Номер 278, страница 44 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах. Законы движения и взаимодействия тел - номер 278, страница 44.

278. Два одинаковых спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам, радиусы которых в 2 раза и 4 раза больше радиуса Земли. Найдите отношение силы притяжения между Землёй и ближайшим спутником к силе притяжения между Землёй и дальним спутником.

Дано:

Масса спутников: $m_1 = m_2 = m$

Радиус орбиты первого (ближайшего) спутника: $r_1 = 2R_З$

Радиус орбиты второго (дальнего) спутника: $r_2 = 4R_З$

где $R_З$ — радиус Земли.

Найти:

Отношение сил притяжения: $\frac{F_1}{F_2}$

Решение:

Сила гравитационного притяжения между Землей (массой $M_З$) и спутником (массой $m$) на расстоянии $r$ от центра Земли определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

Запишем выражения для силы притяжения для каждого из спутников.

Для ближайшего спутника, находящегося на орбите радиусом $r_1 = 2R_З$, сила притяжения $F_1$ равна:

$F_1 = G \frac{M_З m}{r_1^2} = G \frac{M_З m}{(2R_З)^2} = G \frac{M_З m}{4R_З^2}$

Для дальнего спутника, находящегося на орбите радиусом $r_2 = 4R_З$, сила притяжения $F_2$ равна:

$F_2 = G \frac{M_З m}{r_2^2} = G \frac{M_З m}{(4R_З)^2} = G \frac{M_З m}{16R_З^2}$

Теперь найдем отношение силы притяжения между Землей и ближайшим спутником ($F_1$) к силе притяжения между Землей и дальним спутником ($F_2$):

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G \frac{M_З m}{4R_З^2}}{G \frac{M_З m}{16R_З^2}}$

Сократив одинаковые величины ($G, M_З, m, R_З^2$), получим:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{1} = \frac{16}{4} = 4$

Ответ: 4.