Страница 41 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 242. В битве при Моонзунде уже устаревшему линкору «Слава» пришлось выдержать бой с новейшими немецкими кораблями. При этом команда линкора периодически подтапливала часть трюмных помещений, заставляя корабль наклониться. Какой параметр стремились таким образом увеличить моряки линкора? До какого предела теоретически имели смысл подобные действия?

Какой параметр стремились таким образом увеличить моряки линкора?

Затапливая трюмные помещения с одного борта, команда линкора «Слава» создавала искусственный крен (наклон) корабля. Это делалось для того, чтобы увеличить максимальный угол возвышения орудий главного калибра. Дальность полета снаряда в артиллерии зависит от начальной скорости и угла бросания. При фиксированной начальной скорости дальность стрельбы $L$ определяется углом возвышения орудия $\alpha$ по формуле (без учета сопротивления воздуха и кривизны Земли):

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $v_0$ — начальная скорость снаряда, а $g$ — ускорение свободного падения. Увеличение угла возвышения $\alpha$ (в диапазоне от 0° до 45°) приводит к увеличению дальности стрельбы. Орудия линкора имели конструктивное ограничение по максимальному углу подъема ствола ($\alpha_{max}$). Создавая крен $\beta$ на борт, противоположный направлению стрельбы, моряки добавляли этот угол к максимальному углу возвышения орудий. Таким образом, новый угол стрельбы относительно горизонта составлял $\alpha' = \alpha_{max} + \beta$, что позволяло увеличить дальность стрельбы и поражать более удаленные цели, до которых не могли "дотянуться" немецкие корабли.

Ответ: Моряки линкора стремились увеличить дальность стрельбы своих орудий.

До какого предела теоретически имели смысл подобные действия?

С точки зрения баллистики, максимальная дальность полета снаряда (в вакууме) достигается при угле бросания, равном 45° к горизонту. Это следует из анализа формулы дальности $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$, так как функция $\sin(2\alpha)$ достигает своего максимума, равного 1, при $2\alpha = 90°$, то есть при $\alpha = 45°$.

Следовательно, подобные действия по созданию искусственного крена имели теоретический смысл до тех пор, пока суммарный угол возвышения орудия (конструктивный угол плюс угол крена) не достигал 45°. Если бы суммарный угол $\alpha' = \alpha_{max} + \beta$ превысил 45°, дальность стрельбы начала бы уменьшаться. На практике, конечно, существуют и другие, более жесткие ограничения: потеря остойчивости корабля с риском опрокидывания, нарушение работы механизмов наведения и заряжания при большом крене, а также сильное влияние сопротивления воздуха, которое делает оптимальный угол для максимальной дальности несколько меньше 45°.

Ответ: Теоретически подобные действия имели смысл до тех пор, пока суммарный угол возвышения орудий относительно горизонта не достигал 45°.

► 243. Согласно легенде, Галилей, проверяя своё предположение о независимости скорости свободного падения тела от его массы, сбрасывал с Пизанской башни (высота 54 м) пушечное ядро массой 80 кг и мушкетную пулю массой 200 г. Оба тела достигали поверхности земли практически одновременно. Какой вывод сделал учёный из этого опыта? Почему в опыте наблюдалось некоторое отставание пули от ядра? Ускорение свободного падения от массы тела не зависит.

Какой вывод сделал учёный из этого опыта?

Наблюдая, что пушечное ядро массой 80 кг и мушкетная пуля массой 200 г, сброшенные с одинаковой высоты, достигли земли практически одновременно, Галилео Галилей сделал фундаментальный вывод. Этот опыт опровергал многовековую доктрину Аристотеля, утверждавшую, что тяжёлые тела падают быстрее лёгких. Галилей пришёл к заключению, что в идеализированных условиях, то есть в отсутствие сопротивления воздуха (в вакууме), все тела падают с одинаковым ускорением, независимо от их массы, формы или объёма. Это ускорение, известное как ускорение свободного падения $g$, является константой для всех тел в данном месте.

Ответ: Главный вывод, который сделал Галилей из этого опыта, заключается в том, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела.

Почему в опыте наблюдалось некоторое отставание пули от ядра?

Небольшое отставание мушкетной пули от пушечного ядра объясняется влиянием сопротивления воздуха, которое в реальном эксперименте всегда присутствует. На каждое падающее тело действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха $F_с$, направленная против движения (вверх). Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела равно $a = \frac{F_{нетто}}{m} = \frac{F_т - F_с}{m} = g - \frac{F_с}{m}$.
Сила сопротивления воздуха зависит от скорости, формы и площади поперечного сечения тела. Хотя абсолютное значение силы сопротивления для более крупного ядра больше, её влияние на движение тела определяется отношением $\frac{F_с}{m}$. У пушечного ядра очень большая масса $m$, поэтому "тормозящий" вклад $\frac{F_с}{m}$ относительно невелик. У мушкетной пули масса значительно меньше, и поэтому та же сила сопротивления (или даже меньшая) оказывает на неё гораздо большее тормозящее действие (отношение $\frac{F_с}{m}$ для пули больше). В результате результирующее ускорение пули оказывается немного меньше, чем у ядра, из-за чего она и достигает земли чуть позже.

Ответ: Отставание пули было вызвано силой сопротивления воздуха, которая оказывает пропорционально большее тормозящее действие на менее массивное тело (пулю) по сравнению с более массивным (ядром).

► 244. В опытах по свободному падению Галилей вместо падения тел рассматривал их движение по гладкой наклонной плоскости. Почему оказалась возможной такая замена?

Решение

Галилео Галилей в своих экспериментах по изучению свободного падения столкнулся с серьезной технической проблемой: свободное падение тел происходит очень быстро. В его время (XVII век) не существовало точных приборов для измерения малых промежутков времени, таких как современные секундомеры. Использование водяных часов или собственного пульса не давало необходимой точности для изучения быстрого движения.

Для решения этой проблемы Галилей использовал наклонную плоскость. Это позволило "замедлить" падение, сделав его доступным для изучения с помощью имевшихся у него средств. Такая замена оказалась возможной по следующим причинам:

1. Уменьшение ускорения. При движении тела по наклонной плоскости ускорение ему сообщает не вся сила тяжести $F_g = mg$, а только ее составляющая, направленная параллельно плоскости. Эта составляющая равна $F_{||} = mg \sin(\alpha)$, где $\alpha$ - угол наклона плоскости к горизонту. Соответственно, ускорение тела на гладкой (без трения) наклонной плоскости равно $a = g \sin(\alpha)$. Поскольку $\sin(\alpha)$ при $\alpha < 90^\circ$ всегда меньше единицы, ускорение $a$ на наклонной плоскости меньше ускорения свободного падения $g$. Выбирая малый угол наклона $\alpha$, Галилей мог сделать ускорение достаточно малым, чтобы время движения можно было измерить с приемлемой точностью.

2. Сохранение характера движения. Самое главное, что движение тела по наклонной плоскости (при условии малого трения) является равноускоренным, так же как и свободное падение. Ускорение $a = g \sin(\alpha)$ постоянно, если угол $\alpha$ не меняется. Таким образом, изучая более медленное равноускоренное движение по наклонной плоскости, Галилей мог вывести общие законы для такого типа движения (например, что пройденный путь пропорционален квадрату времени, $s \propto t^2$).

3. Возможность экстраполяции. Получив законы для равноускоренного движения на наклонной плоскости, Галилей мог логически распространить (экстраполировать) их на случай свободного падения. Он мог рассуждать, что свободное падение — это предельный случай движения по наклонной плоскости, когда угол наклона стремится к $90^\circ$. При $\alpha \rightarrow 90^\circ$, $\sin(\alpha) \rightarrow 1$, и ускорение $a$ стремится к $g$. Следовательно, законы, открытые для движения по наклонной плоскости, должны быть справедливы и для свободного падения.

Таким образом, использование наклонной плоскости было гениальным экспериментальным приемом, который позволил Галилею преодолеть технические ограничения своего времени и установить фундаментальные законы кинематики.

Ответ: Такая замена оказалась возможной, потому что движение по гладкой наклонной плоскости, как и свободное падение, является равноускоренным, но с меньшим ускорением ($a = g \sin(\alpha)$). Это позволило "замедлить" движение и измерить его параметры (время, расстояние) с достаточной для того времени точностью. Изучив законы этого замедленного движения, Галилей смог обобщить их и на случай свободного падения.

245. В начале подъёма в лифте высотного здания человек ощущает, что его прижимает к полу лифта. Изменяются ли при этом: а) масса человека; б) сила тяжести, действующая на человека; в) вес человека?

В начале подъема лифт движется с ускорением, направленным вверх. Это состояние движения с ускорением влияет на физические величины, связанные с силами, действующими на человека. Рассмотрим каждую величину отдельно.

а) масса человека

Масса ($m$) является мерой инертности тела, то есть его способности сопротивляться изменению скорости. Это собственная, скалярная характеристика тела, которая не зависит от того, движется тело или покоится, а также от того, где оно находится. Поэтому масса человека при подъеме в лифте не изменяется.

Ответ: масса человека не изменяется.

б) сила тяжести, действующая на человека

Сила тяжести ($F_{тяж}$) — это сила гравитационного притяжения человека к Земле. Она рассчитывается по формуле $F_{тяж} = mg$, где $m$ — масса человека, а $g$ — ускорение свободного падения. Поскольку масса человека не меняется, а ускорение свободного падения в пределах высоты здания можно считать постоянным, то и сила тяжести, действующая на человека, не изменяется.

Ответ: сила тяжести, действующая на человека, не изменяется.

в) вес человека

Вес тела ($P$) — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Когда лифт начинает движение вверх, он движется с ускорением $a$, направленным вверх. На человека в лифте действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вниз, и сила реакции опоры $N$ со стороны пола, направленная вверх.
Согласно второму закону Ньютона, $N - mg = ma$.
Отсюда сила реакции опоры $N = mg + ma = m(g + a)$.
По третьему закону Ньютона, вес человека $P$ равен по модулю силе реакции опоры $N$. Следовательно, вес человека в лифте, ускоряющемся вверх, равен $P = m(g + a)$.
Поскольку ускорение $a > 0$, вес человека $P$ становится больше, чем его вес в состоянии покоя ($P_0 = mg$). Это явление называется перегрузкой. Именно увеличение веса и ощущается человеком как «прижимание» к полу.

Ответ: вес человека изменяется (увеличивается).

246. На тросе висит груз. Укажите точки приложения веса груза и силы тяжести. Ответ поясните рисунком.

Решение

Для правильного ответа на вопрос необходимо чётко различать физические понятия силы тяжести и веса тела.

Сила тяжести ($F_{тяж}$) — это сила, с которой планета (в данном случае Земля) притягивает к себе тело. Эта сила является проявлением закона всемирного тяготения. Сила тяжести действует на все частицы тела, но в механике принято считать, что её равнодействующая приложена к одной точке — центру масс (или центру тяжести) тела. В нашем случае сила тяжести приложена к центру масс груза и направлена вертикально вниз.

Вес ($P$) — это сила, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на опору или подвес. В данном случае подвесом является трос. Таким образом, вес груза — это сила, которую груз прикладывает к тросу в точке их соединения. Эта сила также направлена вертикально вниз.

Различие в точках приложения этих двух сил показано на рисунке.

Ответ: Точка приложения силы тяжести — это центр масс груза. Точка приложения веса груза — это точка крепления груза к тросу (вес приложен к тросу, а не к грузу).

247. Динамометр, на котором подвешен груз, начинает падать с некоторой высоты. Указатель динамометра при этом устанавливается на нуле. Можно ли сказать, что равны нулю: а) вес груза; б) масса груза; в) сила тяжести?

Рассмотрим каждый пункт отдельно, анализируя физические понятия веса, массы и силы тяжести в условиях свободного падения.

а) вес груза

Вес тела ($P$) — это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес. Динамометр измеряет силу упругости пружины, которая в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения равна весу подвешенного груза.

Когда система «динамометр-груз» начинает свободно падать, и динамометр, и груз движутся вниз с одинаковым ускорением свободного падения ($g$). Поскольку они падают одновременно, груз перестает растягивать пружину динамометра, то есть перестает действовать на подвес. Это состояние называется невесомостью. Показания динамометра, равные нулю, как раз и означают, что вес груза в данный момент равен нулю.

Ответ: Да, можно сказать, что вес груза равен нулю.

б) масса груза

Масса ($m$) — это внутренняя, скалярная характеристика тела, являющаяся мерой его инертности. Масса не зависит от скорости тела или от того, в каком гравитационном поле оно находится. Поскольку сам груз никуда не исчез, его масса осталась неизменной и отличной от нуля.

Ответ: Нет, нельзя сказать, что масса груза равна нулю.

в) сила тяжести

Сила тяжести ($F_{тяж}$) — это сила, с которой Земля притягивает тело. Она рассчитывается по формуле $F_{тяж} = mg$. Эта сила продолжает действовать на груз, даже когда он падает. Более того, именно сила тяжести является причиной свободного падения и сообщает телу ускорение $g$. Так как масса груза $m$ и ускорение свободного падения $g$ не равны нулю, то и сила тяжести, действующая на груз, не равна нулю.

Ответ: Нет, нельзя сказать, что сила тяжести равна нулю.

248. Аквалангист, плавающий под водой, находится в состоянии равновесия при любом положении тела. Будет ли это состоянием невесомости?

Нет, состояние, в котором находится аквалангист, не является состоянием невесомости, хотя и имеет с ним внешнее сходство.

Состояние равновесия, в котором находится аквалангист, означает, что сумма всех действующих на него сил равна нулю. В воде на аквалангиста действуют две основные силы: сила тяжести $ \vec{F}_{т} $, направленная вертикально вниз, и выталкивающая сила Архимеда $ \vec{F}_{А} $, направленная вертикально вверх. Равновесие достигается тогда, когда эти силы уравновешивают друг друга:

$ \vec{F}_{т} + \vec{F}_{А} = 0 $

По модулю эти силы равны: $ F_{т} = F_{А} $. Это состояние называется нейтральной плавучестью. Аквалангист по-прежнему обладает массой и на него действует сила тяжести, но эта сила скомпенсирована действием другой силы — выталкивающей силы воды.

Невесомость — это состояние, при котором отсутствует вес тела. Вес — это сила, с которой тело вследствие притяжения к гравитирующему объекту (например, Земле) действует на опору или подвес. Истинная невесомость наступает тогда, когда на тело не действуют никакие силы, кроме гравитационной. Классическим примером является состояние свободного падения, например, в космическом корабле на орбите Земли. И космонавт, и корабль падают на Землю с одинаковым ускорением свободного падения $ \vec{g} $, поэтому космонавт не давит на стенки корабля и не ощущает веса.

Таким образом, ключевое различие между этими двумя состояниями заключается в следующем:

• На аквалангиста действуют две большие, скомпенсированные силы (тяжести и Архимеда), и его ускорение равно нулю.
• На тело в состоянии невесомости действует только одна сила — гравитационная, которая сообщает ему ускорение свободного падения.

Ответ: Нет, это состояние не является невесомостью. Это состояние равновесия (нейтральной плавучести), при котором сила тяжести, действующая на аквалангиста, полностью уравновешена выталкивающей силой воды. Невесомость же — это состояние, в котором на тело действует только сила гравитации, и оно находится в состоянии свободного падения.

249. Мальчик, поднявшись на лестницу, случайно выронил ведро с водой. С какой силой давит вода на дно ведра во время падения?

Решение

Когда ведро с водой находится в состоянии покоя, вода давит на его дно с силой, равной своему весу, который определяется по формуле $P = mg$, где $m$ — масса воды, а $g$ — ускорение свободного падения. Эта сила давления по третьему закону Ньютона равна силе реакции опоры $N$, с которой дно действует на воду.

Во время свободного падения (если пренебречь сопротивлением воздуха) и ведро, и находящаяся в нем вода движутся с одинаковым ускорением $a$, равным ускорению свободного падения, то есть $a = g$.

Рассмотрим силы, действующие на воду в системе отсчета, связанной с Землей. На воду действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $N$ со стороны дна ведра, направленная вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает воде ускорение $a$:

$F_{тяж} - N = ma$

Поскольку тело находится в свободном падении, его ускорение $a=g$. Подставим это в уравнение:

$mg - N = mg$

Из этого уравнения следует, что сила реакции опоры $N$ равна:

$N = mg - mg = 0$

Сила, с которой вода давит на дно ведра, равна по модулю силе реакции опоры $N$. Следовательно, эта сила также равна нулю. Такое состояние, когда тело и его опора движутся только под действием силы тяжести, называется невесомостью.

Ответ:

Во время падения вода находится в состоянии невесомости, поэтому сила, с которой она давит на дно ведра, равна нулю.

250. Весы, на которых человек держит в руке тяжёлый груз, уравновешены. Что произойдёт с показаниями весов, если человек быстро поднимет груз?

Рассмотрим силы, действующие в системе «человек – груз – весы».

Решение

В начальном состоянии, когда человек неподвижно держит груз, весы показывают их общий вес. Если масса человека – $M$, а масса груза – $m$, то сила давления на весы $P_1$ равна:

$P_1 = (M + m)g$

где $g$ – ускорение свободного падения.

Когда человек быстро поднимает груз, он сообщает ему ускорение $a$, направленное вверх. Согласно второму закону Ньютона, для этого человек должен подействовать на груз с силой $F$, превышающей силу тяжести груза $mg$:

$F - mg = ma$

Отсюда сила, с которой человек действует на груз, равна:

$F = mg + ma = m(g + a)$

По третьему закону Ньютона, груз действует на человека с такой же по модулю, но противоположно направленной (то есть вниз) силой реакции $F'$:

$F' = F = m(g + a)$

Эта дополнительная сила, направленная вниз, через тело человека передается на весы. Таким образом, в момент подъема груза общая сила давления на весы $P_2$ будет складываться из веса человека $Mg$ и силы реакции со стороны ускоряемого груза $F'$:

$P_2 = Mg + F' = Mg + m(g + a) = (M+m)g + ma$

Сравнивая показания весов до подъема ($P_1$) и в момент подъема ($P_2$), видим, что $P_2 > P_1$, поскольку ускорение $a > 0$. Следовательно, показания весов увеличатся на величину $ma$.

После завершения ускорения, когда груз будет двигаться равномерно или остановится, его ускорение станет равным нулю ($a=0$), и показания весов вернутся к первоначальному значению $P_1 = (M+m)g$.

Ответ: Показания весов увеличатся.