Страница 37 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

204. На какую высоту от поверхности Земли поднялся космический корабль, если приборы отметили уменьшение ускорения свободного падения до $2,45 \text{ м/с}^2$?

Дано:

$g_h = 2,45$ м/с²

Для решения задачи нам понадобятся справочные данные:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0 \approx 9,8$ м/с²

Средний радиус Земли $R_З \approx 6400$ км

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли определяется по формуле:

$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M_З$ – масса Земли, $R_З$ – радиус Земли.

На высоте $h$ от поверхности Земли ускорение свободного падения равно:

$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

Чтобы найти высоту $h$, составим отношение ускорений $g_0$ и $g_h$:

$\frac{g_0}{g_h} = \frac{G \frac{M_З}{R_З^2}}{G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}} = \frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = \left(\frac{R_З + h}{R_З}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{\frac{g_0}{g_h}} = \frac{R_З + h}{R_З}$

Выразим из этого уравнения высоту $h$:

$R_З + h = R_З \sqrt{\frac{g_0}{g_h}}$

$h = R_З \sqrt{\frac{g_0}{g_h}} - R_З = R_З \left(\sqrt{\frac{g_0}{g_h}} - 1\right)$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$h = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot \left(\sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2}{2,45 \text{ м/с}^2}} - 1\right) = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot (\sqrt{4} - 1) = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot (2 - 1) = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$h = 6400$ км.

Ответ: космический корабль поднялся на высоту 6400 км от поверхности Земли.

205. Камень свободно падал до дна ущелья в течение 5 с. Рассчитайте глубину ущелья.

Дано:

Время падения камня, $t = 5$ с

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с (так как камень падал свободно)

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

Глубину ущелья, $h$

Решение:

Движение камня является свободным падением, что представляет собой равноускоренное движение без начальной скорости. Глубину ущелья, которая равна пройденному камнем пути $h$, можно найти по формуле для равноускоренного движения:

$h = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

В данном случае начальная скорость $v_0 = 0$, а ускорение $a$ равно ускорению свободного падения $g$. Поэтому формула упрощается до вида:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Теперь подставим в формулу известные значения и выполним расчет:

$h = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (5 \, \text{с})^2}{2} = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 25 \, \text{с}^2}{2} = \frac{245 \, \text{м}}{2} = 122,5 \, \text{м}$

Ответ: глубина ущелья составляет 122,5 м.

206. Определите высоту, с которой упало тело, если в момент удара о землю его скорость равна 25 м/с. Сколько времени падало тело?

Дано:

Конечная скорость тела, $v = 25$ м/с
Начальная скорость тела, $v_0 = 0$ м/с (тело падает из состояния покоя)
Примем ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Высоту падения $h$ - ?
Время падения $t$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулами для свободного падения тела, которое является частным случаем равноускоренного движения. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Определение высоты, с которой упало тело

Высоту падения можно найти, используя формулу, не зависящую от времени, которая связывает начальную и конечную скорости, ускорение и пройденный путь (высоту):$h = \frac{v^2 - v_0^2}{2g}$Поскольку тело начинает падение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$. Формула упрощается:$h = \frac{v^2}{2g}$Подставим известные значения в формулу:$h = \frac{(25 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{625 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2} = 31.25$ м

Ответ: высота, с которой упало тело, составляет 31.25 м.

Определение времени падения тела

Время падения можно определить из формулы для скорости при равноускоренном движении:$v = v_0 + gt$С учетом того, что $v_0 = 0$, получаем:$v = gt$Выразим из этой формулы время $t$:$t = \frac{v}{g}$Подставим известные значения:$t = \frac{25 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 2.5$ с

Ответ: тело падало 2.5 с.

207. Тело свободно падает с высоты 40 м. Чему равна его скорость в момент удара о землю? Найдите время падения тела.

Дано:

Высота падения, $h = 40 \text{ м}$

Начальная скорость, $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (тело падает свободно)

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Скорость в момент удара о землю, $v$ - ?

Время падения, $t$ - ?

Решение:

Свободное падение тела — это частный случай равноускоренного прямолинейного движения, при котором ускорение тела равно ускорению свободного падения $g$, а начальная скорость $v_0$ равна нулю.

Скорость в момент удара о землю

Для нахождения скорости тела в конце падения, не зная времени, удобно использовать формулу, связывающую перемещение (в данном случае высоту $h$), ускорение $g$ и скорости (начальную $v_0$ и конечную $v$):

$h = \frac{v^2 - v_0^2}{2g}$

Поскольку тело падает свободно, его начальная скорость $v_0 = 0$. Формула упрощается:

$h = \frac{v^2}{2g}$

Выразим из этой формулы конечную скорость $v$:

$v^2 = 2gh$

$v = \sqrt{2gh}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 40 \text{ м}} = \sqrt{19,6 \cdot 40} \text{ м/с} = \sqrt{784} \text{ м/с} = 28 \text{ м/с}$

Ответ: скорость тела в момент удара о землю равна 28 м/с.

Время падения тела

Время падения можно найти несколькими способами.

Способ 1. Используя формулу для высоты при свободном падении:

$h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Так как $v_0 = 0$, получаем:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим из формулы время $t$:

$t^2 = \frac{2h}{g}$

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим известные значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 40 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{80}{9,8}} \text{ с} = \sqrt{\frac{800}{98}} \text{ с} = \sqrt{\frac{400}{49}} \text{ с} = \frac{20}{7} \text{ с}$

Приблизительное значение: $t \approx 2,86 \text{ с}$.

Способ 2. Используя формулу для скорости при свободном падении и уже найденное значение конечной скорости $v = 28 \text{ м/с}$:

$v = v_0 + gt$

При $v_0 = 0$ имеем:

$v = gt$

Выразим время $t$:

$t = \frac{v}{g}$

Подставим значения:

$t = \frac{28 \text{ м/с}}{9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{280}{98} \text{ с} = \frac{20}{7} \text{ с} \approx 2,86 \text{ с}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: время падения тела составляет $\frac{20}{7}$ с (приблизительно 2,86 с).

208. Стрела выпущена вертикально вверх со скоростью 50 м/с. Через 3 с она попадает в цель. На какой высоте находилась цель и чему была равна скорость стрелы в момент попадания её в цель?

Дано:

Начальная скорость стрелы, $v_0 = 50$ м/с

Время полета до цели, $t = 3$ с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с² (примем значение для удобства расчетов)

Найти:

Высоту, на которой находилась цель, $h$ - ?

Скорость стрелы в момент попадания в цель, $v$ - ?

Решение:

Движение стрелы, выпущенной вертикально вверх, является равнозамедленным движением под действием силы тяжести. Направим координатную ось OY вертикально вверх, с началом отсчета в точке выстрела ($y_0 = 0$). В этом случае проекция начальной скорости на ось OY будет положительной ($v_{0y} = v_0$), а проекция ускорения свободного падения — отрицательной ($a_y = -g$).

На какой высоте находилась цель

Высоту, на которой находилась цель, можно определить с помощью уравнения движения для координаты тела при равноускоренном движении:

$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим в формулу известные значения:

$h = 50 \frac{м}{с} \cdot 3 \text{ с} - \frac{10 \frac{м}{с^2} \cdot (3 \text{ с})^2}{2}$

$h = 150 \text{ м} - \frac{10 \frac{м}{с^2} \cdot 9 \text{ с}^2}{2}$

$h = 150 \text{ м} - \frac{90 \text{ м}}{2}$

$h = 150 \text{ м} - 45 \text{ м} = 105 \text{ м}$

Ответ: Цель находилась на высоте 105 м.

Чему была равна скорость стрелы в момент попадания её в цель

Скорость стрелы в момент времени $t$ определяется по формуле:

$v = v_0 - gt$

Подставим числовые значения:

$v = 50 \frac{м}{с} - 10 \frac{м}{с^2} \cdot 3 \text{ с}$

$v = 50 \frac{м}{с} - 30 \frac{м}{с}$

$v = 20 \frac{м}{с}$

Так как полученное значение скорости положительно, это означает, что в момент попадания в цель стрела все еще продолжала двигаться вверх.

Ответ: Скорость стрелы в момент попадания в цель была равна 20 м/с.

209. Испытатель парашюта пролетел, не раскрывая парашюта, 9,8 км за 150 с. Определите, на сколько секунд сопротивление воздуха увеличило время падения.

Дано:

$h = 9,8 \text{ км}$

$t_{реал} = 150 \text{ с}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$h = 9,8 \times 1000 = 9800 \text{ м}$

Найти:

$\Delta t - ?$

Решение:

Чтобы определить, на сколько секунд сопротивление воздуха увеличило время падения, необходимо сравнить реальное время падения ($t_{реал}$) с теоретическим временем падения в вакууме ($t_{теор}$), то есть без сопротивления воздуха.

1. Рассчитаем теоретическое время падения. Движение тела в вакууме под действием силы тяжести является свободным падением. Это равноускоренное движение с начальной скоростью $v_0 = 0$ и ускорением $g$. Путь, пройденный телом, определяется по формуле:

$h = v_0t + \frac{gt^2}{2}$

Так как начальная скорость равна нулю, формула принимает вид:

$h = \frac{gt_{теор}^2}{2}$

Выразим из этой формулы время падения $t_{теор}$:

$t_{теор}^2 = \frac{2h}{g}$

$t_{теор} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим известные значения в систему СИ:

$t_{теор} = \sqrt{\frac{2 \times 9800 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{19600}{9,8}} \text{ с} = \sqrt{2000} \text{ с} \approx 44,72 \text{ с}$

Таким образом, без сопротивления воздуха испытатель пролетел бы это расстояние примерно за 44,72 секунды.

2. Теперь найдем разницу между реальным временем падения и теоретическим. Эта разница и покажет, на сколько сопротивление воздуха увеличило время падения.

$\Delta t = t_{реал} - t_{теор}$

$\Delta t = 150 \text{ с} - 44,72 \text{ с} = 105,28 \text{ с}$

Ответ: сопротивление воздуха увеличило время падения на 105,28 с.

210. Тело брошено вертикально вверх со скоростью $20 \text{ м/с}$. Постройте график скорости движения данного тела. Через какое время оно упадет на землю? Какой путь пройдет тело при этом?

Дано:

Начальная скорость тела, $v_0 = 20 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

1. График скорости движения $v(t)$.

2. Время падения на землю, $t_{полн}$.

3. Пройденный путь, $S$.

Решение:

Направим ось OY вертикально вверх. В этом случае начальная скорость тела имеет положительную проекцию $v_{0y} = v_0 = 20 \text{ м/с}$, а ускорение свободного падения — отрицательную: $a_y = -g = -10 \text{ м/с}^2$. Движение тела является равноускоренным.

Постройте график скорости движения данного тела.

Зависимость скорости от времени для равноускоренного движения описывается уравнением $v_y(t) = v_{0y} + a_y t$. Подставим известные значения:

$v_y(t) = 20 - 10t$

Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух ключевых точек:

1. В начальный момент времени $t=0$: $v_y(0) = 20 - 10 \cdot 0 = 20 \text{ м/с}$. Точка на графике (0; 20).

2. В момент достижения максимальной высоты подъема, скорость тела становится равной нулю. Найдем это время $t_{под}$:

$0 = 20 - 10t_{под} \implies 10t_{под} = 20 \implies t_{под} = 2 \text{ с}$. Точка пересечения с осью времени (2; 0).

В силу симметрии движения, полное время полета $t_{полн}$ будет в два раза больше времени подъема: $t_{полн} = 2 \cdot t_{под} = 4 \text{ с}$. Скорость в этот момент будет:

$v_y(4) = 20 - 10 \cdot 4 = 20 - 40 = -20 \text{ м/с}$. Конечная точка графика (4; -20).

График скорости — это отрезок прямой, соединяющий точки (0; 20) и (4; -20) на плоскости $(t, v_y)$.

Ответ: График зависимости скорости от времени $v_y(t) = 20 - 10t$ представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки (0, 20) и (4, -20) и пересекающий ось времени в точке (2, 0).

Через какое время оно упадёт на землю?

Тело упадёт на землю, когда его перемещение по вертикали станет равным нулю ($y(t) = 0$). Уравнение для перемещения имеет вид: $y(t) = v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$.

Подставим наши данные:

$y(t) = 20t + \frac{(-10) t^2}{2} = 20t - 5t^2$

Приравняем перемещение к нулю, чтобы найти время полета $t_{полн}$:

$20t - 5t^2 = 0$

$5t(4 - t) = 0$

Уравнение имеет два решения: $t_1 = 0 \text{ с}$ (начало движения) и $t_2 = 4 \text{ с}$ (момент падения на землю).

Ответ: Тело упадёт на землю через 4 с.

Какой путь пройдёт тело при этом?

Общий пройденный путь $S$ равен сумме пути, пройденного телом при движении вверх до максимальной высоты ($S_{вверх}$), и пути, пройденного при падении вниз ($S_{вниз}$).

$S = S_{вверх} + S_{вниз}$

Найдем максимальную высоту подъема $h_{max} = S_{вверх}$. Время подъема составляет $t_{под} = 2 \text{ с}$.

$S_{вверх} = y(2) = 20 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 40 - 20 = 20 \text{ м}$.

Так как движение симметрично (сопротивлением воздуха пренебрегаем), путь вниз равен пути вверх: $S_{вниз} = S_{вверх} = 20 \text{ м}$.

Тогда общий путь равен:

$S = 20 \text{ м} + 20 \text{ м} = 40 \text{ м}$.

Ответ: Тело пройдет путь 40 м.

211. Маленькая южноамериканская антилопа отталкивается от земли со скоростью $12 \text{ м/с}$. На какую высоту прыгает антилопа? Сколько времени длится прыжок?

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 12$ м/с

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$h$ - максимальная высота прыжка

$t$ - общее время прыжка

Решение:

Прыжок антилопы можно рассматривать как движение тела, брошенного вертикально вверх. Пренебрегаем сопротивлением воздуха.

На какую высоту прыгает антилопа?

В момент достижения максимальной высоты $h$ скорость антилопы становится равной нулю ($v = 0$). Для нахождения высоты подъема можно использовать формулу кинематики для движения с постоянным ускорением, которая связывает перемещение, начальную и конечную скорости:

$h = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

В нашем случае конечная скорость $v = 0$, а ускорение $a = -g$ (направлено вниз, против начальной скорости). Формула принимает вид:

$h = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{(12 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{144 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19.6 \text{ м/с}^2} \approx 7.35$ м.

Ответ: антилопа прыгает на высоту примерно 7.35 м.

Сколько времени длится прыжок?

Общее время прыжка $t$ складывается из времени подъема на максимальную высоту $t_{подъема}$ и времени падения с этой высоты $t_{падения}$. Поскольку движение симметрично (сопротивление воздуха не учитывается), время подъема равно времени падения.

Время подъема можно найти из уравнения для скорости:

$v = v_0 + at$

Подставив $v=0$ и $a=-g$, получим:

$0 = v_0 - g \cdot t_{подъема}$

Отсюда находим время подъема:

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g}$

Подставим значения:

$t_{подъема} = \frac{12 \text{ м/с}}{9.8 \text{ м/с}^2} \approx 1.22$ с.

Общее время прыжка равно удвоенному времени подъема:

$t = 2 \cdot t_{подъема} = 2 \cdot \frac{v_0}{g} = 2 \cdot \frac{12 \text{ м/с}}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{24}{9.8} \text{ с} \approx 2.45$ с.

Ответ: прыжок длится примерно 2.45 с.

212. Тело, брошенное вертикально вверх с поверхности земли, поднимается на высоту 25 м, а затем падает на дно шахты глубиной 100 м. Через какое время от момента бросания тело достигнет дна шахты?

Дано:

Максимальная высота подъема тела, $h_1 = 25$ м
Глубина шахты, $h_2 = 100$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Общее время движения тела, $t$ - ?

Решение:

Движение тела от момента броска до падения на дно шахты можно разделить на два основных этапа:

1. Подъем тела от поверхности земли до максимальной высоты $h_1$.

2. Свободное падение тела с максимальной высоты до дна шахты.

Общее время движения $t$ будет равно сумме времени подъема $t_1$ и времени падения $t_2$.

1. Найдем время подъема $t_1$.

Движение тела вверх является равнозамедленным. В верхней точке траектории скорость тела становится равной нулю. Время подъема на высоту $h_1$ равно времени свободного падения с этой же высоты без начальной скорости. Воспользуемся формулой для высоты при свободном падении:

$h_1 = \frac{gt_1^2}{2}$

Из этой формулы выразим время подъема $t_1$:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 25 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{50}{10}} \text{ с} = \sqrt{5}$ с.

2. Найдем время падения $t_2$.

Тело падает с максимальной высоты $h_1$ над землей до дна шахты глубиной $h_2$. Таким образом, общая высота падения $H$ составляет:

$H = h_1 + h_2 = 25 \text{ м} + 100 \text{ м} = 125$ м.

Падение с высоты $H$ начинается из состояния покоя (скорость в верхней точке равна нулю). Время падения $t_2$ найдем по аналогичной формуле:

$H = \frac{gt_2^2}{2}$

Выразим время падения $t_2$:

$t_2 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 125 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{250}{10}} \text{ с} = \sqrt{25} \text{ с} = 5$ с.

3. Найдем общее время движения $t$.

Общее время равно сумме времени подъема и времени падения:

$t = t_1 + t_2 = (\sqrt{5} + 5)$ с.

Для численной оценки, можно использовать приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.24$ с.

$t \approx 2.24 \text{ с} + 5 \text{ с} = 7.24$ с.

Ответ: общее время движения тела от момента броска до достижения дна шахты составляет $(\sqrt{5} + 5)$ с.

213. На высоте 30 км двигатели метеорологической ракеты прекратили работу, сообщив ей вертикальную скорость 1 км/с. Какой наибольшей высоты достигнет ракета? На какой высоте окажется ракета через 10 с после прекращения работы двигателей?

Дано:

Начальная высота, $h_0 = 30 \text{ км} = 30000 \text{ м}$

Начальная скорость, $v_0 = 1 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 1000 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Время, $t = 10 \text{ с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (примем это значение для упрощения расчетов)

Найти:

1. Наибольшую высоту подъема, $H_{max}$

2. Высоту через 10 с, $H(10)$

Решение:

После прекращения работы двигателей ракета продолжает движение вверх по инерции. Это движение является равнозамедленным с ускорением, равным ускорению свободного падения $g$ и направленным вниз, против начальной скорости. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх. Начало отсчета ($y=0$) будем считать на уровне земли. Таким образом, движение ракеты после отключения двигателей описывается кинематическими уравнениями для тела, брошенного вертикально вверх.

Какой наибольшей высоты достигнет ракета?

На наибольшей высоте подъема скорость ракеты становится равной нулю ($v=0$). Для нахождения высоты подъема $\Delta h$ после отключения двигателей воспользуемся формулой, связывающей перемещение, начальную и конечную скорости и ускорение:

$v^2 - v_0^2 = 2as$

В нашем случае конечная скорость $v=0$, ускорение $a=-g$ (знак "минус", так как ускорение направлено против оси OY), а перемещение $s = \Delta h$.

$0^2 - v_0^2 = -2g\Delta h$

Отсюда высота подъема $\Delta h$ равна:

$\Delta h = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$\Delta h = \frac{(1000 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{1000000 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{20 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 50000 \text{ м} = 50 \text{ км}$

Это высота, на которую ракета поднимется после отключения двигателей. Наибольшая высота $H_{max}$ будет суммой начальной высоты $h_0$, на которой отключились двигатели, и высоты подъема $\Delta h$.

$H_{max} = h_0 + \Delta h = 30 \text{ км} + 50 \text{ км} = 80 \text{ км}$

Ответ: наибольшая высота, которой достигнет ракета, составляет 80 км.

На какой высоте окажется ракета через 10 с после прекращения работы двигателей?

Для нахождения высоты ракеты в любой момент времени $t$ после отключения двигателей воспользуемся уравнением движения, которое описывает высоту $H(t)$ над землей:

$H(t) = h_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$

Подставляя $a=-g$, получаем:

$H(t) = h_0 + v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим в это уравнение известные значения для $t = 10$ с:

$H(10) = 30000 \text{ м} + (1000 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 10 \text{ с}) - \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (10 \text{ с})^2}{2}$

$H(10) = 30000 \text{ м} + 10000 \text{ м} - \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 100 \text{ с}^2}{2} = 40000 \text{ м} - \frac{1000 \text{ м}}{2} = 40000 \text{ м} - 500 \text{ м} = 39500 \text{ м}$

Переведем результат в километры:

$H(10) = 39.5 \text{ км}$

Ответ: через 10 с после прекращения работы двигателей ракета окажется на высоте 39.5 км.

214. Каково отношение путей, пройденных телом при свободном падении: а) за четвёртую и шестую секунды от начала движения; б) за четыре и шесть секунд от начала движения?

Дано:

Свободное падение тела

Начальная скорость $v_0 = 0$

Ускорение свободного падения $g$

а) $n_1$ = 4-я секунда, $n_2$ = 6-я секунда

б) $t_1 = 4$ с, $t_2 = 6$ с

Найти:

а) $\frac{\Delta s_4}{\Delta s_6}$ - отношение путей, пройденных за четвертую и шестую секунды.

б) $\frac{s_4}{s_6}$ - отношение путей, пройденных за четыре и шесть секунд.

Решение:

При свободном падении без начальной скорости движение является равноускоренным. Путь, пройденный телом за время $t$, определяется по формуле:

$s(t) = v_0t + \frac{gt^2}{2} = \frac{gt^2}{2}$

а) за четвёртую и шестую секунды от начала движения

Путь, пройденный телом за $n$-ую секунду, можно найти как разность между путем, пройденным за $n$ секунд, и путем, пройденным за $n-1$ секунд.

$\Delta s_n = s(n) - s(n-1)$

Путь за четвертую секунду ($n=4$):

$\Delta s_4 = s(4) - s(3) = \frac{g \cdot 4^2}{2} - \frac{g \cdot 3^2}{2} = \frac{g}{2}(16 - 9) = \frac{7g}{2}$

Путь за шестую секунду ($n=6$):

$\Delta s_6 = s(6) - s(5) = \frac{g \cdot 6^2}{2} - \frac{g \cdot 5^2}{2} = \frac{g}{2}(36 - 25) = \frac{11g}{2}$

Теперь найдем отношение этих путей:

$\frac{\Delta s_4}{\Delta s_6} = \frac{\frac{7g}{2}}{\frac{11g}{2}} = \frac{7}{11}$

Ответ: Отношение путей, пройденных за четвертую и шестую секунды, равно $7/11$.

б) за четыре и шесть секунд от начала движения

Используем ту же формулу для общего пути, пройденного от начала движения $s(t) = \frac{gt^2}{2}$.

Путь за четыре секунды ($t_1 = 4$ с):

$s_4 = s(4) = \frac{g \cdot 4^2}{2} = \frac{16g}{2}$

Путь за шесть секунд ($t_2 = 6$ с):

$s_6 = s(6) = \frac{g \cdot 6^2}{2} = \frac{36g}{2}$

Найдем отношение этих путей:

$\frac{s_4}{s_6} = \frac{\frac{16g}{2}}{\frac{36g}{2}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$

Ответ: Отношение путей, пройденных за четыре и шесть секунд, равно $4/9$.

215. С вертолёта, находящегося на высоте $300 \text{ м}$, сбросили груз. Через какое время груз упадёт на землю, если: а) вертолёт неподвижен; б) вертолёт равномерно поднимается со скоростью $5 \text{ м/с}$; в) вертолёт равномерно опускается со скоростью $5 \text{ м/с}$? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Высота, $h = 300$ м

Скорость вертолёта в случае а), $v_a = 0$ м/с

Скорость вертолёта в случае б), $v_b = 5$ м/с (направлена вверх)

Скорость вертолёта в случае в), $v_c = 5$ м/с (направлена вниз)

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные уже приведены в системе СИ.

Найти:

Время падения груза в каждом случае: $t_a, t_b, t_c$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением движения тела при равноускоренном движении. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета (y=0) поместим на поверхности земли. В этом случае начальная координата груза во всех случаях будет $y_0 = h = 300$ м, а конечная координата (в момент падения на землю) $y = 0$.

Общее уравнение движения имеет вид: $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$.

Так как на груз действует только сила тяжести, его ускорение равно ускорению свободного падения и направлено вниз: $a_y = -g$. Уравнение движения принимает вид:

$0 = h + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$.

Это квадратное уравнение относительно времени $t$: $\frac{g}{2}t^2 - v_{0y}t - h = 0$.

Начальная скорость груза $v_{0y}$ в момент сбрасывания равна скорости вертолёта.

а) вертолёт неподвижен

В этом случае начальная скорость груза равна нулю: $v_{0y} = 0$.

Уравнение движения упрощается до: $h = \frac{gt_a^2}{2}$.

Выразим из него время падения $t_a$:

$t_a = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t_a = \sqrt{\frac{2 \cdot 300 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{600}{10}} \text{ с} = \sqrt{60} \text{ с} \approx 7.75 \text{ с}$.

Ответ: $t_a \approx 7.75$ с.

б) вертолёт равномерно поднимается со скоростью 5 м/с

Начальная скорость груза равна скорости вертолёта и направлена вверх, поэтому $v_{0y} = 5$ м/с.

Подставим значения в квадратное уравнение:

$\frac{10}{2}t_b^2 - 5t_b - 300 = 0$

$5t_b^2 - 5t_b - 300 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$t_b^2 - t_b - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$.

$t_b = \frac{1 \pm \sqrt{241}}{2}$.

Так как время не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком плюс:

$t_b = \frac{1 + \sqrt{241}}{2} \approx \frac{1 + 15.52}{2} = \frac{16.52}{2} \approx 8.26 \text{ с}$.

Ответ: $t_b \approx 8.26$ с.

в) вертолёт равномерно опускается со скоростью 5 м/с

Начальная скорость груза равна скорости вертолёта и направлена вниз, поэтому $v_{0y} = -5$ м/с.

Подставим значения в квадратное уравнение:

$\frac{10}{2}t_c^2 - (-5)t_c - 300 = 0$

$5t_c^2 + 5t_c - 300 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$t_c^2 + t_c - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$.

Корни уравнения:

$t_c = \frac{-1 \pm \sqrt{241}}{2}$.

Так как время не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком плюс:

$t_c = \frac{-1 + \sqrt{241}}{2} \approx \frac{-1 + 15.52}{2} = \frac{14.52}{2} \approx 7.26 \text{ с}$.

Ответ: $t_c \approx 7.26$ с.