Страница 23 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

101. Для тренировки спортсменов используют тренажёр — «бегущая дорожка» (рис. 33). В каком случае спортсмен, находящийся на дорожке, неподвижен относительно поверхности Земли?

Рис. 33

Решение

Движение является относительным, то есть зависит от выбора системы отсчета. В данной задаче нас интересует движение спортсмена относительно поверхности Земли.

Пусть скорость движения полотна беговой дорожки относительно Земли равна $v_д$, а скорость бега спортсмена относительно полотна дорожки равна $v_c$. Полотно дорожки движется назад, а спортсмен бежит по нему вперед.

Скорость спортсмена относительно Земли ($v_{отн.Земли}$) складывается из его скорости относительно дорожки и скорости самой дорожки относительно Земли. Так как эти скорости направлены в противоположные стороны (спортсмен бежит вперед, а лента движется назад), то для нахождения результирующей скорости их модули нужно вычесть:

$v_{отн.Земли} = |v_c - v_д|$

Спортсмен будет неподвижен относительно поверхности Земли, если его скорость относительно Земли равна нулю:

$v_{отн.Земли} = 0$

Это условие выполняется, когда модуль скорости спортсмена относительно дорожки равен модулю скорости дорожки относительно Земли:

$v_c = v_д$

Таким образом, чтобы оставаться на одном месте относительно комнаты (и Земли), спортсмен должен бежать со скоростью, в точности равной скорости движения ленты тренажера, но в противоположном направлении.

Ответ: Спортсмен, находящийся на дорожке, неподвижен относительно поверхности Земли в том случае, если его скорость бега относительно полотна дорожки по модулю равна скорости движения полотна дорожки относительно Земли.

102. После стыковки космический корабль и Международная космическая станция (МКС) некоторое время движутся вместе. Какова скорость космического корабля и МКС относительно друг друга во время их совместного полёта?

Дано:

Космический корабль (КК) и Международная космическая станция (МКС) состыкованы.

КК и МКС движутся вместе как единое целое.

Найти:

Скорость КК и МКС относительно друг друга ($v_{отн}$).

Решение:

По определению, относительная скорость — это скорость одного тела в системе отсчёта, связанной с другим телом. Скорость космического корабля относительно МКС ($\vec{v}_{отн}$) вычисляется как векторная разность их скоростей относительно некоторой инерциальной системы отсчёта (например, связанной с Землёй):

$\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{КК} - \vec{v}_{МКС}$

где $\vec{v}_{КК}$ — скорость космического корабля, а $\vec{v}_{МКС}$ — скорость МКС.

Согласно условию задачи, после стыковки корабль и станция движутся вместе. Это означает, что их скорости относительно любой выбранной системы отсчёта в каждый момент времени одинаковы как по модулю, так и по направлению:

$\vec{v}_{КК} = \vec{v}_{МКС}$

Подставим это равенство в формулу для относительной скорости:

$\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{МКС} - \vec{v}_{МКС} = \vec{0}$

Таким образом, модуль относительной скорости равен нулю. Это означает, что космический корабль и МКС находятся в состоянии покоя друг относительно друга.

Ответ: Скорость космического корабля и МКС относительно друг друга во время их совместного полёта равна нулю.

103. Во время равномерного движения поезда с верхней полки падает мяч. Будет ли он падать вертикально? Одинаково ли ответят на этот вопрос наблюдатели, находящиеся в вагоне и на платформе?

Решение

Этот вопрос рассматривает принцип относительности движения. Ответ зависит от выбора системы отсчета, то есть от того, относительно чего мы наблюдаем движение мяча.

Будет ли он падать вертикально?

В момент, когда мяч начинает падать, он уже обладает горизонтальной скоростью, равной скорости поезда. По первому закону Ньютона (закону инерции), тело стремится сохранить свою скорость при отсутствии внешних сил. В горизонтальном направлении на мяч не действуют силы (пренебрегая сопротивлением воздуха), поэтому его горизонтальная скорость остается постоянной и равной скорости поезда.

Одновременно на мяч действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Эта сила придает мячу ускорение свободного падения $g$, направленное вертикально вниз.

Таким образом, движение мяча является сложным: он одновременно движется равномерно по горизонтали и равноускоренно по вертикали. Траектория такого движения зависит от системы отсчета наблюдателя.

Ответ: Вопрос о том, падает ли мяч вертикально, не имеет однозначного ответа без указания системы отсчета, в которой ведется наблюдение.

Одинаково ли ответят на этот вопрос наблюдатели, находящиеся в вагоне и на платформе?

Нет, наблюдатели дадут разные ответы, так как они находятся в разных системах отсчета.

Наблюдатель в вагоне:

Наблюдатель, находящийся в вагоне, движется вместе с поездом. Его горизонтальная скорость равна горизонтальной скорости мяча. Относительно вагона (и наблюдателя в нем) горизонтальная скорость мяча равна нулю. Наблюдатель будет видеть только вертикальное перемещение мяча, вызванное силой тяжести. Для него траектория падения мяча будет прямой вертикальной линией.

Наблюдатель на платформе:

Наблюдатель, стоящий на платформе, находится в системе отсчета, связанной с землей. Он видит, что поезд, вагон и мяч в начальный момент времени имеют горизонтальную скорость $v$. После начала падения мяч сохраняет эту горизонтальную скорость $v$ и одновременно начинает падать вертикально вниз с ускорением $g$. Сложение равномерного горизонтального движения и равноускоренного вертикального движения дает в результате параболическую траекторию. Для этого наблюдателя мяч будет двигаться по дуге параболы.

Ответ: Наблюдатели ответят на вопрос по-разному. Для наблюдателя в вагоне мяч будет падать вертикально. Для наблюдателя на платформе мяч будет двигаться по параболе.

104. В метро на двух эскалаторах стоят пассажиры. Движутся или покоятся эти пассажиры относительно друг друга, если лестницы эскалаторов движутся в одном направлении; движутся в разных направлениях?

Если лестницы эскалаторов движутся в одном направлении: Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с землей (станцией метро). Поскольку пассажиры стоят на эскалаторах, их скорость относительно самого эскалатора равна нулю. Это означает, что скорость каждого пассажира относительно земли равна скорости движения его эскалатора. Обозначим векторы скорости эскалаторов (и, соответственно, пассажиров) как $ \vec{v}_1 $ и $ \vec{v}_2 $. Относительная скорость пассажиров (скорость второго пассажира в системе отсчета, связанной с первым) находится как векторная разность их скоростей: $ \vec{v}_{отн} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 $. Если эскалаторы движутся в одном направлении и с одинаковой скоростью (что является стандартным для метро), то их векторы скорости равны: $ \vec{v}_1 = \vec{v}_2 $. В этом случае их относительная скорость равна нулю: $ \vec{v}_{отн} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = 0 $. Нулевая относительная скорость означает, что расстояние и положение пассажиров друг относительно друга не меняются, то есть они покоятся. Ответ: покоятся.

Если лестницы эскалаторов движутся в разных направлениях: В этом случае мы используем тот же принцип сложения скоростей. Относительная скорость пассажиров по-прежнему вычисляется по формуле $ \vec{v}_{отн} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 $. Если эскалаторы движутся в разных (противоположных) направлениях с одинаковой по модулю скоростью $v$, то, выбрав ось, направленную вдоль движения первого эскалатора, их скорости можно записать как $ \vec{v}_1 $ и $ \vec{v}_2 = -\vec{v}_1 $. Тогда их относительная скорость будет равна: $ \vec{v}_{отн} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = (-\vec{v}_1) - \vec{v}_1 = -2\vec{v}_1 $. Модуль относительной скорости равен $ |\vec{v}_{отн}| = |-2\vec{v}_1| = 2|\vec{v}_1| = 2v $. Так как относительная скорость не равна нулю, пассажиры движутся относительно друг друга. Каждый пассажир будет видеть другого удаляющимся со скоростью, вдвое превышающей скорость эскалатора. Ответ: движутся.

105. Нарисуйте примерный вид траектории движения точки обода колеса относительно дороги при движении велосипедиста.

Движение точки на ободе колеса велосипеда относительно дороги является сложным. Оно представляет собой сумму (суперпозицию) двух более простых видов движения:

1. Поступательное движение: центр колеса, как и весь велосипед, движется вперед с некоторой скоростью $v$. Соответственно, каждая точка обода также участвует в этом движении.
2. Вращательное движение: одновременно с поступательным движением, точка на ободе совершает вращение вокруг центра колеса. При качении без проскальзывания линейная скорость точки во вращательном движении относительно центра колеса также равна $v$.

В результате сложения этих двух движений траектория точки обода относительно неподвижной дороги приобретает форму кривой, которая в математике называется циклоидой.

Примерный вид траектории для одного полного оборота колеса показан на рисунке ниже.

Ключевые особенности этой траектории:

• Траектория имеет форму повторяющихся арок.
• В те моменты, когда точка обода касается поверхности дороги, её мгновенная скорость относительно дороги равна нулю. В этих точках траектория имеет заострения (так называемые каспы).
• Максимальная высота, на которую поднимается точка над дорогой, равна диаметру колеса ($2R$, где $R$ – радиус колеса). Это происходит, когда точка находится в наивысшем положении. В этот момент её скорость относительно дороги максимальна и в два раза превышает скорость самого велосипеда ($2v$).
• Длина основания одной арки циклоиды (расстояние, пройденное велосипедом за один полный оборот колеса) равна длине окружности колеса, то есть $2\pi R$.

Ответ: Траектория движения точки обода колеса относительно дороги представляет собой кривую, называемую циклоидой. Это серия арок, высота которых равна диаметру колеса, а ширина основания — длине окружности колеса. В нижней точке (при касании с дорогой) траектория имеет заострение, а в верхней — плавно изгибается.

106. Спортсмен стреляет по мишени «бегущий олень». Как он должен стрелять, чтобы поразить цель: точно в «оленя»; с опережением в направлении движения? Ответ поясните.

Решение

Для того чтобы поразить движущуюся мишень, необходимо учитывать время, которое требуется пуле, чтобы долететь до цели. Пуля движется с конечной скоростью, поэтому она достигает плоскости движения мишени не мгновенно, а спустя некоторое время $t$ после выстрела.

За это время $t$ мишень «бегущий олень», которая также движется с некоторой скоростью $v_{мишени}$, сместится на расстояние $\Delta S$ в направлении своего движения.

Если стрелок будет целиться точно в мишень в момент выстрела, то пуля прилетит в ту точку, где мишень была, а не туда, где она будет в момент прилета пули. К моменту, когда пуля долетит до этой точки, мишень уже переместится вперед, и пуля пройдет позади нее.

Следовательно, чтобы пуля и мишень встретились в одной точке в одно и то же время, стрелок должен целиться в точку, находящуюся впереди мишени по ходу ее движения. Это называется стрельбой с упреждением. Величина упреждения зависит от скорости мишени, скорости пули и расстояния до цели. Время полета пули равно $t = \frac{S}{v_{пули}}$, где $S$ - расстояние до мишени, а $v_{пули}$ - скорость пули. За это время мишень пройдет путь $\Delta S = v_{мишени} \cdot t$. Именно на это расстояние $\Delta S$ и нужно целиться впереди мишени.

Ответ: Спортсмен должен стрелять с упреждением в направлении движения мишени.

107. Пловец плывёт по течению реки. Определите скорость пловца относительно берега, если скорость пловца относительно воды 0,4 м/с, а скорость течения реки 0,3 м/с. Какую скорость имел бы пловец относительно воды, если бы плыл против течения реки?

Дано:

Скорость пловца относительно воды, $v_{п/в} = 0,4$ м/с.

Скорость течения реки, $v_{т} = 0,3$ м/с.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

1. Скорость пловца относительно берега, $v_{п/б}$ - ?

2. Скорость пловца относительно воды при движении против течения - ?

Решение:

Определите скорость пловца относительно берега, если скорость пловца относительно воды 0,4 м/с, а скорость течения реки 0,3 м/с.

Для нахождения скорости пловца относительно берега ($v_{п/б}$) используется закон сложения скоростей. Скорость тела в неподвижной системе отсчета (берег) равна векторной сумме его скорости в подвижной системе отсчета (вода) и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

В векторной форме это выглядит так:

$\vec{v}_{п/б} = \vec{v}_{п/в} + \vec{v}_{т}$

В задаче пловец плывёт по течению, это означает, что вектор его скорости относительно воды ($\vec{v}_{п/в}$) и вектор скорости течения ($\vec{v}_{т}$) сонаправлены. В таком случае модули скоростей складываются:

$v_{п/б} = v_{п/в} + v_{т}$

Подставим данные значения:

$v_{п/б} = 0,4 \, \text{м/с} + 0,3 \, \text{м/с} = 0,7 \, \text{м/с}$

Ответ: скорость пловца относительно берега равна 0,7 м/с.

Какую скорость имел бы пловец относительно воды, если бы плыл против течения реки?

Скорость пловца относительно воды — это его собственная скорость, которая определяется его физическими усилиями. Эта величина не зависит от скорости течения реки. В условии задачи дано, что скорость пловца относительно воды составляет 0,4 м/с. Эта характеристика останется неизменной, независимо от того, плывёт ли пловец по течению или против него (при условии, что он прилагает те же усилия). Изменится только его скорость относительно берега.

Ответ: скорость пловца относительно воды составила бы 0,4 м/с.

108. Автобус везёт пассажиров по прямой дороге со скоростью 10 м/с. Пассажир равномерно идёт по салону автобуса со скоростью 1 м/с относительно автобуса, двигаясь от задней двери к кабине водителя. Чему равен модуль скорости пассажира относительно дороги?

Дано:

Скорость автобуса относительно дороги, $v_{а} = 10$ м/с.

Скорость пассажира относительно автобуса, $v_{п/а} = 1$ м/с.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль скорости пассажира относительно дороги, $v_{п}$ - ?

Решение:

Для нахождения скорости пассажира относительно дороги воспользуемся классическим законом сложения скоростей. Скорость тела в неподвижной системе отсчета (в данном случае — дорога) равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета (автобуса) относительно неподвижной и скорости тела (пассажира) относительно подвижной системы отсчета.

В векторной форме это записывается так:

$\vec{v}_{п} = \vec{v}_{а} + \vec{v}_{п/а}$

По условию задачи, автобус движется по прямой дороге. Пассажир идет по салону от задней двери к кабине водителя, то есть его движение направлено в ту же сторону, что и движение автобуса. Это означает, что векторы скорости автобуса $\vec{v}_{а}$ и скорости пассажира относительно автобуса $\vec{v}_{п/а}$ сонаправлены.

Когда векторы сонаправлены, модуль их суммы равен сумме их модулей. Поэтому мы можем перейти от векторного уравнения к скалярному:

$v_{п} = v_{а} + v_{п/а}$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$v_{п} = 10 \text{ м/с} + 1 \text{ м/с} = 11 \text{ м/с}$

Ответ: 11 м/с.