Страница 48 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

* 301. Четыре одинаковых бруска, связанных невесомыми нитями, движутся по гладкому горизонтальному столу под действием горизонтальной силы $F$, приложенной к бруску 1 (рис. 60). Чему равна сила натяжения нити, связывающей бруски 1 и 2?

Дано:

Количество одинаковых брусков: $n=4$

Масса каждого бруска: $m$

Приложенная горизонтальная сила: $F$

Нити невесомые, стол гладкий (трение отсутствует).

Найти:

Силу натяжения нити, связывающей бруски 1 и 2: $T_{12}$

Решение:

Так как все четыре бруска связаны невесомыми нитями и движутся по гладкой поверхности, они составляют единую систему, которая движется с одинаковым ускорением $a$.

Сначала найдем это ускорение. Для этого применим второй закон Ньютона ко всей системе из четырех брусков. Общая масса системы $M$ равна:

$M = m + m + m + m = 4m$

На всю систему в горизонтальном направлении действует только внешняя сила $F$. Следовательно, по второму закону Ньютона:

$F = M \cdot a = (4m) \cdot a$

Отсюда ускорение системы равно:

$a = \frac{F}{4m}$

Теперь, чтобы найти силу натяжения нити $T_{12}$ между первым и вторым брусками, рассмотрим систему, состоящую из второго, третьего и четвертого брусков. Эта система из трех брусков также движется с ускорением $a$.

Масса этой подсистемы $M'$ составляет:

$M' = m + m + m = 3m$

Сила, которая сообщает ускорение этой подсистеме, — это сила натяжения нити $T_{12}$, действующая на второй брусок со стороны первого. Применяя второй закон Ньютона к этой подсистеме, получаем:

$T_{12} = M' \cdot a = (3m) \cdot a$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для ускорения $a$:

$T_{12} = 3m \cdot \left(\frac{F}{4m}\right)$

Сокращая массу $m$, получаем конечный результат:

$T_{12} = \frac{3}{4}F$

Ответ: Сила натяжения нити, связывающей бруски 1 и 2, равна $\frac{3}{4}F$.

302. Ученик проводил эксперименты с двумя разными пружинами. К свободно висящей пружине 1 длиной 20 см он подвесил гирьку массой 100 г, в результате чего пружина растянулась до длины 22 см. К пружине 2, имеющей в нерастянутом состоянии длину 30 см, ученик подвесил ту же самую гирьку, в результате чего эта пружина растянулась до длины 34 см. Сравните жёсткости пружин $k_1$ и $k_2$.

Дано:

Пружина 1:

Начальная длина $l_{01} = 20 \text{ см}$

Конечная длина $l_1 = 22 \text{ см}$

Пружина 2:

Начальная длина $l_{02} = 30 \text{ см}$

Конечная длина $l_2 = 34 \text{ см}$

Масса гирьки $m = 100 \text{ г}$

Перевод в СИ:

$l_{01} = 0.2 \text{ м}$

$l_1 = 0.22 \text{ м}$

$l_{02} = 0.3 \text{ м}$

$l_2 = 0.34 \text{ м}$

$m = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

Сравнить жёсткости пружин $k_1$ и $k_2$.

Решение:

Когда гирька подвешена к пружине и находится в состоянии покоя, сила упругости $F_{упр}$, возникающая в пружине, уравновешивает силу тяжести $F_{т}$, действующую на гирьку. Согласно второму закону Ньютона для состояния равновесия:

$F_{упр} = F_{т}$

Сила тяжести определяется по формуле $F_{т} = m \cdot g$, где $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 10 \text{ Н/кг}$).

Сила упругости подчиняется закону Гука: $F_{упр} = k \cdot \Delta l$, где $k$ — жёсткость пружины, а $\Delta l$ — её удлинение.

Приравнивая выражения для сил, получаем: $k \cdot \Delta l = m \cdot g$.

Отсюда жёсткость пружины можно выразить как: $k = \frac{m \cdot g}{\Delta l}$.

Сначала вычислим удлинение для каждой из пружин.

Удлинение первой пружины:

$\Delta l_1 = l_1 - l_{01} = 22 \text{ см} - 20 \text{ см} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Удлинение второй пружины:

$\Delta l_2 = l_2 - l_{02} = 34 \text{ см} - 30 \text{ см} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Теперь запишем выражения для жёсткостей $k_1$ и $k_2$:

$k_1 = \frac{m \cdot g}{\Delta l_1}$

$k_2 = \frac{m \cdot g}{\Delta l_2}$

Для сравнения жёсткостей найдём их отношение. Для этого разделим выражение для $k_1$ на выражение для $k_2$:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{m \cdot g / \Delta l_1}{m \cdot g / \Delta l_2} = \frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}$

Подставим найденные значения удлинений:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{0.04 \text{ м}}{0.02 \text{ м}} = 2$

Из этого следует, что $k_1 = 2 \cdot k_2$.

Таким образом, жёсткость первой пружины в два раза больше жёсткости второй пружины.

Ответ: жёсткость первой пружины $k_1$ в 2 раза больше жёсткости второй пружины $k_2$.

303. На рисунке 61 приведены графики зависимости силы упругости от удлинения для двух пружин. Сравните жёсткости этих пружин.

Рис. 61

Дано:

График зависимости силы упругости $F_{упр}$ от удлинения $x$ для двух пружин (I и II).

Ось ординат – сила упругости $F_{упр}$ в Ньютонах (Н).

Ось абсцисс – удлинение $x$ в метрах (м).

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Сравнить жёсткости пружин $k_1$ и $k_2$.

Решение:

Зависимость силы упругости от удлинения пружины описывается законом Гука:

$F_{упр} = kx$

где $F_{упр}$ – сила упругости, $x$ – удлинение пружины, а $k$ – коэффициент жёсткости пружины.

Из этой формулы можно выразить коэффициент жёсткости:

$k = \frac{F_{упр}}{x}$

На графике зависимости силы от удлинения коэффициент жёсткости $k$ численно равен тангенсу угла наклона графика к оси удлинения ($x$). Чем больше угол наклона, тем круче идет график и тем больше значение коэффициента жёсткости.

Из рисунка видно, что график I расположен круче, чем график II. Это означает, что угол наклона графика I к оси $x$ больше, чем угол наклона графика II.

Можно провести и другой анализ. Зафиксируем на графике некоторое одинаковое удлинение $x_0$ для обеих пружин. Проведя вертикальную линию от этого значения, мы увидим, что ей соответствует сила упругости $F_1$ для первой пружины и $F_2$ для второй, причем $F_1 > F_2$.

Поскольку $k_1 = \frac{F_1}{x_0}$ и $k_2 = \frac{F_2}{x_0}$, то из неравенства $F_1 > F_2$ следует, что $k_1 > k_2$.

Таким образом, жёсткость первой пружины больше жёсткости второй.

Ответ: Жёсткость первой пружины больше жёсткости второй пружины ($k_1 > k_2$).

304. После аккуратного снятия груза массой $m_1 = 3 \text{ кг}$ пружина сжалась так, как показано на рисунке 62, и система пришла в равновесие. Пренебрегая трением, определите, чему равна жёсткость пружины. Нить считайте невесомой. Ускорение свободного падения принять равным $10 \text{ м/с}^2$.

Рис. 62

Дано:

Масса снятого груза $m_1 = 3$ кг.

Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с$^2$.

Из рисунка 62 определим высоты пружины в двух состояниях равновесия:

Состояние 1 (с грузом $m$ после снятия $m_1$): $h_1 = 3$ см.

Состояние 2 (с грузами $m$ и $m_1$ до снятия $m_1$): $h_2 = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 0.03$ м

$h_2 = 0.02$ м

Найти:

Жёсткость пружины $k$.

Решение:

На рисунке показаны два состояния равновесия системы. Правый рисунок соответствует начальному состоянию, когда на нити подвешены грузы $m$ и $m_1$. Под действием их суммарного веса пружина сжимается до высоты $h_2 = 2$ см. Левый рисунок соответствует конечному состоянию, после того как груз $m_1$ аккуратно сняли. Сила, сжимающая пружину, уменьшилась, и её высота увеличилась до $h_1 = 3$ см.

Разница в силах, действующих на пружину в этих двух состояниях, равна весу снятого груза $m_1$. Обозначим это изменение силы как $\Delta F$.

$\Delta F = m_1 g$

Это изменение силы вызывает изменение деформации (сжатия) пружины $\Delta x$. Согласно закону Гука, изменение силы упругости, возникающей в пружине, прямо пропорционально изменению её деформации:

$\Delta F = k \Delta x$

где $k$ – искомая жёсткость пружины.

Изменение деформации пружины равно разности её высот в двух состояниях:

$\Delta x = h_1 - h_2$

Приравнивая выражения для изменения силы $\Delta F$, получаем:

$m_1 g = k (h_1 - h_2)$

Отсюда выражаем жёсткость пружины $k$:

$k = \frac{m_1 g}{h_1 - h_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи, предварительно переведя их в систему СИ:

$k = \frac{3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.03 \text{ м} - 0.02 \text{ м}} = \frac{30 \text{ Н}}{0.01 \text{ м}} = 3000 \text{ Н/м}$

Ответ: жёсткость пружины равна $3000$ Н/м.

305. На диаграмме (рис. 63) представлены результаты экспериментальных измерений удлинения пружин 1 и 2 при подвешивании к ним грузов одинаковой массы. Сравните жёсткости этих пружин.

Рис. 63

Дано:

Из диаграммы находим удлинения пружин под действием грузов одинаковой массы:
Удлинение первой пружины: $x_1 = 8$ см
Удлинение второй пружины: $x_2 = 4$ см
Массы грузов равны: $m_1 = m_2 = m$

Перевод в систему СИ:
$x_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$x_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Сравнить жёсткости пружин $k_1$ и $k_2$.

Решение:

Когда к пружине подвешивают груз, она растягивается. Возникающая в пружине сила упругости $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$, действующую на груз. В состоянии равновесия $F_{упр} = F_{тяж}$.

Сила тяжести, действующая на груз, определяется как $F_{тяж} = mg$, где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения.

Сила упругости определяется законом Гука: $F_{упр} = kx$, где $k$ — жёсткость пружины, а $x$ — её удлинение.

Приравнивая силы, получаем: $kx = mg$.

Из этой формулы можно выразить жёсткость пружины: $k = \frac{mg}{x}$.

Запишем это выражение для каждой из двух пружин. Так как массы грузов одинаковы ($m$), то и действующая на них сила тяжести одинакова.
Для первой пружины: $k_1 = \frac{mg}{x_1}$
Для второй пружины: $k_2 = \frac{mg}{x_2}$

Чтобы сравнить жёсткости, найдём их отношение. Разделим выражение для $k_2$ на выражение для $k_1$:
$\frac{k_2}{k_1} = \frac{\frac{mg}{x_2}}{\frac{mg}{x_1}} = \frac{mg}{x_2} \cdot \frac{x_1}{mg} = \frac{x_1}{x_2}$

Подставим значения удлинений, взятые из диаграммы:
$\frac{k_2}{k_1} = \frac{8 \text{ см}}{4 \text{ см}} = 2$

Отсюда получаем, что $k_2 = 2k_1$.

Это означает, что жёсткость второй пружины в два раза больше жёсткости первой. Жёсткость характеризует способность тела сопротивляться деформации. Так как под действием одной и той же силы вторая пружина растянулась меньше, она является более жёсткой.

Ответ: Жёсткость второй пружины в 2 раза больше жёсткости первой пружины ($k_2 = 2k_1$).