Страница 46 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 289. Предположим, что весы установлены на Луне. На левую чашу весов положили тело, вес которого, определённый пружинными весами в земных условиях, равен 10 Н. На правую чашу весов положили тело, взвешенное теми же пружинными весами на Луне. Его вес оказался равным тоже 10 Н. Будут ли весы находиться в равновесии?

Для решения этой задачи необходимо различать понятия массы и веса, а также понимать принцип работы пружинных и рычажных весов.

• Масса ($m$) — это скалярная физическая величина, мера инертности тела. Она является постоянной для данного тела и не зависит от его местонахождения. Единица измерения в СИ — килограмм (кг).

• Вес ($P$) — это сила, с которой тело вследствие притяжения к планете (или другому небесному телу) действует на опору или подвес. Вес зависит от ускорения свободного падения ($g$) в данном месте: $P = m \cdot g$. Единица измерения — Ньютон (Н).

• Пружинные весы (динамометр) измеряют силу (вес), которая на них действует.

• Рычажные весы сравнивают силы (веса), приложенные к их чашам. Равновесие наступает, когда эти силы равны.

Теперь приступим к решению задачи.

Дано:

Вес первого тела, измеренный на Земле: $P_{1З} = 10$ Н.
Вес второго тела, измеренный на Луне: $P_{2Л} = 10$ Н.

Найти:

Будут ли рычажные весы на Луне находиться в равновесии?

Решение:

1. Определим массу первого тела ($m_1$), которое поместили на левую чашу. Его вес измеряли на Земле, где ускорение свободного падения обозначим как $g_З$.
$P_{1З} = m_1 \cdot g_З$
Отсюда масса первого тела:
$m_1 = \frac{P_{1З}}{g_З} = \frac{10 \, \text{Н}}{g_З}$

2. Определим массу второго тела ($m_2$), которое поместили на правую чашу. Его вес измеряли на Луне, где ускорение свободного падения обозначим как $g_Л$.
$P_{2Л} = m_2 \cdot g_Л$
Отсюда масса второго тела:
$m_2 = \frac{P_{2Л}}{g_Л} = \frac{10 \, \text{Н}}{g_Л}$

3. Рычажные весы установлены на Луне. Они придут в равновесие, если силы, действующие на их чаши, будут равны. Эти силы — это веса тел на Луне.
Сила, действующая на левую чашу, — это вес первого тела на Луне ($P_{1Л}$):
$P_{1Л} = m_1 \cdot g_Л = \left(\frac{10 \, \text{Н}}{g_З}\right) \cdot g_Л = 10 \cdot \frac{g_Л}{g_З}$ Н
Сила, действующая на правую чашу, — это вес второго тела на Луне ($P_{2Л}$), который нам дан по условию:
$P_{2Л} = 10$ Н

4. Сравним силы, действующие на чаши весов на Луне.
Известно, что ускорение свободного падения на Луне примерно в 6 раз меньше, чем на Земле, то есть $g_Л < g_З$.
Следовательно, отношение $\frac{g_Л}{g_З} < 1$.
Поэтому вес первого тела на Луне будет:
$P_{1Л} = 10 \cdot \frac{g_Л}{g_З} < 10$ Н
Таким образом, мы получаем, что $P_{1Л} < P_{2Л}$.

Поскольку сила, действующая на левую чашу весов, меньше силы, действующей на правую, весы не будут находиться в равновесии. Правая чаша перевесит.

Ответ: Весы не будут находиться в равновесии. Правая чаша, на которой лежит тело с весом 10 Н (измеренным на Луне), перевесит левую чашу.

► 290. По расчётам Ньютона, два шара диаметром по 30 см каждый, расположенные на расстоянии 0,6 см, сойдутся под действием силы взаимного притяжения через месяц после начала движения (расчёт производился при условии отсутствия внешнего сопротивления). Плотность шаров Ньютон брал равной средней плотности Земли: $\rho = 5 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$. Силу тяготения считать постоянной. Прав ли учёный?

Дано:

Диаметр каждого шара, $D = 30$ см

Расстояние между поверхностями шаров, $s = 0,6$ см

Плотность материала шаров, $\rho = 5 \cdot 10^3$ кг/м³

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,674 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Время сближения по расчётам Ньютона, $t_Н = 1$ месяц

Перевод в систему СИ:

$D = 0,3$ м

$s = 0,006$ м

$t_Н \approx 30 \text{ суток} = 30 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 2,6 \cdot 10^6$ с

Найти:

Время сближения шаров $t$ и проверить, прав ли был Ньютон.

Решение:

Для проверки утверждения Ньютона необходимо рассчитать время, за которое шары сойдутся под действием силы взаимного притяжения, используя приведённые в задаче данные и допущения. Основное допущение, указанное в условии, заключается в том, что сила тяготения считается постоянной и равной её значению в начальный момент времени.

1. Найдём массу каждого шара. Радиус шара $R$ равен половине диаметра $D$, а объём шара $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Масса $m$ равна произведению плотности $\rho$ на объём $V$.

Радиус шара: $R = \frac{D}{2} = \frac{0,3 \text{ м}}{2} = 0,15$ м.

Объём шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (0,15 \text{ м})^3 \approx 0,01414 \text{ м}^3$.

Масса шара: $m = \rho \cdot V = 5 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,01414 \text{ м}^3 \approx 70,7$ кг.

2. Определим начальное расстояние между центрами шаров $r_0$. Оно равно сумме диаметра одного шара и расстояния между поверхностями.

$r_0 = D + s = 0,3 \text{ м} + 0,006 \text{ м} = 0,306$ м.

3. Рассчитаем силу гравитационного притяжения $F$ между шарами в начальный момент, которую по условию считаем постоянной.

$F = G\frac{m^2}{r_0^2} = 6,674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{(70,7 \text{ кг})^2}{(0,306 \text{ м})^2} \approx 3,57 \cdot 10^{-6}$ Н.

4. Найдём ускорение $a$, которое эта сила сообщает каждому шару, согласно второму закону Ньютона.

$a = \frac{F}{m} = \frac{3,57 \cdot 10^{-6} \text{ Н}}{70,7 \text{ кг}} \approx 5,05 \cdot 10^{-8} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

5. Шары начинают движение из состояния покоя и движутся навстречу друг другу. Они столкнутся, когда их поверхности соприкоснутся. Это произойдёт, когда каждый из шаров пройдёт путь $d$, равный половине начального расстояния между их поверхностями, то есть $d = s/2$.

$d = \frac{s}{2} = \frac{0,006 \text{ м}}{2} = 0,003$ м.

Время движения $t$ для равноускоренного движения без начальной скорости находится из формулы $d = \frac{at^2}{2}$.

$t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,003 \text{ м}}{5,05 \cdot 10^{-8} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} \approx \sqrt{1,188 \cdot 10^5} \text{ с} \approx 345$ с.

6. Сравним полученное время с предсказанием Ньютона.

Наше расчётное время $t \approx 345$ с, что составляет примерно $5,75$ минут.

Время, указанное Ньютоном, $t_Н = 1$ месяц, что примерно равно $2,6 \cdot 10^6$ с.

Результаты расчётов ($345$ с и $2,6 \cdot 10^6$ с) отличаются на несколько порядков. Следовательно, расчёт Ньютона, приведённый в условии, является неверным.

Стоит отметить, что допущение о постоянстве силы является упрощением. В реальности, по мере сближения шаров, сила притяжения и, соответственно, ускорение будут возрастать. Это приведёт к тому, что шары сойдутся ещё быстрее. Таким образом, более точный расчёт только укрепит вывод о неверности исходного утверждения.

Ответ: Нет, учёный неправ. Согласно расчётам, основанным на указанных в задаче данных и допущении о постоянстве силы тяготения, шары сойдутся примерно через 345 секунд (около 5,75 минут), а не через месяц.

► 291. Почему говорят, что, определив гравитационную постоянную, Кавендиш «взвесил» Землю? Какой результат получил бы учёный, проводя опыт на Марсе; Юпитере?

Почему говорят, что, определив гравитационную постоянную, Кавендиш «взвесил» Землю?

Выражение «взвесил Землю» является образным и означает, что учёный определил её массу. К моменту проведения эксперимента Генри Кавендишем в 1798 году был известен закон всемирного тяготения, открытый Исааком Ньютоном:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $F$ – сила гравитационного притяжения между двумя телами, $m_1$ и $m_2$ – их массы, $r$ – расстояние между их центрами, а $G$ – гравитационная постоянная.

Силу тяжести, действующую на тело массой $m$ на поверхности Земли, можно записать двумя способами. С одной стороны, через ускорение свободного падения $g$:

$F = mg$

С другой стороны, через закон всемирного тяготения:

$F = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

где $M_З$ – масса Земли, а $R_З$ – её радиус.

Приравняв правые части этих двух выражений, получаем:

$mg = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Сократив массу тела $m$, можно выразить массу Земли $M_З$:

$M_З = \frac{g R_З^2}{G}$

К XVIII веку ускорение свободного падения $g$ и радиус Земли $R_З$ были уже достаточно точно измерены. Единственной неизвестной величиной в этой формуле оставалась гравитационная постоянная $G$. Эксперимент Кавендиша с использованием крутильных весов позволил измерить слабую силу притяжения между телами известной массы и, таким образом, вычислить значение $G$. Как только значение $G$ стало известно, появилась возможность рассчитать массу Земли. Поэтому и говорят, что Кавендиш, определив $G$, «взвесил» Землю.

Ответ: Определив значение гравитационной постоянной $G$, Кавендиш позволил вычислить массу Земли $M_З$ по формуле $M_З = \frac{g R_З^2}{G}$, так как остальные величины в этой формуле ($g$ и $R_З$) уже были известны.

Какой результат получил бы учёный, проводя опыт на Марсе; Юпитере?

Гравитационная постоянная $G$ является фундаментальной физической константой. Это означает, что её значение универсально, то есть одинаково в любой точке Вселенной и не зависит от места проведения эксперимента или от свойств взаимодействующих тел.

Эксперимент Кавендиша измеряет силу гравитационного взаимодействия непосредственно между лабораторными телами (свинцовыми шарами). Гравитационное поле планеты (Земли, Марса или Юпитера) будет влиять на вес экспериментальной установки, но не на измеряемую горизонтальную силу взаимного притяжения между шарами, которая и позволяет определить $G$. Эта сила зависит только от масс шаров, расстояния между ними и самой гравитационной постоянной.

Следовательно, если бы аналогичный эксперимент был проведён на Марсе или Юпитере, результат измерения гравитационной постоянной $G$ был бы таким же.

Ответ: Проводя опыт на Марсе или Юпитере, учёный получил бы то же самое значение гравитационной постоянной $G$, так как она является фундаментальной физической константой.

► 292. 13 марта 1781 г. В. В. Гершель обнаружил седьмую планету — Уран. Но наблюдения учёных показали, что траектория Урана не совпадает с расчётной. Как это объяснялось и к чему привело решение этой загадки?

Как это объяснялось

После открытия Урана астрономы заметили, что его реальная траектория движения отличается от той, которая была вычислена на основе законов Ньютона с учётом гравитационного воздействия Солнца и всех известных на тот момент планет (от Меркурия до Сатурна). Эти отклонения, или пертурбации, были необъяснимы в рамках существующей модели Солнечной системы. Была выдвинута гипотеза, что причиной этих аномалий является гравитационное притяжение еще одной, более далёкой и пока не открытой планеты, которая своим влиянием "искажает" орбиту Урана.

Ответ: Несовпадение расчётной и наблюдаемой траекторий Урана объяснялось гипотезой о существовании за его орбитой еще одной, неизвестной планеты, которая своим гравитационным притяжением вызывает возмущения (пертурбации) в движении Урана.

К чему привело решение этой загадки

Решение этой загадки стало одним из величайших триумфов небесной механики и науки в целом. Два математика, француз Урбен Леверье и англичанин Джон Кауч Адамс, независимо друг от друга провели сложнейшие вычисления, чтобы на основе данных об отклонениях в орбите Урана предсказать массу и положение этой гипотетической планеты. Расчёты Леверье оказались более точными и были отправлены в Берлинскую обсерваторию. 23 сентября 1846 года астроном Иоганн Галле, используя эти вычисления, обнаружил новую планету практически в предсказанном месте. Эту планету назвали Нептун. Таким образом, Нептун стал первой планетой, открытой "на кончике пера", что послужило блестящим подтверждением мощи и справедливости закона всемирного тяготения Ньютона.

Ответ: Решение этой загадки привело к открытию восьмой планеты Солнечной системы — Нептуна — в 1846 году, что стало триумфальным подтверждением закона всемирного тяготения.

293. На горизонтальной плоскости лежат два связанных нитью груза массой $m$ каждый (рис. 54). На нити, прикрепленной к этим грузам и перекинутой через неподвижный блок, подвешен груз такой же массы. С каким ускорением движется эта система и чему равна сила натяжения нити между грузами? Трение не учитывать.

Рис. 54

Дано:

Масса первого груза: $m_1 = m$

Масса второго груза: $m_2 = m$

Масса третьего груза: $m_3 = m$

Трение отсутствует.

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Ускорение системы: $a - ?$

Сила натяжения нити между грузами на плоскости: $T_1 - ?$

Решение:

Поскольку нить нерастяжима и невесома, все три груза движутся как единое целое с одинаковым по модулю ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона для всей системы. Движущей силой для системы является сила тяжести, действующая на подвешенный груз ($m_3g$), так как силы тяжести и реакции опоры для грузов на горизонтальной плоскости скомпенсированы. Общая масса системы, которую приводит в движение эта сила, равна сумме масс всех трех грузов.

Движущая сила: $F_{дв} = m_3g = mg$

Общая масса системы: $M = m_1 + m_2 + m_3 = m + m + m = 3m$

Согласно второму закону Ньютона для всей системы ($F=Ma$):

$mg = (3m)a$

Отсюда можем найти ускорение системы $a$:

$a = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3}$

Теперь найдем силу натяжения нити $T_1$ между двумя грузами, лежащими на горизонтальной плоскости. Для этого рассмотрим силы, действующие только на самый левый груз (массой $m_1=m$). В горизонтальном направлении на него действует только одна сила — это искомая сила натяжения $T_1$, которая и сообщает ему ускорение $a$.

Применим второй закон Ньютона для первого груза:

$T_1 = m_1 a$

Подставим известные значения $m_1=m$ и $a = g/3$:

$T_1 = m \cdot \frac{g}{3} = \frac{mg}{3}$

Ответ:

Ускорение системы $a = \frac{g}{3}$, сила натяжения нити между грузами $T_1 = \frac{mg}{3}$.

294. Два бруска, связанные между собой нитью, подвешены, как показано на рисунке 55. Какую силу $\vec{F}$ нужно приложить к верхней нити, чтобы: а) оба бруска покоились; б) бруски двигались вверх с ускорением $1,2\ м/с^2$; в) бруски двигались вниз с ускорением $1,2\ м/с^2$?

Рис. 55

Дано:

Масса верхнего бруска, $m_1 = 2 \text{ кг}$
Масса нижнего бруска, $m_2 = 4 \text{ кг}$
Ускорение в случае б), $a_б = 1,2 \text{ м/с²}$
Ускорение в случае в), $a_в = 1,2 \text{ м/с²}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с²}$

Найти:

$F_а - ?$
$F_б - ?$
$F_в - ?$

Решение:

Для решения задачи рассмотрим оба бруска как единую систему. Общая масса системы равна сумме масс брусков: $M = m_1 + m_2 = 2 \text{ кг} + 4 \text{ кг} = 6 \text{ кг}$.

На эту систему действуют две внешние силы по вертикали: приложенная сила $\vec{F}$, направленная вверх, и суммарная сила тяжести $M\vec{g}$, направленная вниз.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к системе, равна произведению массы системы на её ускорение: $\vec{F} + M\vec{g} = M\vec{a}$

Направим ось координат OY вертикально вверх. Тогда проекция уравнения на эту ось примет вид: $F - Mg = Ma_y$, где $a_y$ — проекция ускорения системы на ось OY.

Выразим из этого уравнения силу $F$: $F = Mg + Ma_y = M(g + a_y)$

Теперь решим задачу для каждого из трёх случаев.

а) оба бруска покоились

Если бруски покоятся, их ускорение равно нулю, $a = 0$. Следовательно, проекция ускорения на ось OY также равна нулю, $a_y = 0$.

Подставим это значение в нашу формулу: $F_а = M(g + 0) = Mg$

Рассчитаем значение силы: $F_а = 6 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²} = 58,8 \text{ Н}$

Ответ: $58,8 \text{ Н}$.

б) бруски двигались вверх с ускорением 1,2 м/с²

В этом случае ускорение направлено вверх, поэтому его проекция на ось OY положительна: $a_y = a_б = 1,2 \text{ м/с²}$.

Подставим значения в общую формулу для силы: $F_б = M(g + a_б)$

Рассчитаем значение силы: $F_б = 6 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с²} + 1,2 \text{ м/с²}) = 6 \text{ кг} \cdot 11 \text{ м/с²} = 66 \text{ Н}$

Ответ: $66 \text{ Н}$.

в) бруски двигались вниз с ускорением 1,2 м/с²

В этом случае ускорение направлено вниз, поэтому его проекция на ось OY отрицательна: $a_y = -a_в = -1,2 \text{ м/с²}$.

Подставим значения в общую формулу для силы: $F_в = M(g + a_y) = M(g - a_в)$

Рассчитаем значение силы: $F_в = 6 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с²} - 1,2 \text{ м/с²}) = 6 \text{ кг} \cdot 8,6 \text{ м/с²} = 51,6 \text{ Н}$

Ответ: $51,6 \text{ Н}$.