Номер 277, страница 44 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах - номер 277, страница 44.

Условие.

277. Определите точку на прямой, соединяющей Землю и Луну, в которой равнодействующая сил притяжения Земли и Луны равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли.

Решение.

Дано:

Расстояние между центрами Земли и Луны: $R = 60 R_З$, где $R_З$ - радиус Земли.

Соотношение масс Земли и Луны: $M_З = 81 M_Л$, где $M_З$ - масса Земли, $M_Л$ - масса Луны.

Найти:

Расстояние $x$ от центра Земли до точки, в которой равнодействующая сил притяжения Земли и Луны равна нулю.

Решение:

Пусть в искомой точке находится тело массой $m$. Эта точка должна лежать на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, и находиться между ними, так как только в этом случае силы притяжения к Земле и к Луне будут направлены в противоположные стороны и смогут уравновесить друг друга.

Обозначим расстояние от центра Земли до этой точки как $x$. Тогда расстояние от центра Луны до этой же точки будет равно $R - x$.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения тела к Земле ($F_З$) равна:

$F_З = G \frac{M_З m}{x^2}$

Сила притяжения тела к Луне ($F_Л$) равна:

$F_Л = G \frac{M_Л m}{(R - x)^2}$

По условию задачи, равнодействующая сила равна нулю, что означает равенство модулей этих сил:

$F_З = F_Л$

$G \frac{M_З m}{x^2} = G \frac{M_Л m}{(R - x)^2}$

Сократим в уравнении гравитационную постоянную $G$ и массу тела $m$:

$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_Л}{(R - x)^2}$

Подставим в это уравнение соотношение масс $M_З = 81 M_Л$:

$\frac{81 M_Л}{x^2} = \frac{M_Л}{(R - x)^2}$

Сократим массу Луны $M_Л$:

$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(R - x)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, учитывая, что расстояния $x$ и $(R-x)$ являются положительными величинами:

$\sqrt{\frac{81}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{(R - x)^2}}$

$\frac{9}{x} = \frac{1}{R - x}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$9(R - x) = x$

$9R - 9x = x$

$9R = 10x$

$x = \frac{9}{10} R$

Подставим значение расстояния $R = 60 R_З$:

$x = \frac{9}{10} \cdot 60 R_З = 9 \cdot 6 R_З = 54 R_З$

Следовательно, искомая точка находится на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.

Ответ: точка, в которой равнодействующая сила притяжения Земли и Луны равна нулю, находится на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли на прямой, соединяющей их центры.