Номер 275, страница 44 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах - номер 275, страница 44.

Условие.

275. На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней станет в 25 раз меньше, чем на поверхности Земли?

Решение.

Дано:

$\frac{F_1}{F_2} = 25$

$R_З \approx 6400$ км (средний радиус Земли)

Перевод в систему СИ:

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$h$ - расстояние от поверхности Земли

Решение:

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения между двумя телами определяется формулой:

$F = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса космического корабля, а $r$ — расстояние между их центрами масс.

На поверхности Земли расстояние $r_1$ равно радиусу Земли $R_З$. Сила притяжения $F_1$ в этом случае равна:

$F_1 = G \frac{M m}{R_З^2}$

На искомом расстоянии $h$ от поверхности Земли, общее расстояние от центра Земли до корабля будет $r_2 = R_З + h$. Сила притяжения $F_2$ на этой высоте будет:

$F_2 = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, сила притяжения на высоте $h$ в 25 раз меньше силы притяжения на поверхности, то есть:

$\frac{F_1}{F_2} = 25$

Подставим выражения для сил $F_1$ и $F_2$:

$\frac{G \frac{M m}{R_З^2}}{G \frac{M m}{(R_З + h)^2}} = 25$

Сократив одинаковые величины ($G, M, m$), получим:

$\frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = 25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{R_З + h}{R_З} = \sqrt{25}$

$\frac{R_З + h}{R_З} = 5$

Теперь выразим искомую высоту $h$:

$R_З + h = 5 R_З$

$h = 5 R_З - R_З$

$h = 4 R_З$

Подставим значение среднего радиуса Земли ($R_З \approx 6400$ км):

$h = 4 \cdot 6400 \text{ км} = 25600 \text{ км}$

Ответ: сила притяжения космического корабля к Земле станет в 25 раз меньше на расстоянии 25600 км от ее поверхности.