Страница 47 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

295. На проволоке подвешены один над другим три шара массами $m_1 = 10 \text{ кг}$, $m_2 = 8 \text{ кг}$ и $m_3 = 3 \text{ кг}$ (рис. 56). Определите силу натяжения проволоки:

Рис. 56

Дано:

Масса верхнего шара $m_1 = 10$ кг

Масса среднего шара $m_2 = 8$ кг

Масса нижнего шара $m_3 = 3$ кг

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ Н/кг

Найти:

Силу натяжения проволоки между нижним и средним шарами - $T_{32}$

Силу натяжения проволоки между средним и верхним шарами - $T_{21}$

Силу натяжения проволоки между верхним шаром и точкой крепления - $T_{10}$

Решение:

Система шаров находится в состоянии покоя, следовательно, она находится в равновесии. Согласно первому закону Ньютона, сила натяжения проволоки в любом ее сечении равна по модулю суммарной силе тяжести (весу) всех шаров, подвешенных ниже этого сечения. Вес тела определяется по формуле $P = m \cdot g$.

Сила натяжения проволоки между нижним и средним шарами

Сила натяжения в этом участке проволоки, обозначим ее $T_{32}$, уравновешивает силу тяжести, действующую на нижний шар массой $m_3$.

$T_{32} = P_3 = m_3 \cdot g$

Подставим числовые значения:

$T_{32} = 3 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ Н/кг} = 29,4 \text{ Н}$

Ответ: сила натяжения проволоки между нижним и средним шарами равна 29,4 Н.

Сила натяжения проволоки между средним и верхним шарами

Сила натяжения в этом участке проволоки, обозначим ее $T_{21}$, уравновешивает суммарную силу тяжести, действующую на средний и нижний шары (массами $m_2$ и $m_3$).

$T_{21} = P_2 + P_3 = (m_2 + m_3) \cdot g$

Подставим числовые значения:

$T_{21} = (8 \text{ кг} + 3 \text{ кг}) \cdot 9,8 \text{ Н/кг} = 11 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ Н/кг} = 107,8 \text{ Н}$

Ответ: сила натяжения проволоки между средним и верхним шарами равна 107,8 Н.

Сила натяжения проволоки между верхним шаром и точкой крепления проволоки к опоре

Сила натяжения в этом участке проволоки, обозначим ее $T_{10}$, уравновешивает суммарную силу тяжести всех трех шаров (массами $m_1$, $m_2$ и $m_3$).

$T_{10} = P_1 + P_2 + P_3 = (m_1 + m_2 + m_3) \cdot g$

Подставим числовые значения:

$T_{10} = (10 \text{ кг} + 8 \text{ кг} + 3 \text{ кг}) \cdot 9,8 \text{ Н/кг} = 21 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ Н/кг} = 205,8 \text{ Н}$

Ответ: сила натяжения проволоки между верхним шаром и точкой крепления равна 205,8 Н.

296. Одинаково ли сжимаются буферы двух одинаковых вагонов при столкновении, если жёсткости пружин буферов равны? Что изменится, если один из соударяющихся вагонов находится в этот момент в покое; если один вагон гружёный, а второй порожний?

Одинаково ли сжимаются буферы двух одинаковых вагонов при столкновеновении, если жёсткости пружин буферов равны?

Решение:

Во время столкновения два вагона взаимодействуют друг с другом. Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой первый вагон действует на второй ($ \vec{F}_{12} $), равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой второй вагон действует на первый ($ \vec{F}_{21} $). В любой момент времени в процессе столкновения выполняется равенство модулей этих сил: $ | \vec{F}_{12} | = | \vec{F}_{21} | = F $.
Эти силы взаимодействия являются силами упругости, которые сжимают пружины буферов. Согласно закону Гука, сила упругости $ F_{упр} $ пропорциональна сжатию (деформации) пружины $ \Delta x $ и её жёсткости $ k $: $ F_{упр} = k \cdot \Delta x $.
Для буфера первого вагона сила сжатия равна $ F = k_1 \cdot \Delta x_1 $.
Для буфера второго вагона сила сжатия равна $ F = k_2 \cdot \Delta x_2 $.
По условию, вагоны одинаковые, и жёсткости пружин их буферов равны, то есть $ k_1 = k_2 = k $.
Поскольку силы, сжимающие буферы, равны, мы можем записать: $ k \cdot \Delta x_1 = k \cdot \Delta x_2 $.
Отсюда следует, что сжатия буферов также равны: $ \Delta x_1 = \Delta x_2 $.

Ответ: Да, буферы сжимаются одинаково.

Что изменится, если один из соударяющихся вагонов находится в этот момент в покое;

Решение:

Независимо от начальных скоростей вагонов, будь то встречное движение или наезд на стоящий вагон, третий закон Ньютона остается справедливым. В любой момент времени силы, с которыми вагоны действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению.
Следовательно, силы, сжимающие пружины буферов, будут одинаковыми для обоих вагонов. Так как жёсткости пружин также одинаковы ($ k_1 = k_2 $), то и их деформации (сжатия) будут равны ($ \Delta x_1 = \Delta x_2 $).
Изменятся параметры движения системы после столкновения (например, конечные скорости вагонов), но равенство величин сжатия буферов сохранится.

Ответ: Ничего не изменится, буферы по-прежнему будут сжиматься одинаково.

если один вагон гружёный, а второй порожний?

Решение:

В этом случае массы вагонов различны (например, $ m_1 > m_2 $). Однако буферы у вагонов конструктивно одинаковы, поэтому их жёсткости можно считать равными ($ k_1 = k_2 $).
Третий закон Ньютона не зависит от масс взаимодействующих тел. Силы взаимодействия между гружёным и порожним вагонами в любой момент столкновения будут равны по модулю.
Поскольку силы, действующие на буферы, равны ($ F_1 = F_2 $), и жёсткости их пружин также равны ($ k_1 = k_2 $), то, согласно закону Гука ($ F = k \cdot \Delta x $), величины сжатия буферов будут одинаковыми ($ \Delta x_1 = \Delta x_2 $).
Разница в массах приведёт к тому, что вагоны получат разные ускорения во время удара (согласно второму закону Ньютона, $ a = F/m $, ускорение более лёгкого вагона будет больше), но на равенство сжатия буферов это не повлияет.

Ответ: Буферы будут сжиматься одинаково, так как силы взаимодействия, сжимающие их, равны по модулю, и жёсткости пружин одинаковы.

297. К двум сцепленным динамометрам (рис. 57) подвешен груз массой $m = 2 \text{ кг}.$ Масса каждого динамометра 200 г. Каково показание верхнего динамометра; нижнего динамометра?

Рис. 57

Дано

Масса груза: $m = 2$ кг

Масса каждого динамометра: $m_д = 200$ г

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг.

$m_д = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

$F_{верх}$ - показание верхнего динамометра

$F_{нижн}$ - показание нижнего динамометра

Решение

Каково показание нижнего динамометра?

Динамометр измеряет силу упругости, которая в состоянии равновесия равна весу тел, подвешенных к нему. К нижнему динамометру подвешен только груз массой $m$. Следовательно, его показание $F_{нижн}$ будет равно весу этого груза $P_m$.

Вес груза вычисляется по формуле:

$F_{нижн} = P_m = m \cdot g$

Подставим значения:

$F_{нижн} = 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 20 \text{ Н}$

Ответ: показание нижнего динамометра равно 20 Н.

Каково показание верхнего динамометра?

К верхнему динамометру подвешены и нижний динамометр массой $m_д$, и груз массой $m$. Следовательно, его показание $F_{верх}$ будет равно их суммарному весу.

Суммарный вес вычисляется по формуле:

$F_{верх} = (m + m_д) \cdot g$

Подставим значения:

$F_{верх} = (2 \text{ кг} + 0.2 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ Н/кг} = 2.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 22 \text{ Н}$

Ответ: показание верхнего динамометра равно 22 Н.

* 298. На рисунке 58 изображены грузы, массы которых $m_1 = 3$ кг и $m_2 = 2$ кг. В какую сторону будут двигаться грузы и с каким ускорением? Чему равна сила натяжения нити? Блок считать невесомым, нить — невесомой и нерастяжимой, трением пренебречь.

Рис. 58

Дано:

$m_1 = 3$ кг

$m_2 = 2$ кг

$\alpha = 30^\circ$

$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Все данные находятся в системе СИ.

Найти:

Направление движения - ?

$a$ - ? (ускорение)

$T$ - ? (сила натяжения нити)

Решение:

В какую сторону будут двигаться грузы и с каким ускорением?

Чтобы определить направление движения, необходимо сравнить силы, которые приводят систему в движение. Это сила тяжести груза $m_2$, направленная вертикально вниз, и составляющая силы тяжести груза $m_1$, направленная вдоль наклонной плоскости.

Сила тяжести, действующая на груз $m_2$: $F_{g2} = m_2 g$.

Составляющая силы тяжести, действующая на груз $m_1$ вдоль наклонной плоскости: $F_{g1\parallel} = m_1 g \sin(\alpha)$.

Подставим числовые значения:

$F_{g2} = 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 19.6 \text{ Н}$

$F_{g1\parallel} = 3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30^\circ) = 29.4 \text{ Н} \cdot 0.5 = 14.7 \text{ Н}$

Поскольку $F_{g2} > F_{g1\parallel}$ ($19.6 \text{ Н} > 14.7 \text{ Н}$), то груз $m_2$ будет опускаться вниз, увлекая за собой груз $m_1$, который будет подниматься вверх по наклонной плоскости.

Для нахождения ускорения запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов в проекции на направление их движения. Направим ось для груза $m_1$ вверх по наклонной плоскости, а для груза $m_2$ — вертикально вниз. Так как нить невесома и нерастяжима, а блок невесом, ускорения грузов по модулю равны ($a$), и сила натяжения нити ($T$) одинакова по всей длине.

Для груза $m_1$: $T - m_1 g \sin(\alpha) = m_1 a$

Для груза $m_2$: $m_2 g - T = m_2 a$

Получилась система двух уравнений. Сложим их, чтобы исключить $T$:

$(T - m_1 g \sin(\alpha)) + (m_2 g - T) = m_1 a + m_2 a$

$m_2 g - m_1 g \sin(\alpha) = (m_1 + m_2) a$

Выразим ускорение $a$:

$a = \frac{m_2 g - m_1 g \sin(\alpha)}{m_1 + m_2} = g \frac{m_2 - m_1 \sin(\alpha)}{m_1 + m_2}$

Подставим значения:

$a = 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{2 \text{ кг} - 3 \text{ кг} \cdot \sin(30^\circ)}{3 \text{ кг} + 2 \text{ кг}} = 9.8 \cdot \frac{2 - 3 \cdot 0.5}{5} = 9.8 \cdot \frac{0.5}{5} = \frac{4.9}{5} = 0.98 \text{ м/с}^2$

Ответ: Груз $m_2$ будет двигаться вниз, а груз $m_1$ — вверх по наклонной плоскости с ускорением $0.98 \text{ м/с}^2$.

Чему равна сила натяжения нити?

Для нахождения силы натяжения нити $T$ подставим найденное значение ускорения $a$ в любое из двух уравнений второго закона Ньютона. Удобнее использовать уравнение для груза $m_2$:

$m_2 g - T = m_2 a$

Выразим отсюда $T$:

$T = m_2 g - m_2 a = m_2 (g - a)$

Подставим числовые значения:

$T = 2 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с}^2 - 0.98 \text{ м/с}^2) = 2 \text{ кг} \cdot 8.82 \text{ м/с}^2 = 17.64 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения нити равна $17.64$ Н.

* 299. На рисунке 59 изображены грузы А и В, имеющие равные массы $m_1 = m_2 = 1 \text{ кг}$. Углы наклона плоскостей к горизонту $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 45^\circ$. В какую сторону и с каким ускорением будут двигаться грузы? Чему равна сила натяжения нити? Блок считать невесомым, нить — невесомой и нерастяжимой, силой трения пренебречь.

Рис. 59

Дано:

$m_1 = m_2 = m = 1$ кг
$\alpha = 30°$
$\beta = 45°$
$g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Направление движения - ?
$a$ - ?
$T$ - ?

Решение:

На каждый из грузов (A и B) действуют: сила тяжести ($mg$), сила нормальной реакции опоры ($N$), перпендикулярная наклонной плоскости, и сила натяжения нити ($T$), направленная вдоль нити. Силой трения пренебрегаем.

Движение системы определяется проекциями сил тяжести на направления движения вдоль наклонных плоскостей. Обозначим массу каждого груза как $m$.

Для груза A (на плоскости с углом $\alpha$): проекция силы тяжести, направленная вниз вдоль плоскости, равна $F_{A\parallel} = m g \sin(\alpha)$.

Для груза B (на плоскости с углом $\beta$): проекция силы тяжести, направленная вниз вдоль плоскости, равна $F_{B\parallel} = m g \sin(\beta)$.

Сравним эти силы, чтобы определить направление движения:

$F_{A\parallel} = 1 \cdot 9,8 \cdot \sin(30°) = 9,8 \cdot 0,5 = 4,9$ Н

$F_{B\parallel} = 1 \cdot 9,8 \cdot \sin(45°) = 9,8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 9,8 \cdot 0,707 \approx 6,93$ Н

Поскольку $F_{B\parallel} > F_{A\parallel}$, груз B будет перетягивать груз A. Следовательно, груз B будет двигаться вниз по своей наклонной плоскости, а груз A — вверх по своей.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на ось, направленную вдоль движения. Так как нить нерастяжима, ускорения обоих грузов по модулю одинаковы и равны $a$. Сила натяжения нити $T$ также одинакова для обоих грузов.

Для груза A (движение вверх): $T - F_{A\parallel} = m a \implies T - m g \sin(\alpha) = m a$

Для груза B (движение вниз): $F_{B\parallel} - T = m a \implies m g \sin(\beta) - T = m a$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} T - m g \sin(\alpha) = m a \\ m g \sin(\beta) - T = m a \end{cases}$

В какую сторону и с каким ускорением будет двигаться грузы?

Как было определено выше, груз A будет двигаться вверх по наклонной плоскости с углом $\alpha$, а груз B — вниз по наклонной плоскости с углом $\beta$.

Для нахождения ускорения сложим два уравнения системы:

$(T - m g \sin(\alpha)) + (m g \sin(\beta) - T) = m a + m a$

$m g \sin(\beta) - m g \sin(\alpha) = 2 m a$

Сократив массу $m$, получим:

$g (\sin(\beta) - \sin(\alpha)) = 2 a$

$a = \frac{g(\sin(\beta) - \sin(\alpha))}{2}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{9,8 \cdot (\sin(45°) - \sin(30°))}{2} = \frac{9,8 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} \approx \frac{9,8 \cdot (0,707 - 0,5)}{2} = \frac{9,8 \cdot 0,207}{2} \approx 1,01$ м/с².

Ответ: Грузы будут двигаться в сторону груза B (груз B вниз, груз A вверх) с ускорением примерно $1,01$ м/с².

Чему равна сила натяжения нити?

Для нахождения силы натяжения $T$ выразим ее из первого уравнения системы: $T = m a + m g \sin(\alpha)$.

Подставим найденное значение ускорения $a$ в это уравнение или выведем общую формулу. Проще вывести общую формулу, подставив в выражение для $T$ выражение для $a$:

$T = m \left( \frac{g(\sin(\beta) - \sin(\alpha))}{2} + g \sin(\alpha) \right)$

$T = m g \left( \frac{\sin(\beta) - \sin(\alpha) + 2\sin(\alpha)}{2} \right)$

$T = \frac{m g (\sin(\alpha) + \sin(\beta))}{2}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{1 \cdot 9,8 \cdot (\sin(30°) + \sin(45°))}{2} = \frac{9,8 \cdot (0,5 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} \approx \frac{9,8 \cdot (0,5 + 0,707)}{2} = \frac{9,8 \cdot 1,207}{2} \approx 5,91$ Н.

Ответ: Сила натяжения нити равна примерно $5,91$ Н.

300. Имеются две абсолютно упругие пружины. Под действием одной и той же силы первая пружина удлинилась на 6 см, а вторая — на 3 см. Сравните жёсткость $k_1$ первой пружины с жёсткостью $k_2$ второй.

Дано:

Удлинение первой пружины, $\Delta x_1 = 6 \text{ см}$

Удлинение второй пружины, $\Delta x_2 = 3 \text{ см}$

Сила, действующая на пружины, одинакова: $F_1 = F_2 = F$

Перевод в систему СИ:

$\Delta x_1 = 0.06 \text{ м}$

$\Delta x_2 = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Сравнить жёсткости $k_1$ и $k_2$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Гука, который описывает силу упругости, возникающую в пружине при её деформации:

$F_{упр} = k \cdot \Delta x$,

где $F_{упр}$ — сила упругости, $k$ — жёсткость пружины, а $\Delta x$ — её удлинение (деформация).

По условию задачи, на обе пружины действует одна и та же внешняя сила $F$. Эта сила уравновешивается силой упругости, возникающей в каждой пружине ($F = F_{упр}$). Таким образом, мы можем записать два уравнения:

Для первой пружины: $F = k_1 \cdot \Delta x_1$

Для второй пружины: $F = k_2 \cdot \Delta x_2$

Поскольку левые части уравнений равны (сила $F$ одна и та же), мы можем приравнять их правые части:

$k_1 \cdot \Delta x_1 = k_2 \cdot \Delta x_2$

Из этого равенства можно выразить отношение жёсткостей, чтобы их сравнить. Найдём отношение $\frac{k_2}{k_1}$:

$\frac{k_2}{k_1} = \frac{\Delta x_1}{\Delta x_2}$

Подставим известные значения удлинений:

$\frac{k_2}{k_1} = \frac{6 \text{ см}}{3 \text{ см}} = 2$

Это означает, что $k_2 = 2k_1$.

Таким образом, жёсткость второй пружины в 2 раза больше жёсткости первой. Это логично, поскольку под действием той же силы она растянулась на меньшую величину.

Ответ: жёсткость второй пружины в 2 раза больше жёсткости первой ($k_2 = 2k_1$).