Страница 45 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

281. Радиус планеты Марс примерно в 2 раза меньше радиуса Земли ($R_M \approx R_E / 2$), а масса Марса составляет примерно 0,11 массы Земли ($M_M \approx 0,11 M_E$). Сравните вес тела одинаковой массы на Земле и на Марсе.

Дано:

$R_М = \frac{R_З}{2}$

$M_М = 0,11 \cdot M_З$

Найти:

$\frac{P_М}{P_З}$

Решение:

Вес тела ($P$) на поверхности планеты — это сила, с которой планета притягивает это тело. Согласно закону всемирного тяготения, вес тела можно рассчитать по формуле:

$P = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $m$ — масса тела, а $R$ — радиус планеты.

Запишем выражения для веса тела одинаковой массы $m$ на поверхности Земли ($P_З$) и Марса ($P_М$):

$P_З = G \frac{M_З \cdot m}{R_З^2}$

$P_М = G \frac{M_М \cdot m}{R_М^2}$

Для сравнения веса тела на этих планетах найдем их отношение:

$\frac{P_М}{P_З} = \frac{G \frac{M_М \cdot m}{R_М^2}}{G \frac{M_З \cdot m}{R_З^2}}$

Сократив общие множители $G$ и $m$, получим:

$\frac{P_М}{P_З} = \frac{M_М}{R_М^2} \cdot \frac{R_З^2}{M_З} = \frac{M_М}{M_З} \cdot (\frac{R_З}{R_М})^2$

Из условия задачи нам известно, что $M_М = 0,11 \cdot M_З$ и $R_З = 2 \cdot R_М$. Подставим эти соотношения в формулу:

$\frac{M_М}{M_З} = 0,11$

$\frac{R_З}{R_М} = 2$

Тогда отношение весов будет равно:

$\frac{P_М}{P_З} = 0,11 \cdot (2)^2 = 0,11 \cdot 4 = 0,44$

Это означает, что вес тела на Марсе составляет 0,44 от его веса на Земле. Следовательно, вес тела на Земле больше, чем на Марсе. Найдем, во сколько раз:

$\frac{P_З}{P_М} = \frac{1}{0,44} \approx 2,27$

Таким образом, вес тела на Земле примерно в 2,3 раза больше веса этого же тела на Марсе.

Ответ: Вес тела на Марсе примерно в 2,3 раза меньше, чем на Земле (составляет примерно 0,44 от веса на Земле).

282. На какой высоте над поверхностью Земли сила тяжести, действующая на тело, будет в 2 раза меньше, чем на её поверхности?

Дано:

$F_1 / F_2 = 2$

$R_З \approx 6400$ км

В системе СИ:

$R_З = 6.4 \cdot 10^6$ м

Найти:

$h$ — ?

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело, описывается законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса тела, а $r$ — расстояние от центра Земли до тела.

На поверхности Земли расстояние $r$ равно радиусу Земли $R_З$. Сила тяжести на поверхности ($F_1$) равна:

$F_1 = G \frac{M m}{R_З^2}$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние от центра Земли до тела составляет $r = R_З + h$. Сила тяжести на этой высоте ($F_2$) равна:

$F_2 = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Согласно условию задачи, сила тяжести на поверхности в 2 раза больше, чем на высоте $h$:

$F_1 = 2 F_2$

Подставим выражения для сил в это соотношение:

$G \frac{M m}{R_З^2} = 2 \cdot G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Сократим обе части уравнения на $G \cdot M \cdot m$:

$\frac{1}{R_З^2} = \frac{2}{(R_З + h)^2}$

Перевернем дроби или воспользуемся свойством пропорции, чтобы выразить $(R_З + h)^2$:

$(R_З + h)^2 = 2 R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как речь идет о расстояниях, мы рассматриваем только положительные значения корня.

$R_З + h = \sqrt{2} R_З$

Теперь выразим искомую высоту $h$:

$h = \sqrt{2} R_З - R_З = R_З(\sqrt{2} - 1)$

Подставим числовые значения, используя $R_З \approx 6400$ км и $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$h \approx 6400 \text{ км} \cdot (1.414 - 1) = 6400 \text{ км} \cdot 0.414 = 2649.6 \text{ км}$

Округлив, получаем:

$h \approx 2650$ км

Ответ: высота, на которой сила тяжести будет в 2 раза меньше, чем на поверхности Земли, составляет примерно 2650 км.

283. Вблизи земной поверхности ускорение свободного падения равно $9,8 \text{ м/с}^2$. Каково будет значение этого ускорения на высотах 100, 2000 и 6000 км?

Дано:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли, $g_0 = 9,8 \text{ м/с}^2$

Высота 1, $h_1 = 100 \text{ км} = 100 \cdot 10^3 \text{ м} = 10^5 \text{ м}$

Высота 2, $h_2 = 2000 \text{ км} = 2000 \cdot 10^3 \text{ м} = 2 \cdot 10^6 \text{ м}$

Высота 3, $h_3 = 6000 \text{ км} = 6000 \cdot 10^3 \text{ м} = 6 \cdot 10^6 \text{ м}$

Средний радиус Земли (константа), $R_З \approx 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Ускорение свободного падения на заданных высотах: $g_{h1}, g_{h2}, g_{h3}$ - ?

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на некотором расстоянии $r$ от центра Земли определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M_З}{r^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M_З$ – масса Земли.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$, поэтому ускорение свободного падения $g_0$ равно:

$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние до центра равно $r = R_З + h$. Тогда ускорение свободного падения на этой высоте $g_h$ будет:

$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

Чтобы найти $g_h$, не зная массу Земли и гравитационную постоянную, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}}{G \frac{M_З}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2} = \left(\frac{R_З}{R_З + h}\right)^2$

Отсюда получаем расчетную формулу:

$g_h = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З + h}\right)^2$

Теперь рассчитаем ускорение для каждой из заданных высот, используя $R_З = 6400 \text{ км}$.

На высоте 100 км

Подставляем $h_1 = 100 \text{ км}$:

$g_{h1} = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З + h_1}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{6400 + 100}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{6500}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{64}{65}\right)^2$

$g_{h1} \approx 9,8 \cdot (0,9846)^2 \approx 9,8 \cdot 0,9695 \approx 9,50 \text{ м/с}^2$

Ответ: на высоте 100 км ускорение свободного падения составит примерно $9,50 \text{ м/с}^2$.

На высоте 2000 км

Подставляем $h_2 = 2000 \text{ км}$:

$g_{h2} = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З + h_2}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{6400 + 2000}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{8400}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{16}{21}\right)^2$

$g_{h2} \approx 9,8 \cdot (0,7619)^2 \approx 9,8 \cdot 0,5805 \approx 5,69 \text{ м/с}^2$

Ответ: на высоте 2000 км ускорение свободного падения составит примерно $5,69 \text{ м/с}^2$.

На высоте 6000 км

Подставляем $h_3 = 6000 \text{ км}$:

$g_{h3} = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З + h_3}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{6400 + 6000}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{6400}{12400}\right)^2 = 9,8 \cdot \left(\frac{16}{31}\right)^2$

$g_{h3} \approx 9,8 \cdot (0,5161)^2 \approx 9,8 \cdot 0,2664 \approx 2,61 \text{ м/с}^2$

Ответ: на высоте 6000 км ускорение свободного падения составит примерно $2,61 \text{ м/с}^2$.

284. Рассчитайте ускорение свободного падения тела: a) на расстоянии, равном радиусу Земли; б) на высоте 25 600 км над поверхностью Земли. Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг, радиус Земли 6400 км.

Дано:

Масса Земли $M = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Радиус Земли $R_З = 6400$ км

Расстояние для пункта а) $d_а = R_З$

Высота для пункта б) $h_б = 25600$ км

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$h_б = 25600 \cdot 10^3 \text{ м} = 2.56 \cdot 10^7 \text{ м}$

Найти:

$g_а$ — ускорение свободного падения для случая а)

$g_б$ — ускорение свободного падения для случая б)

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на расстоянии $r$ от центра планеты массой $M$ определяется по формуле закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

Здесь $r$ — это расстояние от центра Земли до тела, равное сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты $h$ над поверхностью: $r = R_З + h$.

а) на расстоянии, равном радиусу Земли

Будем считать, что данное расстояние является высотой над поверхностью Земли, то есть $h_а = R_З$.

Тогда расстояние от центра Земли до тела будет:

$r_а = R_З + h_а = R_З + R_З = 2R_З$

$r_а = 2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} = 1.28 \cdot 10^7 \text{ м}$

Подставим значения в формулу для ускорения свободного падения:

$g_а = G \frac{M}{r_а^2} = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{(1.28 \cdot 10^7 \text{ м})^2}$

$g_а = \frac{40.02 \cdot 10^{13}}{1.6384 \cdot 10^{14}} \frac{м}{с^2} \approx 2.44 \frac{м}{с^2}$

Ответ: $g_а \approx 2.44 \text{ м/с}^2$.

б) на высоте 25 600 км над поверхностью Земли

Расстояние от центра Земли до тела будет:

$r_б = R_З + h_б = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 2.56 \cdot 10^7 \text{ м} = 0.64 \cdot 10^7 \text{ м} + 2.56 \cdot 10^7 \text{ м} = 3.2 \cdot 10^7 \text{ м}$

Подставим значения в формулу для ускорения свободного падения:

$g_б = G \frac{M}{r_б^2} = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{(3.2 \cdot 10^7 \text{ м})^2}$

$g_б = \frac{40.02 \cdot 10^{13}}{10.24 \cdot 10^{14}} \frac{м}{с^2} \approx 0.39 \frac{м}{с^2}$

Ответ: $g_б \approx 0.39 \text{ м/с}^2$.

285. По данным, приведённым в таблице, вычислите ускорение свободного падения на поверхности небесных тел.

Масса планеты, кг:

Луна: $7,35 \cdot 10^{22}$

Нептун: $1,04 \cdot 10^{26}$

Юпитер: $1,9 \cdot 10^{27}$

Уран: $8,69 \cdot 10^{25}$

Средний радиус планеты, м:

Луна: $1,74 \cdot 10^{6}$

Нептун: $2,22 \cdot 10^{7}$

Юпитер: $7,13 \cdot 10^{7}$

Уран: $2,38 \cdot 10^{7}$

Дано:

Для Луны:

Масса $M_Л = 7,35 \cdot 10^{22}$ кг

Средний радиус $R_Л = 1,74 \cdot 10^6$ м

Для Нептуна:

Масса $M_Н = 1,04 \cdot 10^{26}$ кг

Средний радиус $R_Н = 2,22 \cdot 10^7$ м

Для Юпитера:

Масса $M_Ю = 1,9 \cdot 10^{27}$ кг

Средний радиус $R_Ю = 7,13 \cdot 10^7$ м

Для Урана:

Масса $M_У = 8,69 \cdot 10^{25}$ кг

Средний радиус $R_У = 2,38 \cdot 10^7$ м

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \, \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Найти:

$g_Л, g_Н, g_Ю, g_У$ — ускорения свободного падения на поверхности Луны, Нептуна, Юпитера и Урана.

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности небесного тела вычисляется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, $R$ — его радиус.

Произведем расчеты для каждого небесного тела.

Луна

Подставим в формулу массу и радиус Луны:

$g_Л = G \frac{M_Л}{R_Л^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{7,35 \cdot 10^{22} \, кг}{(1,74 \cdot 10^6 \, м)^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{7,35 \cdot 10^{22}}{3,0276 \cdot 10^{12}} \frac{м}{с^2} \approx 1,62 \, м/с^2$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности Луны составляет примерно $1,62 \, м/с^2$.

Нептун

Подставим в формулу массу и радиус Нептуна:

$g_Н = G \frac{M_Н}{R_Н^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{1,04 \cdot 10^{26} \, кг}{(2,22 \cdot 10^7 \, м)^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{1,04 \cdot 10^{26}}{4,9284 \cdot 10^{14}} \frac{м}{с^2} \approx 14,1 \, м/с^2$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности Нептуна составляет примерно $14,1 \, м/с^2$.

Юпитер

Подставим в формулу массу и радиус Юпитера:

$g_Ю = G \frac{M_Ю}{R_Ю^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{1,9 \cdot 10^{27} \, кг}{(7,13 \cdot 10^7 \, м)^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{1,9 \cdot 10^{27}}{50,8369 \cdot 10^{14}} \frac{м}{с^2} \approx 25 \, м/с^2$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности Юпитера составляет примерно $25 \, м/с^2$.

Уран

Подставим в формулу массу и радиус Урана:

$g_У = G \frac{M_У}{R_У^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{8,69 \cdot 10^{25} \, кг}{(2,38 \cdot 10^7 \, м)^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{8,69 \cdot 10^{25}}{5,6644 \cdot 10^{14}} \frac{м}{с^2} \approx 10,2 \, м/с^2$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности Урана составляет примерно $10,2 \, м/с^2$.

286. Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а масса — 0,11 массы Земли. Зная ускорение свободного падения на Земле, найдите ускорение свободного падения на Марсе.

Дано:

Радиус Марса: $R_М = 0,53 R_З$

Масса Марса: $M_М = 0,11 M_З$

Ускорение свободного падения на Земле: $g_З \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

$g_М$ — ускорение свободного падения на Марсе.

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности любой планеты определяется по формуле, которая следует из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, а $R$ — её радиус.

Запишем эту формулу для Земли:

$g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$

И для Марса:

$g_М = G \frac{M_М}{R_М^2}$

Теперь подставим в формулу для Марса значения его массы и радиуса, выраженные через массу и радиус Земли, согласно условию задачи:

$g_М = G \frac{0,11 M_З}{(0,53 R_З)^2}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$g_М = G \frac{0,11 M_З}{0,53^2 R_З^2} = G \frac{0,11 M_З}{0,2809 R_З^2}$

Вынесем числовые коэффициенты и сгруппируем оставшиеся члены:

$g_М = \frac{0,11}{0,2809} \cdot \left(G \frac{M_З}{R_З^2}\right)$

Выражение в скобках представляет собой формулу для ускорения свободного падения на Земле, $g_З$. Следовательно, мы можем записать:

$g_М = \frac{0,11}{0,2809} \cdot g_З \approx 0,3916 \cdot g_З$

Подставим известное значение $g_З \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$ и вычислим ускорение свободного падения на Марсе:

$g_М \approx 0,3916 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \approx 3,83768 \, \text{м/с}^2$

Округлим полученный результат до двух значащих цифр, так как исходные данные даны с такой же точностью:

$g_М \approx 3,8 \, \text{м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения на Марсе составляет примерно $3,8 \, \text{м/с}^2$.

287. Ускорение свободного падения на планете Меркурий $3,72 \text{ м/с}^2$, а средний радиус планеты 2420 км. Рассчитайте массу Меркурия.

Дано:

Ускорение свободного падения на Меркурии, $g = 3,72 \text{ м/с}^2$

Средний радиус Меркурия, $R = 2420 \text{ км}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

$R = 2420 \text{ км} = 2420 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,42 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Массу Меркурия, $M$

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности планеты определяется ее массой $M$ и радиусом $R$ в соответствии с законом всемирного тяготения. Сила тяжести, действующая на тело массой $m$ на поверхности планеты, равна $F = mg$. Эта же сила является силой гравитационного притяжения $F = G \frac{M m}{R^2}$.

Приравняем эти два выражения:

$mg = G \frac{M m}{R^2}$

Сократив массу тела $m$ с обеих сторон, получим формулу для ускорения свободного падения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Из этой формулы выразим массу планеты $M$:

$M = \frac{g R^2}{G}$

Подставим в формулу числовые значения в системе СИ:

$M = \frac{3,72 \text{ м/с}^2 \cdot (2,42 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}$

Выполним вычисления:

$M = \frac{3,72 \cdot (2,42)^2 \cdot (10^6)^2}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} = \frac{3,72 \cdot 5,8564 \cdot 10^{12}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг}$

$M \approx \frac{21,78 \cdot 10^{12}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} \approx 3,266 \cdot 10^{23} \text{ кг}$

Округлив результат до трех значащих цифр (как в исходных данных), получаем:

$M \approx 3,27 \cdot 10^{23} \text{ кг}$

Ответ: масса Меркурия составляет приблизительно $3,27 \cdot 10^{23} \text{ кг}$.

► 288. В фантастическом рассказе Ж. Верна о ядре с пассажирами, брошенном с Земли на Луну, рассказывается, что на участке пути, на котором притяжение Луны равно притяжению Земли, все предметы внутри ядра потеряли вес, всякий предмет, не падая, оставался в воздухе там, где был помещён. Докажите, что такое явление должно было бы наблюдаться на протяжении всего пути.

Решение

Вес тела – это сила, с которой тело вследствие гравитационного притяжения действует на опору или подвес. Состояние, при котором вес равен нулю ($P=0$), называется невесомостью. Невесомость возникает, когда на тело и его опору действуют только гравитационные силы, то есть когда они находятся в состоянии свободного падения.

После того как ядро с пассажирами было запущено и покинуло атмосферу Земли, единственными силами, действующими на него и на все, что находится внутри, являются силы гравитационного притяжения со стороны Земли и Луны. Сопротивлением межпланетной среды можно пренебречь.

Согласно закону всемирного тяготения и второму закону Ньютона, ускорение, которое гравитационное поле сообщает телу, не зависит от массы этого тела. В любой точке пространства на траектории полета результирующее ускорение свободного падения $ \vec{a} $, создаваемое гравитационными полями Земли и Луны, будет одинаковым для ядра, для пассажиров и для любых других предметов внутри ядра.

$ \vec{a}_{ядра} = \vec{a}_{пассажира} = \vec{a}_{предмета} $

Поскольку и оболочка ядра (которая служит опорой), и все объекты внутри движутся с одним и тем же ускорением, они не оказывают давления друг на друга. Пассажир не будет давить на пол, а отпущенный предмет не будет падать относительно стенок ядра, так как и пол, и стенки "падают" вместе с ним. Сила реакции опоры $ \vec{N} $ со стороны ядра на находящиеся в нем тела будет равна нулю.

Так как вес $ P $ по определению равен модулю силы реакции опоры ($P = N$), то он будет равен нулю на протяжении всего полета. Это и есть состояние невесомости.

Таким образом, Жюль Верн допустил ошибку, связав невесомость с точкой, где силы притяжения Земли и Луны уравновешиваются. В этой точке равнодействующая гравитационных сил и, следовательно, ускорение системы действительно равны нулю, но состояние невесомости (отсутствие внутреннего давления тел друг на друга) обусловлено их совместным свободным падением и наблюдается в течение всего полета в гравитационном поле.

Ответ: Явление невесомости должно было бы наблюдаться на протяжении всего пути, так как после выхода из атмосферы и ядро, и все предметы внутри него находятся в состоянии свободного падения, то есть движутся с одинаковым ускорением под действием только гравитационных сил.