Номер 298, страница 47 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Сила упругости. Законы движения и взаимодействия тел - номер 298, страница 47.

* 298. На рисунке 58 изображены грузы, массы которых $m_1 = 3$ кг и $m_2 = 2$ кг. В какую сторону будут двигаться грузы и с каким ускорением? Чему равна сила натяжения нити? Блок считать невесомым, нить — невесомой и нерастяжимой, трением пренебречь.

Рис. 58

Дано:

$m_1 = 3$ кг

$m_2 = 2$ кг

$\alpha = 30^\circ$

$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Все данные находятся в системе СИ.

Найти:

Направление движения - ?

$a$ - ? (ускорение)

$T$ - ? (сила натяжения нити)

Решение:

В какую сторону будут двигаться грузы и с каким ускорением?

Чтобы определить направление движения, необходимо сравнить силы, которые приводят систему в движение. Это сила тяжести груза $m_2$, направленная вертикально вниз, и составляющая силы тяжести груза $m_1$, направленная вдоль наклонной плоскости.

Сила тяжести, действующая на груз $m_2$: $F_{g2} = m_2 g$.

Составляющая силы тяжести, действующая на груз $m_1$ вдоль наклонной плоскости: $F_{g1\parallel} = m_1 g \sin(\alpha)$.

Подставим числовые значения:

$F_{g2} = 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 19.6 \text{ Н}$

$F_{g1\parallel} = 3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30^\circ) = 29.4 \text{ Н} \cdot 0.5 = 14.7 \text{ Н}$

Поскольку $F_{g2} > F_{g1\parallel}$ ($19.6 \text{ Н} > 14.7 \text{ Н}$), то груз $m_2$ будет опускаться вниз, увлекая за собой груз $m_1$, который будет подниматься вверх по наклонной плоскости.

Для нахождения ускорения запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов в проекции на направление их движения. Направим ось для груза $m_1$ вверх по наклонной плоскости, а для груза $m_2$ — вертикально вниз. Так как нить невесома и нерастяжима, а блок невесом, ускорения грузов по модулю равны ($a$), и сила натяжения нити ($T$) одинакова по всей длине.

Для груза $m_1$: $T - m_1 g \sin(\alpha) = m_1 a$

Для груза $m_2$: $m_2 g - T = m_2 a$

Получилась система двух уравнений. Сложим их, чтобы исключить $T$:

$(T - m_1 g \sin(\alpha)) + (m_2 g - T) = m_1 a + m_2 a$

$m_2 g - m_1 g \sin(\alpha) = (m_1 + m_2) a$

Выразим ускорение $a$:

$a = \frac{m_2 g - m_1 g \sin(\alpha)}{m_1 + m_2} = g \frac{m_2 - m_1 \sin(\alpha)}{m_1 + m_2}$

Подставим значения:

$a = 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{2 \text{ кг} - 3 \text{ кг} \cdot \sin(30^\circ)}{3 \text{ кг} + 2 \text{ кг}} = 9.8 \cdot \frac{2 - 3 \cdot 0.5}{5} = 9.8 \cdot \frac{0.5}{5} = \frac{4.9}{5} = 0.98 \text{ м/с}^2$

Ответ: Груз $m_2$ будет двигаться вниз, а груз $m_1$ — вверх по наклонной плоскости с ускорением $0.98 \text{ м/с}^2$.

Чему равна сила натяжения нити?

Для нахождения силы натяжения нити $T$ подставим найденное значение ускорения $a$ в любое из двух уравнений второго закона Ньютона. Удобнее использовать уравнение для груза $m_2$:

$m_2 g - T = m_2 a$

Выразим отсюда $T$:

$T = m_2 g - m_2 a = m_2 (g - a)$

Подставим числовые значения:

$T = 2 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с}^2 - 0.98 \text{ м/с}^2) = 2 \text{ кг} \cdot 8.82 \text{ м/с}^2 = 17.64 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения нити равна $17.64$ Н.