Номер 274, страница 44 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах - номер 274, страница 44.

Условие.

274. Во сколько раз карликовая планета Плутон притягивается к Солнцу слабее Земли, если Плутон удалён от Солнца на расстояние в 40 раз большее, чем Земля? Массы Земли и Плутона приблизительно одинаковы.

Решение.

Дано:

$r_П = 40 \cdot r_З$ (расстояние от Плутона до Солнца в 40 раз больше расстояния от Земли до Солнца)

$m_П \approx m_З$ (масса Плутона приблизительно равна массе Земли)

Найти:

Во сколько раз сила притяжения Плутона к Солнцу ($F_П$) слабее силы притяжения Земли к Солнцу ($F_З$), то есть найти отношение $\frac{F_З}{F_П}$.

Решение:

Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы взаимодействующих тел, а $r$ — расстояние между ними.

Запишем это уравнение для системы Солнце-Земля:

$F_З = G \frac{M_С \cdot m_З}{r_З^2}$

где $M_С$ — масса Солнца, $m_З$ — масса Земли, $r_З$ — расстояние от Земли до Солнца.

Теперь запишем то же уравнение для системы Солнце-Плутон:

$F_П = G \frac{M_С \cdot m_П}{r_П^2}$

где $m_П$ — масса Плутона, $r_П$ — расстояние от Плутона до Солнца.

Чтобы определить, во сколько раз Плутон притягивается слабее, найдем отношение силы $F_З$ к силе $F_П$:

$\frac{F_З}{F_П} = \frac{G \frac{M_С \cdot m_З}{r_З^2}}{G \frac{M_С \cdot m_П}{r_П^2}}$

В этом выражении гравитационная постоянная $G$ и масса Солнца $M_С$ сокращаются:

$\frac{F_З}{F_П} = \frac{\frac{m_З}{r_З^2}}{\frac{m_П}{r_П^2}} = \frac{m_З}{m_П} \cdot \frac{r_П^2}{r_З^2}$

Из условия задачи нам известно, что массы Земли и Плутона приблизительно равны ($m_З \approx m_П$), поэтому их отношение $\frac{m_З}{m_П} \approx 1$. Также нам дано, что расстояние от Плутона до Солнца в 40 раз больше, чем от Земли до Солнца ($r_П = 40 \cdot r_З$).

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{F_З}{F_П} \approx 1 \cdot \frac{(40 \cdot r_З)^2}{r_З^2} = \frac{40^2 \cdot r_З^2}{r_З^2}$

Сократив $r_З^2$, получим:

$\frac{F_З}{F_П} = 40^2 = 1600$

Это означает, что сила притяжения Земли к Солнцу в 1600 раз больше, чем сила притяжения Плутона.

Ответ: Карликовая планета Плутон притягивается к Солнцу в 1600 раз слабее Земли.