Номер 284, страница 45 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах. Законы движения и взаимодействия тел - номер 284, страница 45.

284. Рассчитайте ускорение свободного падения тела: a) на расстоянии, равном радиусу Земли; б) на высоте 25 600 км над поверхностью Земли. Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг, радиус Земли 6400 км.

Дано:

Масса Земли $M = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Радиус Земли $R_З = 6400$ км

Расстояние для пункта а) $d_а = R_З$

Высота для пункта б) $h_б = 25600$ км

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$h_б = 25600 \cdot 10^3 \text{ м} = 2.56 \cdot 10^7 \text{ м}$

Найти:

$g_а$ — ускорение свободного падения для случая а)

$g_б$ — ускорение свободного падения для случая б)

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на расстоянии $r$ от центра планеты массой $M$ определяется по формуле закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

Здесь $r$ — это расстояние от центра Земли до тела, равное сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты $h$ над поверхностью: $r = R_З + h$.

а) на расстоянии, равном радиусу Земли

Будем считать, что данное расстояние является высотой над поверхностью Земли, то есть $h_а = R_З$.

Тогда расстояние от центра Земли до тела будет:

$r_а = R_З + h_а = R_З + R_З = 2R_З$

$r_а = 2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} = 1.28 \cdot 10^7 \text{ м}$

Подставим значения в формулу для ускорения свободного падения:

$g_а = G \frac{M}{r_а^2} = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{(1.28 \cdot 10^7 \text{ м})^2}$

$g_а = \frac{40.02 \cdot 10^{13}}{1.6384 \cdot 10^{14}} \frac{м}{с^2} \approx 2.44 \frac{м}{с^2}$

Ответ: $g_а \approx 2.44 \text{ м/с}^2$.

б) на высоте 25 600 км над поверхностью Земли

Расстояние от центра Земли до тела будет:

$r_б = R_З + h_б = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 2.56 \cdot 10^7 \text{ м} = 0.64 \cdot 10^7 \text{ м} + 2.56 \cdot 10^7 \text{ м} = 3.2 \cdot 10^7 \text{ м}$

Подставим значения в формулу для ускорения свободного падения:

$g_б = G \frac{M}{r_б^2} = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{(3.2 \cdot 10^7 \text{ м})^2}$

$g_б = \frac{40.02 \cdot 10^{13}}{10.24 \cdot 10^{14}} \frac{м}{с^2} \approx 0.39 \frac{м}{с^2}$

Ответ: $g_б \approx 0.39 \text{ м/с}^2$.