Номер 290, страница 46 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах - номер 290, страница 46.

Условие.

► 290. По расчётам Ньютона, два шара диаметром по 30 см каждый, расположенные на расстоянии 0,6 см, сойдутся под действием силы взаимного притяжения через месяц после начала движения (расчёт производился при условии отсутствия внешнего сопротивления). Плотность шаров Ньютон брал равной средней плотности Земли: $\rho = 5 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$. Силу тяготения считать постоянной. Прав ли учёный?

Решение.

Дано:

Диаметр каждого шара, $D = 30$ см

Расстояние между поверхностями шаров, $s = 0,6$ см

Плотность материала шаров, $\rho = 5 \cdot 10^3$ кг/м³

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,674 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Время сближения по расчётам Ньютона, $t_Н = 1$ месяц

Перевод в систему СИ:

$D = 0,3$ м

$s = 0,006$ м

$t_Н \approx 30 \text{ суток} = 30 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 2,6 \cdot 10^6$ с

Найти:

Время сближения шаров $t$ и проверить, прав ли был Ньютон.

Решение:

Для проверки утверждения Ньютона необходимо рассчитать время, за которое шары сойдутся под действием силы взаимного притяжения, используя приведённые в задаче данные и допущения. Основное допущение, указанное в условии, заключается в том, что сила тяготения считается постоянной и равной её значению в начальный момент времени.

1. Найдём массу каждого шара. Радиус шара $R$ равен половине диаметра $D$, а объём шара $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Масса $m$ равна произведению плотности $\rho$ на объём $V$.

Радиус шара: $R = \frac{D}{2} = \frac{0,3 \text{ м}}{2} = 0,15$ м.

Объём шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (0,15 \text{ м})^3 \approx 0,01414 \text{ м}^3$.

Масса шара: $m = \rho \cdot V = 5 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,01414 \text{ м}^3 \approx 70,7$ кг.

2. Определим начальное расстояние между центрами шаров $r_0$. Оно равно сумме диаметра одного шара и расстояния между поверхностями.

$r_0 = D + s = 0,3 \text{ м} + 0,006 \text{ м} = 0,306$ м.

3. Рассчитаем силу гравитационного притяжения $F$ между шарами в начальный момент, которую по условию считаем постоянной.

$F = G\frac{m^2}{r_0^2} = 6,674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{(70,7 \text{ кг})^2}{(0,306 \text{ м})^2} \approx 3,57 \cdot 10^{-6}$ Н.

4. Найдём ускорение $a$, которое эта сила сообщает каждому шару, согласно второму закону Ньютона.

$a = \frac{F}{m} = \frac{3,57 \cdot 10^{-6} \text{ Н}}{70,7 \text{ кг}} \approx 5,05 \cdot 10^{-8} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

5. Шары начинают движение из состояния покоя и движутся навстречу друг другу. Они столкнутся, когда их поверхности соприкоснутся. Это произойдёт, когда каждый из шаров пройдёт путь $d$, равный половине начального расстояния между их поверхностями, то есть $d = s/2$.

$d = \frac{s}{2} = \frac{0,006 \text{ м}}{2} = 0,003$ м.

Время движения $t$ для равноускоренного движения без начальной скорости находится из формулы $d = \frac{at^2}{2}$.

$t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,003 \text{ м}}{5,05 \cdot 10^{-8} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} \approx \sqrt{1,188 \cdot 10^5} \text{ с} \approx 345$ с.

6. Сравним полученное время с предсказанием Ньютона.

Наше расчётное время $t \approx 345$ с, что составляет примерно $5,75$ минут.

Время, указанное Ньютоном, $t_Н = 1$ месяц, что примерно равно $2,6 \cdot 10^6$ с.

Результаты расчётов ($345$ с и $2,6 \cdot 10^6$ с) отличаются на несколько порядков. Следовательно, расчёт Ньютона, приведённый в условии, является неверным.

Стоит отметить, что допущение о постоянстве силы является упрощением. В реальности, по мере сближения шаров, сила притяжения и, соответственно, ускорение будут возрастать. Это приведёт к тому, что шары сойдутся ещё быстрее. Таким образом, более точный расчёт только укрепит вывод о неверности исходного утверждения.

Ответ: Нет, учёный неправ. Согласно расчётам, основанным на указанных в задаче данных и допущении о постоянстве силы тяготения, шары сойдутся примерно через 345 секунд (около 5,75 минут), а не через месяц.