Номер 283, страница 45 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах - номер 283, страница 45.

Условие.

283. Вблизи земной поверхности ускорение свободного падения равно $9,8 \text{ м/с}^2$. Каково будет значение этого ускорения на высотах 100, 2000 и 6000 км?

Решение.

Дано:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли, $g_0 = 9,8 \text{ м/с}^2$

Высота 1, $h_1 = 100 \text{ км} = 100 \cdot 10^3 \text{ м} = 10^5 \text{ м}$

Высота 2, $h_2 = 2000 \text{ км} = 2000 \cdot 10^3 \text{ м} = 2 \cdot 10^6 \text{ м}$

Высота 3, $h_3 = 6000 \text{ км} = 6000 \cdot 10^3 \text{ м} = 6 \cdot 10^6 \text{ м}$

Средний радиус Земли (константа), $R_З \approx 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Ускорение свободного падения на заданных высотах: $g_{h1}, g_{h2}, g_{h3}$ - ?

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на некотором расстоянии $r$ от центра Земли определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M_З}{r^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M_З$ – масса Земли.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$, поэтому ускорение свободного падения $g_0$ равно:

$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние до центра равно $r = R_З + h$. Тогда ускорение свободного падения на этой высоте $g_h$ будет:

$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

Чтобы найти $g_h$, не зная массу Земли и гравитационную постоянную, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}}{G \frac{M_З}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2} = \left(\frac{R_З}{R_З + h}\right)^2$

Отсюда получаем расчетную формулу:

$g_h = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З + h}\right)^2$

Теперь рассчитаем ускорение для каждой из заданных высот, используя $R_З = 6400 \text{ км}$.

На высоте 100 км

Подставляем $h_1 = 100 \text{ км}$:

$g_{h1} = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З + h_1}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{6400 + 100}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{6500}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{64}{65}\right)^2$

$g_{h1} \approx 9,8 \cdot (0,9846)^2 \approx 9,8 \cdot 0,9695 \approx 9,50 \text{ м/с}^2$

Ответ: на высоте 100 км ускорение свободного падения составит примерно $9,50 \text{ м/с}^2$.

На высоте 2000 км

Подставляем $h_2 = 2000 \text{ км}$:

$g_{h2} = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З + h_2}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{6400 + 2000}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{8400}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{16}{21}\right)^2$

$g_{h2} \approx 9,8 \cdot (0,7619)^2 \approx 9,8 \cdot 0,5805 \approx 5,69 \text{ м/с}^2$

Ответ: на высоте 2000 км ускорение свободного падения составит примерно $5,69 \text{ м/с}^2$.

На высоте 6000 км

Подставляем $h_3 = 6000 \text{ км}$:

$g_{h3} = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З + h_3}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{6400 + 6000}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{12400}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{16}{31}\right)^2$

$g_{h3} \approx 9,8 \cdot (0,5161)^2 \approx 9,8 \cdot 0,2664 \approx 2,61 \text{ м/с}^2$

Ответ: на высоте 6000 км ускорение свободного падения составит примерно $2,61 \text{ м/с}^2$.