Страница 30 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

156. Сила $40 \text{ Н}$ сообщает телу ускорение $0.8 \text{ м/с}^2$. Какую силу надо приложить, чтобы сообщить этому телу ускорение $1.6 \text{ м/с}^2$?

Дано:

$F_1 = 40$ Н

$a_1 = 0,8$ м/с²

$a_2 = 1,6$ м/с²

Найти:

$F_2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона, который гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой:

$F = m \cdot a$

Сначала найдем массу тела $m$, используя данные для первого случая. Из формулы второго закона Ньютона выразим массу:

$m = \frac{F_1}{a_1}$

Подставим известные значения:

$m = \frac{40 \text{ Н}}{0,8 \text{ м/с²}} = 50 \text{ кг}$

Теперь, зная массу тела, мы можем вычислить, какую силу $F_2$ необходимо приложить, чтобы сообщить этому телу ускорение $a_2$:

$F_2 = m \cdot a_2$

Подставим значения массы и второго ускорения:

$F_2 = 50 \text{ кг} \cdot 1,6 \text{ м/с²} = 80 \text{ Н}$

Ответ: чтобы сообщить телу ускорение 1,6 м/с², надо приложить силу 80 Н.

157. Порожний грузовой автомобиль массой 3 т начал движение с ускорением $0,2 \text{ м/с}^2$. Чему равна масса автомобиля вместе с грузом, если при той же силе тяги он трогается с места с ускорением $0,15 \text{ м/с}^2$?

Дано:

Масса порожнего автомобиля, $m_1 = 3$ т

Ускорение порожнего автомобиля, $a_1 = 0,2$ м/с²

Ускорение груженого автомобиля, $a_2 = 0,15$ м/с²

Сила тяги в обоих случаях одинакова, $F_1 = F_2 = F$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 3 \text{ т} = 3 \cdot 1000 \text{ кг} = 3000 \text{ кг}$

Найти:

Массу автомобиля вместе с грузом, $m_2$

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой:

$F = m \cdot a$

Запишем этот закон для двух случаев:

1. Для порожнего автомобиля:

Сила тяги $F$ сообщает автомобилю массой $m_1$ ускорение $a_1$.

$F = m_1 \cdot a_1$

2. Для автомобиля с грузом:

Та же сила тяги $F$ сообщает автомобилю с грузом (общей массой $m_2$) ускорение $a_2$.

$F = m_2 \cdot a_2$

Поскольку по условию задачи сила тяги в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:

$m_1 \cdot a_1 = m_2 \cdot a_2$

Из этого равенства выразим искомую массу автомобиля вместе с грузом $m_2$:

$m_2 = \frac{m_1 \cdot a_1}{a_2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$m_2 = \frac{3000 \text{ кг} \cdot 0,2 \text{ м/с}^2}{0,15 \text{ м/с}^2} = \frac{600}{0,15} \text{ кг} = 4000 \text{ кг}$

Полученную массу можно перевести обратно в тонны: $4000 \text{ кг} = 4 \text{ т}$.

Ответ: масса автомобиля вместе с грузом равна 4000 кг или 4 т.

158. Пуля массой 7,9 г вылетает под действием пороховых газов из канала ствола длиной 45 см со скоростью 700 м/с. Вычислите среднюю силу давления пороховых газов. Трением пули о стенки ствола пренебречь.

Дано:

Масса пули, $m = 7,9$ г

Длина ствола, $L = 45$ см

Скорость пули на вылете, $v = 700$ м/с

Начальная скорость пули, $v_0 = 0$ м/с

Перевод в систему СИ:

$m = 7,9 \text{ г} = 7,9 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,0079 \text{ кг}$

$L = 45 \text{ см} = 0,45 \text{ м}$

Найти:

Среднюю силу давления пороховых газов, $F_{ср}$

Решение:

Для нахождения средней силы давления пороховых газов воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа, совершённая всеми силами, действующими на тело, равна изменению его кинетической энергии. В данном случае, пренебрегая силой трения, единственной силой, совершающей работу, является сила давления пороховых газов.

Работа $A$, совершаемая средней силой $F_{ср}$ на пути $L$ (длина ствола), вычисляется по формуле:

$A = F_{ср} \cdot L$

Изменение кинетической энергии $\Delta E_k$ пули равно разности её конечной и начальной кинетических энергий:

$\Delta E_k = E_{k_{конечная}} - E_{k_{начальная}} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$

Так как пуля вначале находится в состоянии покоя, её начальная скорость $v_0 = 0$. Следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k_{начальная}} = 0$.

Тогда изменение кинетической энергии равно её конечной кинетической энергии:

$\Delta E_k = \frac{mv^2}{2}$

Приравниваем работу силы к изменению кинетической энергии:

$A = \Delta E_k$

$F_{ср} \cdot L = \frac{mv^2}{2}$

Из этого уравнения выражаем искомую среднюю силу $F_{ср}$:

$F_{ср} = \frac{mv^2}{2L}$

Подставим числовые значения в СИ и произведём вычисления:

$F_{ср} = \frac{0,0079 \text{ кг} \cdot (700 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 0,45 \text{ м}} = \frac{0,0079 \cdot 490000}{0,9} \text{ Н}$

$F_{ср} = \frac{3871}{0,9} \text{ Н} \approx 4301,1 \text{ Н}$

Округлим полученный результат до двух значащих цифр, так как данные в условии (7,9 г и 45 см) имеют по две значащие цифры.

$F_{ср} \approx 4300 \text{ Н}$ или $4,3 \text{ кН}$.

Ответ: средняя сила давления пороховых газов равна примерно $4,3$ кН.

159. Столкнулись две тележки. При этом тележка массой 0,5 кг получила ускорение $4 \, \text{м}/\text{с}^2$. Какое ускорение получила тележка массой 0,8 кг?

Дано:

Масса первой тележки $m_1 = 0,5$ кг

Ускорение первой тележки $a_1 = 4$ м/с²

Масса второй тележки $m_2 = 0,8$ кг

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Ускорение второй тележки $a_2$ - ?

Решение:

Во время столкновения тележки взаимодействуют друг с другом. Согласно третьему закону Ньютона, силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Обозначим силу, действующую на первую тележку, как $F_1$, а на вторую — как $F_2$. Тогда их модули равны:

$F_1 = F_2$

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, которое эта сила сообщает телу:

$F = m \cdot a$

Запишем это уравнение для каждой тележки:

$F_1 = m_1 \cdot a_1$

$F_2 = m_2 \cdot a_2$

Поскольку $F_1 = F_2$, мы можем приравнять правые части уравнений:

$m_1 \cdot a_1 = m_2 \cdot a_2$

Из этого соотношения выразим искомое ускорение второй тележки $a_2$:

$a_2 = \frac{m_1 \cdot a_1}{m_2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи и произведем вычисления:

$a_2 = \frac{0,5 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с²}}{0,8 \text{ кг}} = \frac{2}{0,8} \text{ м/с²} = 2,5 \text{ м/с²}$

Ответ: ускорение, которое получила тележка массой 0,8 кг, составляет 2,5 м/с².

160. Мяч массой 0,5 кг после удара, длящегося 0,02 с, приобретает скорость 10 м/с. Определите среднюю силу удара.

Дано:

Масса мяча, $m = 0,5$ кг
Продолжительность удара, $\Delta t = 0,02$ с
Конечная скорость мяча, $v = 10$ м/с
Начальная скорость мяча, $v_0 = 0$ м/с (поскольку мяч приобретает скорость после удара, до удара он покоился).

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Среднюю силу удара, $F_{ср}$ — ?

Решение:

Для нахождения средней силы удара воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме. Согласно этому закону, импульс силы равен изменению импульса тела:

$F_{ср} \cdot \Delta t = \Delta p$

где $F_{ср}$ — средняя сила, $\Delta t$ — промежуток времени, в течение которого действовала сила, а $\Delta p$ — изменение импульса тела.

Изменение импульса тела равно разности его конечного и начального импульсов:

$\Delta p = p - p_0 = m \cdot v - m \cdot v_0$

Подставив это выражение в формулу для импульса силы, получим:

$F_{ср} \cdot \Delta t = m \cdot (v - v_0)$

Выразим отсюда среднюю силу удара $F_{ср}$:

$F_{ср} = \frac{m \cdot (v - v_0)}{\Delta t}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$F_{ср} = \frac{0,5 \, \text{кг} \cdot (10 \, \text{м/с} - 0 \, \text{м/с})}{0,02 \, \text{с}} = \frac{0,5 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}}{0,02 \, \text{с}} = \frac{5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{0,02 \, \text{с}} = 250 \, \text{Н}$

Ответ: средняя сила удара равна 250 Н.

161. Лыжник массой 60 кг, имеющий в конце спуска скорость 36 км/ч, остановился через 40 с после окончания спуска. Определите силу сопротивления его движению.

Дано:

Масса лыжника, $m = 60$ кг

Начальная скорость, $v_0 = 36$ км/ч

Время до остановки, $t = 40$ с

Конечная скорость, $v = 0$ м/с

Перевод в систему СИ:

Скорость $v_0$ нужно перевести из км/ч в м/с.

$v_0 = 36 \text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

Силу сопротивления $F_{сопр}$

Решение:

После окончания спуска лыжник движется по горизонтальной поверхности с замедлением до полной остановки. Это замедление вызвано силой сопротивления. Для нахождения этой силы воспользуемся вторым законом Ньютона:

$F_{сопр} = m \cdot a$

Здесь $a$ — ускорение (в данном случае замедление) лыжника. Чтобы найти ускорение, используем формулу скорости для равноускоренного движения:

$v = v_0 + at$

Выразим из этой формулы ускорение $a$:

$a = \frac{v - v_0}{t}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{0 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{40 \text{ с}} = -0.25 \text{ м/с}^2$

Знак «минус» показывает, что вектор ускорения направлен противоположно вектору начальной скорости, то есть движение является равнозамедленным.

Теперь найдем модуль силы сопротивления, подставив значение массы и модуля ускорения в формулу второго закона Ньютона:

$F_{сопр} = m \cdot |a| = 60 \text{ кг} \cdot |-0.25 \text{ м/с}^2| = 60 \cdot 0.25 \text{ Н} = 15 \text{ Н}$

Ответ: сила сопротивления движению лыжника равна 15 Н.

162. На автомобиль массой 2 т действует при торможении сила 16 кН. Какова начальная скорость автомобиля, если тормозной путь равен 50 м?

Дано:

$m = 2 \text{ т}$

$F = 16 \text{ кН}$

$S = 50 \text{ м}$

$m = 2 \text{ т} = 2 \cdot 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$
$F = 16 \text{ кН} = 16 \cdot 1000 \text{ Н} = 16000 \text{ Н}$

Найти:

$v_0$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи можно использовать теорему об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа, совершаемая равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна изменению его кинетической энергии.

В данном случае на автомобиль действует только сила торможения $F$, которая совершает работу $A$. Работа силы торможения отрицательна, так как сила направлена противоположно перемещению:

$A = -F \cdot S$

Изменение кинетической энергии $\Delta E_k$ равно разности конечной ($E_{k2}$) и начальной ($E_{k1}$) кинетических энергий:

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Начальная кинетическая энергия автомобиля, движущегося со скоростью $v_0$, равна:

$E_{k1} = \frac{m v_0^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия автомобиля равна нулю, так как он останавливается (конечная скорость $v = 0$):

$E_{k2} = 0$

Приравниваем работу к изменению кинетической энергии ($A = \Delta E_k$):

$-F \cdot S = 0 - \frac{m v_0^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на -1:

$F \cdot S = \frac{m v_0^2}{2}$

Теперь выразим из этой формулы начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = \frac{2FS}{m}$

$v_0 = \sqrt{\frac{2FS}{m}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 16000 \text{ Н} \cdot 50 \text{ м}}{2000 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1600000}{2000}} = \sqrt{800} \approx 28.3 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость автомобиля равна $\sqrt{800} \text{ м/с}$, что приблизительно составляет $28.3 \text{ м/с}$.

163. Порожнему прицепу тягач сообщает ускорение $0,4 \text{ м/с}^2$, а гружёному — $0,1 \text{ м/с}^2$. Какое ускорение сообщит тягач обоим прицепам, соединённым вместе? Силу тяги тягача считать во всех случаях одинаковой.

Дано:

Ускорение порожнего прицепа, $a_1 = 0,4 \text{ м/с}^2$
Ускорение гружёного прицепа, $a_2 = 0,1 \text{ м/с}^2$
Сила тяги тягача, $F = \text{const}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Ускорение обоих прицепов, соединённых вместе, $a$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона, который устанавливает связь между силой, массой тела и его ускорением: $F = ma$. По условию задачи, сила тяги $F$ является постоянной во всех трёх случаях.

1. Для порожнего прицепа, имеющего массу $m_1$, второй закон Ньютона можно записать в виде:
$F = m_1 a_1$
Из этой формулы выразим массу порожнего прицепа:
$m_1 = \frac{F}{a_1}$

2. Аналогично, для гружёного прицепа, имеющего массу $m_2$:
$F = m_2 a_2$
Выразим массу гружёного прицепа:
$m_2 = \frac{F}{a_2}$

3. Когда тягач приводит в движение оба прицепа одновременно, их общая масса $M$ будет равна сумме масс каждого прицепа: $M = m_1 + m_2$. Второй закон Ньютона для этой системы будет выглядеть так:
$F = M a = (m_1 + m_2)a$
где $a$ — искомое ускорение.

Выразим ускорение $a$ из последней формулы:
$a = \frac{F}{m_1 + m_2}$
Подставим в это уравнение выражения для масс $m_1$ и $m_2$, которые мы получили ранее:
$a = \frac{F}{\frac{F}{a_1} + \frac{F}{a_2}}$

Силу $F$ в знаменателе можно вынести за скобки и сократить с силой $F$ в числителе:
$a = \frac{F}{F(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2})} = \frac{1}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}}$
Преобразуем выражение в знаменателе, приведя дроби к общему знаменателю:
$a = \frac{1}{\frac{a_2 + a_1}{a_1 a_2}} = \frac{a_1 a_2}{a_1 + a_2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:
$a = \frac{0,4 \cdot 0,1}{0,4 + 0,1} = \frac{0,04}{0,5} = 0,08 \text{ м/с}^2$

Ответ: тягач сообщит обоим прицепам, соединённым вместе, ускорение $0,08 \text{ м/с}^2$.

164. Артём и Олег тянут к берегу лодку. Если бы её тянул только Артём, она двигалась бы к берегу с ускорением $0.5 \text{ м/с}^2$, а если бы тянул только Олег — с ускорением $0.3 \text{ м/с}^2$. С каким ускорением будет двигаться лодка, если её будут тянуть Артём и Олег вместе? Сопротивлением воды пренебречь.

Дано:

Ускорение лодки, создаваемое силой Артёма: $a_1 = 0,5 \text{ м/с}^2$

Ускорение лодки, создаваемое силой Олега: $a_2 = 0,3 \text{ м/с}^2$

Найти:

Ускорение лодки, когда её тянут вместе: $a$

Решение:

Данная задача решается с помощью второго закона Ньютона, который гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение ($F = m \cdot a$). Сопротивлением воды по условию задачи пренебрегаем.

1. Пусть $m$ – масса лодки, $F_1$ – сила, с которой тянет лодку Артём, а $F_2$ – сила, с которой тянет лодку Олег.

2. Когда лодку тянет только Артём, второй закон Ньютона для лодки можно записать в виде:

$F_1 = m \cdot a_1$

3. Когда лодку тянет только Олег, второй закон Ньютона для лодки имеет вид:

$F_2 = m \cdot a_2$

4. Когда Артём и Олег тянут лодку вместе, они действуют в одном направлении (к берегу). Следовательно, их силы складываются. Результирующая сила $F$, действующая на лодку, будет равна сумме сил $F_1$ и $F_2$:

$F = F_1 + F_2$

5. Запишем второй закон Ньютона для случая, когда на лодку действует результирующая сила $F$. Искомое ускорение обозначим как $a$:

$F = m \cdot a$

6. Теперь мы можем приравнять два выражения для результирующей силы $F$ и подставить в них выражения для сил $F_1$ и $F_2$:

$m \cdot a = F_1 + F_2$

$m \cdot a = m \cdot a_1 + m \cdot a_2$

7. Вынесем массу $m$ за скобки в правой части уравнения:

$m \cdot a = m \cdot (a_1 + a_2)$

8. Поскольку масса лодки не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $m$, получив выражение для искомого ускорения:

$a = a_1 + a_2$

9. Подставим числовые значения из условия задачи и произведем вычисление:

$a = 0,5 \text{ м/с}^2 + 0,3 \text{ м/с}^2 = 0,8 \text{ м/с}^2$

Ответ: если Артём и Олег будут тянуть лодку вместе, она будет двигаться с ускорением $0,8 \text{ м/с}^2$.

165. Два тела движутся по оси X. На рисунке 41 представлены графики зависимости проекции скорости движения тел I и II от времени.

Рис. 41

Используя графики, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера. 1) В промежутке времени $t_3 - t_5$ на тело II действует постоянная сила. 2) В промежутке времени $0 - t_3$ сила сообщает телу I положительное ускорение. 3) В промежутке времени $t_4 - t_5$ на тело I сила не действует. 4) Модуль силы, действующей на тело I в промежутки времени $0 - t_1$ и $t_1 - t_2$, различен. 5) В промежутке времени $t_1 - t_2$ сила сообщает телу I отрицательное ускорение.

Решение

Проанализируем каждое из предложенных утверждений, используя график зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$. Проекция ускорения $a_x$ тела равна тангенсу угла наклона касательной к графику $v_x(t)$, а согласно второму закону Ньютона, проекция равнодействующей силы $F_x$ пропорциональна проекции ускорения: $F_x = m a_x$.

1) В промежутке времени $t_3 - t_5$ на тело II действует постоянная сила.

На данном промежутке времени график для тела II представляет собой прямую линию с постоянным наклоном. Это означает, что ускорение тела постоянно ($a_x = \text{const}$) и отлично от нуля. Поскольку масса тела $m$ постоянна, то и равнодействующая сила, действующая на тело, также постоянна ($F_x = \text{const}$). Утверждение является верным.

2) В промежутке времени $0 - t_3$ сила сообщает телу I положительное ускорение.

Рассмотрим движение тела I. В промежутке времени от $0$ до $t_1$ наклон графика положителен, следовательно, ускорение положительно ($a_x > 0$). Однако в промежутке от $t_1$ до $t_2$, который является частью интервала $0 - t_3$, наклон графика отрицателен, что соответствует отрицательному ускорению ($a_x < 0$). Поскольку ускорение не является положительным на всем промежутке $0 - t_3$, утверждение является неверным.

3) В промежутке времени $t_4 - t_5$ на тело I сила не действует.

В этом промежутке времени скорость тела I постоянна и равна нулю ($v_x = 0$). Следовательно, ускорение тела также равно нулю ($a_x = 0$). Из второго закона Ньютона следует, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю ($F_x = 0$). Однако формулировка «сила не действует» в строгом смысле означает полное отсутствие каких-либо сил. На тело, находящееся в состоянии покоя на поверхности, как правило, действуют скомпенсированные силы (например, сила тяжести и сила нормальной реакции опоры). Поэтому данное утверждение, строго говоря, некорректно. Утверждение является неверным.

4) Модуль силы, действующей на тело I в промежутки времени $0 - t_1$ и $t_1 - t_2$, различен.

Модуль силы пропорционален модулю ускорения, $|F_x| = m |a_x|$. Модуль ускорения на каждом участке с постоянным наклоном равен $|a_x| = |\frac{\Delta v_x}{\Delta t}|$. Для промежутка $0 - t_1$ модуль ускорения $|a_{x1}| = \frac{v_{max}}{t_1}$. Для промежутка $t_1 - t_2$ модуль ускорения $|a_{x2}| = \frac{v_{max}}{t_2 - t_1}$. Хотя визуально кажется, что наклон на втором участке круче (что означало бы $t_1 > t_2 - t_1$), график является схематичным и не может служить основанием для количественных сравнений временных интервалов. Мы не можем достоверно утверждать, что $|a_{x1}| \neq |a_{x2}|$. Следовательно, мы не можем выбрать это утверждение как верное.

5) В промежутке времени $t_1 - t_2$ сила сообщает телу I отрицательное ускорение.

В данном промежутке график скорости для тела I является прямой линией с отрицательным наклоном. Отрицательный наклон графика $v_x(t)$ означает, что проекция ускорения $a_x$ отрицательна. Согласно второму закону Ньютона ($F_x = m a_x$), отрицательное ускорение сообщается телу силой, проекция которой на ось X также отрицательна. Утверждение является верным.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 5.

Ответ: 15