Номер 302, страница 48 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Сила упругости. Законы движения и взаимодействия тел - номер 302, страница 48.

302. Ученик проводил эксперименты с двумя разными пружинами. К свободно висящей пружине 1 длиной 20 см он подвесил гирьку массой 100 г, в результате чего пружина растянулась до длины 22 см. К пружине 2, имеющей в нерастянутом состоянии длину 30 см, ученик подвесил ту же самую гирьку, в результате чего эта пружина растянулась до длины 34 см. Сравните жёсткости пружин $k_1$ и $k_2$.

Дано:

Пружина 1:

Начальная длина $l_{01} = 20 \text{ см}$

Конечная длина $l_1 = 22 \text{ см}$

Пружина 2:

Начальная длина $l_{02} = 30 \text{ см}$

Конечная длина $l_2 = 34 \text{ см}$

Масса гирьки $m = 100 \text{ г}$

Перевод в СИ:

$l_{01} = 0.2 \text{ м}$

$l_1 = 0.22 \text{ м}$

$l_{02} = 0.3 \text{ м}$

$l_2 = 0.34 \text{ м}$

$m = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

Сравнить жёсткости пружин $k_1$ и $k_2$.

Решение:

Когда гирька подвешена к пружине и находится в состоянии покоя, сила упругости $F_{упр}$, возникающая в пружине, уравновешивает силу тяжести $F_{т}$, действующую на гирьку. Согласно второму закону Ньютона для состояния равновесия:

$F_{упр} = F_{т}$

Сила тяжести определяется по формуле $F_{т} = m \cdot g$, где $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 10 \text{ Н/кг}$).

Сила упругости подчиняется закону Гука: $F_{упр} = k \cdot \Delta l$, где $k$ — жёсткость пружины, а $\Delta l$ — её удлинение.

Приравнивая выражения для сил, получаем: $k \cdot \Delta l = m \cdot g$.

Отсюда жёсткость пружины можно выразить как: $k = \frac{m \cdot g}{\Delta l}$.

Сначала вычислим удлинение для каждой из пружин.

Удлинение первой пружины:

$\Delta l_1 = l_1 - l_{01} = 22 \text{ см} - 20 \text{ см} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Удлинение второй пружины:

$\Delta l_2 = l_2 - l_{02} = 34 \text{ см} - 30 \text{ см} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Теперь запишем выражения для жёсткостей $k_1$ и $k_2$:

$k_1 = \frac{m \cdot g}{\Delta l_1}$

$k_2 = \frac{m \cdot g}{\Delta l_2}$

Для сравнения жёсткостей найдём их отношение. Для этого разделим выражение для $k_1$ на выражение для $k_2$:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{m \cdot g / \Delta l_1}{m \cdot g / \Delta l_2} = \frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}$

Подставим найденные значения удлинений:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{0.04 \text{ м}}{0.02 \text{ м}} = 2$

Из этого следует, что $k_1 = 2 \cdot k_2$.

Таким образом, жёсткость первой пружины в два раза больше жёсткости второй пружины.

Ответ: жёсткость первой пружины $k_1$ в 2 раза больше жёсткости второй пружины $k_2$.