Номер 282, страница 45 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах. Законы движения и взаимодействия тел - номер 282, страница 45.

282. На какой высоте над поверхностью Земли сила тяжести, действующая на тело, будет в 2 раза меньше, чем на её поверхности?

Дано:

$F_1 / F_2 = 2$

$R_З \approx 6400$ км

В системе СИ:

$R_З = 6.4 \cdot 10^6$ м

Найти:

$h$ — ?

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело, описывается законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса тела, а $r$ — расстояние от центра Земли до тела.

На поверхности Земли расстояние $r$ равно радиусу Земли $R_З$. Сила тяжести на поверхности ($F_1$) равна:

$F_1 = G \frac{M m}{R_З^2}$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние от центра Земли до тела составляет $r = R_З + h$. Сила тяжести на этой высоте ($F_2$) равна:

$F_2 = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Согласно условию задачи, сила тяжести на поверхности в 2 раза больше, чем на высоте $h$:

$F_1 = 2 F_2$

Подставим выражения для сил в это соотношение:

$G \frac{M m}{R_З^2} = 2 \cdot G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Сократим обе части уравнения на $G \cdot M \cdot m$:

$\frac{1}{R_З^2} = \frac{2}{(R_З + h)^2}$

Перевернем дроби или воспользуемся свойством пропорции, чтобы выразить $(R_З + h)^2$:

$(R_З + h)^2 = 2 R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как речь идет о расстояниях, мы рассматриваем только положительные значения корня.

$R_З + h = \sqrt{2} R_З$

Теперь выразим искомую высоту $h$:

$h = \sqrt{2} R_З - R_З = R_З(\sqrt{2} - 1)$

Подставим числовые значения, используя $R_З \approx 6400$ км и $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$h \approx 6400 \text{ км} \cdot (1.414 - 1) = 6400 \text{ км} \cdot 0.414 = 2649.6 \text{ км}$

Округлив, получаем:

$h \approx 2650$ км

Ответ: высота, на которой сила тяжести будет в 2 раза меньше, чем на поверхности Земли, составляет примерно 2650 км.