{ км} + 0,5 \text{ км} = 16,5 \text{ км}$)
Весь путь домой занимает 50 минут, а общее расстояние составляет 16,5 км.