Страница 19 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

82. По графику ускорения частицы (рис. 28) постройте график зависимости её скорости от времени. Начальную скорость частицы принять равной нулю.

Рис. 28

Дано

График зависимости ускорения от времени $a(t)$.

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с.

Из графика определяем значения ускорения на различных временных интервалах:

При $t \in [0; 1]$ с, ускорение $a_1 = 2$ м/с².

При $t \in (1; 3]$ с, ускорение $a_2 = 0$ м/с².

При $t \in (3; 5]$ с, ускорение $a_3 = -2$ м/с².

При $t \in (5; 9]$ с, ускорение $a_4 = 0$ м/с².

При $t \in (9; 10]$ с, ускорение $a_5 = 2$ м/с².

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти

Построить график зависимости скорости от времени $v(t)$.

Решение

Для построения графика скорости от времени $v(t)$ необходимо проанализировать каждый участок движения, на котором ускорение постоянно. Скорость в любой момент времени при движении с постоянным ускорением находится по формуле $v = v_{нач} + a \cdot \Delta t$, где $v_{нач}$ — скорость в начале рассматриваемого интервала времени, а $\Delta t$ — длительность этого интервала. Скорость в конце каждого участка является начальной скоростью для следующего.

Участок 1: $t \in [0; 1]$ с

Начальная скорость $v(0) = 0$ м/с. Ускорение $a_1 = 2$ м/с². Движение равноускоренное.

Скорость в конце интервала, при $t=1$ с:

$v(1) = v(0) + a_1 \cdot (1 - 0) = 0 + 2 \cdot 1 = 2$ м/с.

На этом интервале зависимость скорости от времени линейная: $v(t) = 2t$. График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки с координатами (0; 0) и (1; 2).

Участок 2: $t \in (1; 3]$ с

Начальная скорость для этого участка $v(1) = 2$ м/с. Ускорение $a_2 = 0$ м/с², следовательно, движение равномерное.

Скорость на всем интервале постоянна: $v(t) = v(1) = 2$ м/с.

Скорость в конце интервала $v(3) = 2$ м/с.

График представляет собой горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки (1; 2) и (3; 2).

Участок 3: $t \in (3; 5]$ с

Начальная скорость $v(3) = 2$ м/с. Ускорение $a_3 = -2$ м/с². Движение равнозамедленное.

Скорость в конце интервала, при $t=5$ с:

$v(5) = v(3) + a_3 \cdot (5 - 3) = 2 + (-2) \cdot 2 = 2 - 4 = -2$ м/с.

График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки (3; 2) и (5; -2).

Участок 4: $t \in (5; 9]$ с

Начальная скорость $v(5) = -2$ м/с. Ускорение $a_4 = 0$ м/с². Движение равномерное.

Скорость на всем интервале постоянна: $v(t) = v(5) = -2$ м/с.

Скорость в конце интервала $v(9) = -2$ м/с.

График представляет собой горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки (5; -2) и (9; -2).

Участок 5: $t \in (9; 10]$ с

Начальная скорость $v(9) = -2$ м/с. Ускорение $a_5 = 2$ м/с². Движение равноускоренное.

Скорость в конце интервала, при $t=10$ с:

$v(10) = v(9) + a_5 \cdot (10 - 9) = -2 + 2 \cdot 1 = 0$ м/с.

График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки (9; -2) и (10; 0).

Ответ:

Итоговый график зависимости скорости от времени $v(t)$ представляет собой ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами (время в секундах, скорость в м/с): (0; 0), (1; 2), (3; 2), (5; -2), (9; -2) и (10; 0).

83. По графику зависимости скорости движения тела от времени (рис. 29) найдите: а) путь, пройденный телом за 2 с; 4 с; б) координату тела в момент времени $t = 4 \text{ с}$; в) ускорение движения тела.

Рис. 29

Дано:

График зависимости скорости $v$ от времени $t$.

Из графика:

Начальная скорость (при $t_0 = 0$ с): $v_0 = 4$ м/с.

Скорость в момент времени $t_1 = 2$ с: $v_1 = 0$ м/с.

Скорость в момент времени $t_2 = 4$ с: $v_2 = -4$ м/с.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) путь $S_1$ за $t_1 = 2$ с; путь $S_2$ за $t_2 = 4$ с.

б) координату $x$ в момент времени $t_2 = 4$ с (при условии, что начальная координата $x_0 = 0$).

в) ускорение $a$.

Решение:

в) Ускорение тела при равноускоренном движении определяется как изменение скорости за единицу времени. На графике $v(t)$ ускорение равно тангенсу угла наклона прямой к оси времени.

Воспользуемся формулой ускорения: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_k - v_н}{t_k - t_н}$.

Возьмем промежуток времени от $t_н = 0$ с до $t_k = 2$ с. Соответствующие скорости: $v_н = 4$ м/с и $v_k = 0$ м/с.

$a = \frac{0 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с}}{2 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{-4}{2} \text{ м/с}^2 = -2 \text{ м/с}^2$.

Так как график является прямой линией, ускорение постоянно на всем промежутке времени.

Ответ: ускорение движения тела $a = -2 \text{ м/с}^2$.

а) Путь, пройденный телом, численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. Путь — величина скалярная и всегда положительная.

За первые 2 секунды тело движется с положительной скоростью. Путь, пройденный за это время, равен площади прямоугольного треугольника с катетами $2$ с и $4$ м/с.

$S(2\text{с}) = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ с} \cdot 4 \text{ м/с} = 4 \text{ м}$.

Для нахождения пути за 4 секунды необходимо рассмотреть два участка. На участке от 0 до 2 с тело прошло 4 м. На участке от 2 с до 4 с тело движется в обратном направлении (скорость отрицательна). Путь на этом участке равен площади треугольника, лежащего под осью времени. Его основание равно $4 \text{ с} - 2 \text{ с} = 2 \text{ с}$, а высота (модуль скорости) равна $|-4 \text{ м/с}| = 4 \text{ м/с}$.

$S_{2-4\text{с}} = \frac{1}{2} \cdot (4-2) \text{ с} \cdot |-4 \text{ м/с}| = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \text{ м}$.

Общий путь за 4 секунды равен сумме путей, пройденных на первом и втором участках:

$S(4\text{с}) = S(2\text{с}) + S_{2-4\text{с}} = 4 \text{ м} + 4 \text{ м} = 8 \text{ м}$.

Ответ: путь, пройденный телом за 2 с, равен 4 м; путь, пройденный за 4 с, равен 8 м.

б) Координата тела в заданный момент времени определяется его перемещением. Перемещение, в отличие от пути, является векторной величиной и численно равно алгебраической сумме площадей фигур под графиком скорости (площадь под осью времени берется со знаком минус). Примем начальную координату тела $x_0 = 0$.

Перемещение за первые 2 секунды равно $\Delta x_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \text{ м}$.

Перемещение на участке от 2 с до 4 с равно $\Delta x_2 = \frac{1}{2} \cdot (4-2) \cdot (-4) = -4 \text{ м}$.

Полное перемещение за 4 секунды равно сумме перемещений на участках:

$\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 = 4 \text{ м} + (-4 \text{ м}) = 0 \text{ м}$.

Координата тела в момент времени $t = 4$ с равна $x = x_0 + \Delta x = 0 + 0 = 0 \text{ м}$.

Ответ: координата тела в момент времени $t = 4$ с равна 0 м.

84. На рисунке 30 представлен график зависимости координаты тела, движущегося вдоль горизонтальной оси, от времени. Из предложенного перечня выберите два верных утверждения. Укажите их номера. 1) Тело всё время двигалось с постоянным ускорением. 2) Тело всё время двигалось с постоянной скоростью. 3) Первые 4 с тело двигалось с постоянным ускорением. 4) Первые 4 с тело двигалось с постоянной скоростью. 5) Начиная с пятой секунды скорость тела стала увеличиваться.

Рис. 30

Для анализа представленных утверждений рассмотрим график зависимости координаты тела $x$ от времени $t$.

График представляет собой кривую линию, похожую на ветвь параболы. В кинематике зависимость координаты от времени при прямолинейном равноускоренном движении описывается квадратичной функцией: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$, графиком которой является парабола. Если бы тело двигалось с постоянной скоростью, график был бы прямой линией ($x(t) = x_0 + vt$).

Скорость тела в любой момент времени $v(t)$ определяется как тангенс угла наклона касательной к графику $x(t)$ в соответствующей точке. Так как наклон касательной к кривой постоянно меняется (график становится всё круче), скорость тела не является постоянной. Поскольку наклон отрицателен и его модуль увеличивается, тело движется в отрицательном направлении оси $x$ с возрастающей по модулю скоростью (т.е. ускоряясь).

Проанализируем каждое утверждение:

1) Тело всё время двигалось с постоянным ускорением.

Это утверждение верно. Как было отмечено выше, форма графика в виде параболы указывает на то, что движение является равноускоренным, то есть ускорение тела постоянно ($a = const$).

2) Тело всё время двигалось с постоянной скоростью.

Это утверждение неверно. График не является прямой линией, следовательно, скорость тела изменялась со временем.

3) Первые 4 с тело двигалось с постоянным ускорением.

Это утверждение верно. Поскольку всё движение, показанное на графике, происходит с постоянным ускорением (согласно анализу утверждения 1), то и на любом его участке, включая первые 4 секунды, ускорение также было постоянным.

4) Первые 4 с тело двигалось с постоянной скоростью.

Это утверждение неверно. На интервале от 0 до 4 секунд график является кривой, а не прямой линией, что свидетельствует об изменении скорости.

5) Начиная с пятой секунды скорость тела стала увеличиваться.

Это утверждение неверно. Под скоростью в данном контексте обычно понимают модуль вектора скорости. Модуль скорости определяется крутизной графика. График становится круче на всём протяжении времени, начиная с $t=0$. Это означает, что модуль скорости (скорость) увеличивался постоянно, а не начал увеличиваться только с пятой секунды. Если же под "скоростью" понимать проекцию скорости на ось $x$, то она является отрицательной (так как координата уменьшается) и её значение уменьшается (становится более отрицательным), а не увеличивается. Таким образом, утверждение неверно в любой трактовке.

Из анализа следует, что верными являются утверждения 1 и 3.

Ответ: 13

85. Установите соответствие между зависимостью проекции перемещения тела от времени и зависимостью проекции скорости этого тела от времени для одного и того же движения (все величины выражены в СИ).

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ПРОЕКЦИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

А) $s_x = 5t + 2t^2$

Б) $s_x = 2t - 5t^2$

ПРОЕКЦИЯ СКОРОСТИ 1) $v_x = 5 + 2t$ 2) $v_x = 2 + 5t$ 3) $v_x = 5 + 4t$ 4) $v_x = 2 - 10t$

А

Б

Дано:

Зависимости проекции перемещения тела от времени:

А) $s_x = 5t + 2t^2$

Б) $s_x = 2t - 5t^2$

Зависимости проекции скорости тела от времени:

1) $v_x = 5 + 2t$

2) $v_x = 2 + 5t$

3) $v_x = 5 + 4t$

4) $v_x = 2 - 10t$

Все величины выражены в системе СИ.

Найти:

Установить соответствие между зависимостью проекции перемещения и зависимостью проекции скорости.

Решение:

Зависимость проекции скорости от времени является производной от зависимости проекции перемещения по времени: $v_x(t) = s_x'(t) = \frac{ds_x}{dt}$.

Также можно использовать общие формулы для равноускоренного движения.

Общий вид уравнения для проекции перемещения: $s_x(t) = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$, где $v_{0x}$ — проекция начальной скорости, а $a_x$ — проекция ускорения.

Общий вид уравнения для проекции скорости: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$.

Проанализируем каждую позицию из первого столбца.

А)

Дано уравнение для проекции перемещения: $s_x = 5t + 2t^2$.

Сравнивая это уравнение с общей формулой $s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$, мы можем определить проекцию начальной скорости и проекцию ускорения.

Коэффициент при $t$ равен проекции начальной скорости: $v_{0x} = 5$ м/с.

Коэффициент при $t^2$ равен половине проекции ускорения: $\frac{a_x}{2} = 2$. Отсюда находим проекцию ускорения: $a_x = 2 \cdot 2 = 4$ м/с$^2$.

Подставим найденные значения $v_{0x}$ и $a_x$ в общее уравнение для проекции скорости $v_x = v_{0x} + a_x t$:

$v_x = 5 + 4t$.

Полученное уравнение соответствует варианту 3) из второго столбца.

Ответ: 3.

Б)

Дано уравнение для проекции перемещения: $s_x = 2t - 5t^2$.

Сравнивая это уравнение с общей формулой $s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$, определяем:

Проекция начальной скорости: $v_{0x} = 2$ м/с.

Половина проекции ускорения: $\frac{a_x}{2} = -5$. Отсюда находим проекцию ускорения: $a_x = 2 \cdot (-5) = -10$ м/с$^2$.

Подставим найденные значения $v_{0x}$ и $a_x$ в общее уравнение для проекции скорости $v_x = v_{0x} + a_x t$:

$v_x = 2 + (-10)t = 2 - 10t$.

Полученное уравнение соответствует варианту 4) из второго столбца.

Ответ: 4.