Страница 51 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 312. Верёвка пренебрежимо малой массы перекинута через блок, вращающийся без трения. За один конец верёвки держится обезьяна, к другому концу прикреплено зеркало того же веса, что и обезьяна. Может ли обезьяна сместиться относительно своего изображения в зеркале, если она: а) будет взбираться по верёвке вверх; б) будет опускаться по верёвке вниз; в) отпустит верёвку?

Дано:

Масса обезьяны $m_о$.
Масса зеркала $m_з$.
По условию, вес обезьяны равен весу зеркала: $P_о = P_з$, что означает равенство их масс: $m_о = m_з = m$.
Масса верёвки и трение в блоке пренебрежимо малы.

Найти:

Может ли обезьяна сместиться относительно своего изображения в зеркале в трёх случаях: а) взбираясь вверх, б) опускаясь вниз, в) отпустив верёвку.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим силы, действующие на обезьяну и зеркало, и запишем для них второй закон Ньютона. Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную с землёй, и направим ось OY вертикально вверх.

На зеркало действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила натяжения верёвки $T$, направленная вверх. Уравнение движения для зеркала:$T - mg = ma_з$ (1)где $a_з$ – ускорение зеркала.

На обезьяну также действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила, с которой верёвка действует на обезьяну, направленная вверх. Эта сила, по третьему закону Ньютона, равна по модулю силе, с которой обезьяна действует на верёвку. Поскольку верёвка невесома, а блок идеален (без трения), сила, приложенная обезьяной к верёвке, создаёт в ней натяжение $T$, которое одинаково по всей длине верёвки. Таким образом, на обезьяну со стороны верёвки действует сила, равная по модулю силе натяжения $T$. Уравнение движения для обезьяны:$T - mg = ma_о$ (2)где $a_о$ – ускорение обезьяны.

Сравнивая уравнения (1) и (2), мы видим, что их левые части идентичны. Следовательно, должны быть равны и правые части:$ma_з = ma_о$Поскольку массы обезьяны и зеркала равны ($m \neq 0$), их ускорения также должны быть равны в любой момент времени, пока обезьяна держится за верёвку:$a_з = a_о$

Это означает, что обезьяна и зеркало всегда движутся с одинаковым ускорением. Если в начальный момент времени они покоились на одной высоте, то их скорости всегда будут одинаковы, и они всегда будут находиться на одной и той же высоте. Таким образом, их взаимное расположение в пространстве не меняется.

Изображение объекта в плоском зеркале находится на том же расстоянии за зеркалом, на каком объект находится перед ним, и на той же высоте. Поскольку обезьяна и зеркало всё время находятся на одной высоте, изображение обезьяны также будет находиться на этой же высоте. Горизонтальное расстояние между обезьяной и зеркалом также остаётся постоянным. Следовательно, расстояние от обезьяны до её изображения в зеркале остаётся неизменным. Смещение обезьяны относительно её изображения равно нулю.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) будет взбираться по верёвке вверх

Чтобы взбираться вверх, обезьяна должна тянуть верёвку вниз с силой, большей её веса, т.е. создаваемая сила натяжения $T > mg$. В этом случае из уравнений (1) и (2) следует, что ускорения обезьяны и зеркала положительны ($a_о = a_з = (T-mg)/m > 0$). Оба тела будут двигаться вверх с одинаковым ускорением. Их относительное положение не изменится, а значит, обезьяна не сможет сместиться относительно своего изображения.

Ответ: Нет, не может.

б) будет опускаться по верёвке вниз

Чтобы опускаться по верёвке с ускорением (или с постоянной скоростью, но не в свободном падении), обезьяна должна действовать на верёвку с силой, меньшей её веса, т.е. $T < mg$. В этом случае ускорения обезьяны и зеркала будут отрицательны ($a_о = a_з = (T-mg)/m < 0$). Оба тела будут двигаться вниз с одинаковым ускорением. Их относительное положение снова не изменится, и обезьяна не сможет сместиться относительно своего изображения.

Ответ: Нет, не может.

в) отпустит верёвку

Когда обезьяна отпустит верёвку, единственной силой, действующей на неё, станет сила тяжести. Её ускорение будет равно ускорению свободного падения: $a_о = -g$. Сила натяжения в верёвке, к которой прикреплено зеркало, станет равной нулю, так как другой конец верёвки свободен. Поэтому на зеркало также будет действовать только сила тяжести, и его ускорение тоже будет равно ускорению свободного падения: $a_з = -g$. Так как ускорения обезьяны и зеркала снова одинаковы, они будут падать вместе, сохраняя своё взаимное расположение. Обезьяна не сможет сместиться относительно своего изображения.

Ответ: Нет, не может.

313. Вниз по наклонной плоскости скользит брусок: его устанавливают в положении A, а затем в положении B (рис. 66). Одинаковая ли сила трения действует на брусок в обоих случаях?

Рис. 66

Решение

Сила трения скольжения, действующая на брусок, определяется по формуле:

$F_{тр} = \mu N$

где $\mu$ – коэффициент трения скольжения, а $N$ – сила нормальной реакции опоры.

Коэффициент трения $\mu$ зависит от материалов соприкасающихся поверхностей (в данном случае бруска и наклонной плоскости). Так как и брусок, и плоскость в обоих случаях одни и те же, коэффициент трения $\mu$ остается неизменным.

Сила нормальной реакции опоры $N$ для тела на наклонной плоскости равна проекции силы тяжести на ось, перпендикулярную плоскости. Если угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$, то:

$N = mg \cos(\alpha)$

где $m$ – масса бруска, а $g$ – ускорение свободного падения.

Так как масса бруска $m$ и угол наклона плоскости $\alpha$ не меняются, сила нормальной реакции опоры $N$ в обоих случаях (A и B) будет одинаковой.

Подставив выражение для $N$ в формулу для силы трения, получим:

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$

Как видно из формулы, сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей. Поскольку все величины в правой части уравнения ($\mu$, $m$, $g$, $\alpha$) постоянны для обоих положений бруска, сила трения также будет одинаковой.

Ответ: Сила трения, действующая на брусок, в обоих случаях одинаковая, так как она не зависит от площади соприкосновения тел, а определяется только силой нормальной реакции опоры и коэффициентом трения.

314. Какие сани скатятся с наклонной плоскости быстрее — с грузом или без груза? Почему?

Для ответа на этот вопрос проанализируем движение саней по наклонной плоскости с точки зрения динамики.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на сани массой $m$, которые скатываются с наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$.

1. Сила тяжести $F_{т} = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно поверхности, вверх.
3. Сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная вдоль поверхности против движения.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a} = \vec{F_{т}} + \vec{N} + \vec{F_{тр}}$.

Выберем систему координат так, чтобы ось $Ox$ была направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. Спроецируем силы на эти оси:

Проекция на ось $Ox$: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma$

Проекция на ось $Oy$: $N - mg \cos(\alpha) = 0$, откуда $N = mg \cos(\alpha)$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения $\mu$: $F_{тр} = \mu N$. Подставив выражение для $N$, получим:

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$

Теперь подставим это выражение для силы трения в уравнение для оси $Ox$:

$mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma$

В этом уравнении масса $m$ является общим множителем для всех его членов, поэтому ее можно сократить:

$g \sin(\alpha) - \mu g \cos(\alpha) = a$

Таким образом, ускорение саней равно:

$a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Из полученной формулы видно, что ускорение саней на наклонной плоскости зависит только от ускорения свободного падения $g$, угла наклона плоскости $\alpha$ и коэффициента трения $\mu$. Ускорение не зависит от массы саней.

Это означает, что в рамках идеальной физической модели (где коэффициент трения не зависит от давления, а сопротивление воздуха пренебрежимо мало) сани с грузом и сани без груза будут скатываться с одинаковым ускорением. Следовательно, они достигнут подножия склона одновременно.

Однако в реальных условиях сани с грузом, скорее всего, скатятся быстрее. Это может быть связано с двумя основными причинами:

1. Сопротивление воздуха. Сила сопротивления воздуха зависит от скорости и формы тела, но не от его массы. При одинаковой силе сопротивления ее тормозящий эффект (отрицательное ускорение $F_{возд}/m$) будет меньше для более массивного тела.
2. Зависимость трения. При движении по снегу или льду трение уменьшается при увеличении давления, так как под полозьями образуется тонкий слой воды, работающий как смазка. Сани с грузом оказывают большее давление, что может привести к уменьшению коэффициента трения и, соответственно, к увеличению ускорения.

Ответ:

Теоретически, если пренебречь сопротивлением воздуха и считать коэффициент трения постоянным, сани с грузом и без груза скатятся с наклонной плоскости одновременно, так как их ускорение не зависит от массы. В реальных условиях нагруженные сани, вероятнее всего, скатятся быстрее из-за меньшего относительного влияния сопротивления воздуха и возможного уменьшения коэффициента трения при большем давлении на снег.

315. а) Почему конькобежец во время соревнований наклоняется в сторону поворота? б) Кто больше наклоняется — спринтеры, бегущие дистанцию 500 м, или стайеры на дистанции 10 000 м? Почему?

а)

При движении по криволинейной траектории, какой является поворот, на тело должно действовать центростремительное ускорение, направленное к центру кривизны траектории. Согласно второму закону Ньютона, это ускорение создается силой, также направленной к центру поворота. Эта сила называется центростремительной силой.

Когда конькобежец наклоняется в сторону поворота, на него действуют две основные силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности льда. При наклоне сила реакции опоры $\vec{N}$ имеет две составляющие: вертикальную $N_y$ и горизонтальную $N_x$.

Вертикальная составляющая $N_y$ уравновешивает силу тяжести: $N_y = mg$.

Горизонтальная составляющая $N_x$ направлена к центру поворота и создает необходимое центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$, где $v$ – скорость конькобежца, а $R$ – радиус поворота. Таким образом, $N_x$ является центростремительной силой: $F_c = N_x = m \frac{v^2}{R}$.

Наклоняясь, конькобежец обеспечивает появление этой горизонтальной составляющей силы реакции опоры, которая и заставляет его двигаться по дуге, а не по прямой. Чем больше наклон, тем больше горизонтальная составляющая силы и, следовательно, тем большую центростремительную силу она создает, что позволяет проходить поворот на более высокой скорости. Наклон также помогает сохранить равновесие, так как равнодействующая силы тяжести и силы реакции опоры проходит через площадь опоры (коньки).

Ответ: Конькобежец наклоняется в сторону поворота для создания центростремительной силы, которая необходима для движения по криволинейной траектории. Эта сила создается горизонтальной составляющей силы реакции опоры льда.

б)

Угол наклона конькобежца $\alpha$ (относительно вертикали) зависит от его скорости $v$ и радиуса поворота $R$. Из рассмотрения сил в пункте а) можно получить соотношение. Если разложить силу реакции опоры $\vec{N}$ на горизонтальную $N_x$ и вертикальную $N_y$ составляющие, то:

$N_x = N \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{R}$

$N_y = N \cos(\alpha) = mg$

Разделив первое выражение на второе, получим:

$\frac{N \sin(\alpha)}{N \cos(\alpha)} = \frac{m v^2 / R}{mg}$

$\tan(\alpha) = \frac{v^2}{gR}$

Из этой формулы видно, что тангенс угла наклона прямо пропорционален квадрату скорости и обратно пропорционален радиусу поворота.

Спринтеры (бегущие дистанцию 500 м) и стайеры (бегущие 10 000 м) соревнуются на одном и том же стадионе, поэтому радиус поворота $R$ для них одинаков. Однако спринтеры развивают значительно большую скорость, чем стайеры, которые должны распределять силы на длинную дистанцию. Таким образом, скорость спринтера $v_{спринтера}$ больше скорости стайера $v_{стайера}$.

Поскольку $v_{спринтера} > v_{стайера}$ и $R$ одинаково, то для прохождения поворота спринтеру требуется большее центростремительное ускорение. Следовательно, и угол наклона $\alpha$ у спринтера будет больше, так как $\tan(\alpha)$ зависит от $v^2$.

Ответ: Больше наклоняются спринтеры. Это связано с тем, что они проходят повороты на значительно более высокой скорости, а для удержания на траектории при большей скорости требуется большая центростремительная сила, которая создается за счет большего угла наклона.

316. На гладкой наклонной плоскости длиной 2 м и высотой 1 м лежит груз массой 100 кг. С какой силой груз давит на наклонную плоскость? Какую силу необходимо приложить к грузу, чтобы удержать его на наклонной плоскости? Как изменится модуль этой силы, если поверхность шероховатая и коэффициент трения равен 0,1?

Дано:

Длина наклонной плоскости, $l = 2$ м
Высота наклонной плоскости, $h = 1$ м
Масса груза, $m = 100$ кг
Коэффициент трения (для шероховатой поверхности), $\mu = 0,1$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

1. Силу, с которой груз давит на гладкую плоскость - $P$
2. Силу для удержания груза на гладкой плоскости - $F_{у1}$
3. Новое значение удерживающей силы на шероховатой плоскости - $F_{у2}$

Решение:

Вначале определим синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$.
Из геометрических соображений:
$\sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{1 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 0,5$
Из основного тригонометрического тождества найдем косинус:
$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (0,5)^2} = \sqrt{1 - 0,25} = \sqrt{0,75} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

С какой силой груз давит на наклонную плоскость?

Сила, с которой груз давит на наклонную плоскость ($P$), по третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормальной реакции опоры ($N$), действующей на груз со стороны плоскости. Сила нормальной реакции опоры уравновешивает составляющую силы тяжести, перпендикулярную наклонной плоскости.
$P = N = mg \cos(\alpha)$
Выполним расчет:
$P = 100 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 490\sqrt{3} \text{ Н} \approx 848,7 \text{ Н}$

Ответ: Груз давит на наклонную плоскость с силой примерно $849$ Н.

Какую силу необходимо приложить к грузу, чтобы удержать его на наклонной плоскости?

Для удержания груза на гладкой (без трения) наклонной плоскости, нужно приложить силу $F_{у1}$, направленную параллельно плоскости вверх. Эта сила должна уравновешивать скатывающую силу — составляющую силы тяжести, параллельную наклонной плоскости.
$F_{скат} = mg \sin(\alpha)$
Из условия равновесия:
$F_{у1} = F_{скат} = mg \sin(\alpha)$
Выполним расчет:
$F_{у1} = 100 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,5 = 490 \text{ Н}$

Ответ: Чтобы удержать груз на гладкой плоскости, необходимо приложить силу $490$ Н.

Как изменится модуль этой силы, если поверхность шероховатая и коэффициент трения равен 0,1?

На шероховатой поверхности возникает сила трения покоя $F_{тр}$, которая направлена против возможного движения, то есть вверх по склону, помогая удерживать груз. Минимальная удерживающая сила $F_{у2}$ потребуется в том случае, когда сила трения покоя достигнет своего максимального значения:
$F_{тр, max} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$
Условие равновесия для груза на шероховатой плоскости:
$F_{скат} = F_{у2} + F_{тр, max}$
Отсюда выразим новую удерживающую силу $F_{у2}$:
$F_{у2} = F_{скат} - F_{тр, max} = mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha)$
Подставим значения, которые мы уже вычислили:
$F_{у2} = 490 \text{ Н} - 0,1 \cdot (490\sqrt{3} \text{ Н}) \approx 490 \text{ Н} - 84,9 \text{ Н} = 405,1 \text{ Н}$
Таким образом, модуль удерживающей силы уменьшится.

Ответ: Модуль удерживающей силы уменьшится и станет равен примерно $405$ Н.

317. С каким ускорением скользит тело по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^\circ$ при коэффициенте трения $\mu = 0,2$?

Дано:

Угол наклона плоскости, $\alpha = 30^\circ$

Коэффициент трения, $\mu = 0,2$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Ускорение тела, $a$

Решение:

На тело, скользящее по наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$), направленная против движения (вверх по наклонной плоскости).

Выберем систему координат так, чтобы ось OX была направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY – перпендикулярно ей вверх.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$

Запишем проекции этого уравнения на выбранные оси координат.

Проекция на ось OY (перпендикулярно плоскости):

$0 = N - mg \cos(\alpha)$

Из этого уравнения выражаем силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось OX (вдоль плоскости):

$ma = mg \sin(\alpha) - F_{тр}$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения:

$F_{тр} = \mu N$

Подставим в эту формулу ранее найденное выражение для $N$:

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение для оси OX:

$ma = mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha)$

Масса тела ($m$) присутствует в каждом члене уравнения, поэтому ее можно сократить. Получаем формулу для ускорения:

$a = g (\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$a = 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (\sin(30^\circ) - 0,2 \cdot \cos(30^\circ))$

Так как $\sin(30^\circ) = 0,5$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$, то:

$a \approx 9,8 \cdot (0,5 - 0,2 \cdot 0,866) = 9,8 \cdot (0,5 - 0,1732) = 9,8 \cdot 0,3268 \approx 3,20 \, \text{м/с}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в значении коэффициента трения.

Ответ: $a \approx 3,2 \, \text{м/с}^2$.

318. Длина наклонной плоскости 4 м, угол наклона к горизонту 60°. За какое время соскользнёт с этой плоскости тело, если коэффициент трения равен 0,2?

Дано:

$l = 4$ м

$\alpha = 60^\circ$

$\mu = 0,2$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$t$ - ?

Решение:

На тело, соскальзывающее с наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$.

Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY – перпендикулярно ей вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$.

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат:

Проекция на ось OY: $N - mg \cos(\alpha) = 0$. Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры: $N = mg \cos(\alpha)$.

Проекция на ось OX: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma$.

Сила трения скольжения определяется формулой $F_{тр} = \mu N$. Подставим в это выражение найденную силу нормальной реакции опоры:

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение для оси OX:

$mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma$

Масса тела $m$ сокращается, и мы получаем формулу для ускорения:

$a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Подставим числовые значения:

$a = 9,8 \cdot (\sin(60^\circ) - 0,2 \cdot \cos(60^\circ)) = 9,8 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0,2 \cdot \frac{1}{2}) \approx 9,8 \cdot (0,866 - 0,1) = 9,8 \cdot 0,766 \approx 7,51$ м/с²

Поскольку тело начинает соскальзывать, его начальная скорость $v_0 = 0$. Движение является равноускоренным. Путь, пройденный телом, равен длине наклонной плоскости $l$. Используем формулу для пути при равноускоренном движении:

$l = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Так как $v_0 = 0$, формула упрощается до:

$l = \frac{at^2}{2}$

Из этой формулы выразим время $t$:

$t^2 = \frac{2l}{a} \implies t = \sqrt{\frac{2l}{a}}$

Подставим числовые значения и рассчитаем время:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 4}{7,51}} = \sqrt{\frac{8}{7,51}} \approx \sqrt{1,065} \approx 1,03$ с

Ответ: время соскальзывания тела с наклонной плоскости составляет приблизительно $1,03$ с.

319. Тело массой 1 т поднимают по настилу с углом наклона 30° с силой 7 кН. Коэффициент трения равен 0,1. Определите ускорение движения тела.

Дано:

m = 1 т

α = 30°

F = 7 кН

μ = 0,1

g ≈ 9,8 м/с²

m = 1 т = 1000 кг

F = 7 кН = 7000 Н

Найти:

a - ?

Решение:

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a} = \vec{F} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$, где $m\vec{a}$ — равнодействующая всех сил, $\vec{F}$ — сила тяги, $m\vec{g}$ — сила тяжести, $\vec{N}$ — сила нормальной реакции опоры, $\vec{F}_{тр}$ — сила трения.

Выберем систему координат, где ось OX направлена вверх вдоль наклонной плоскости, а ось OY — перпендикулярно ей. Спроецируем силы на эти оси.

Проекция на ось OY:

$N - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда находим силу реакции опоры:

$N = mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось OX:

$ma = F - mg \sin(\alpha) - F_{тр}$

Сила трения скольжения вычисляется по формуле $F_{тр} = \mu N$. Подставим в неё выражение для $N$:

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение проекции на ось OX:

$ma = F - mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha)$

Выразим ускорение $a$:

$a = \frac{F - mg(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))}{m}$

Подставим числовые значения в формулу. Значения синуса и косинуса для угла 30°: $\sin(30^\circ) = 0,5$; $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$.

$a = \frac{7000 \text{ Н} - 1000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (\sin(30^\circ) + 0,1 \cdot \cos(30^\circ))}{1000 \text{ кг}}$

$a \approx \frac{7000 - 9800 \cdot (0,5 + 0,1 \cdot 0,866)}{1000} = \frac{7000 - 9800 \cdot (0,5 + 0,0866)}{1000}$

$a \approx \frac{7000 - 9800 \cdot 0,5866}{1000} = \frac{7000 - 5748,68}{1000} = \frac{1251,32}{1000} \approx 1,25 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение движения тела примерно равно $1,25 \text{ м/с}^2$.

320. Два связанных нитью бруска массами $m_1 = 150 \text{ г}$ и $m_2 = 200 \text{ г}$ лежат на горизонтальной плоскости (рис. 67). К бруску массой $m_1$ приложена параллельно плоскости сила $F = 7 \text{ Н}$. Коэффициент трения $\mu = 0,1$. Найдите ускорение системы.

Рис. 67

Дано:

$m_1 = 150 \text{ г}$
$m_2 = 200 \text{ г}$
$F = 7 \text{ Н}$
$\mu = 0.1$

$m_1 = 150 \text{ г} = 0.15 \text{ кг}$
$m_2 = 200 \text{ г} = 0.20 \text{ кг}$

Найти:

$a$ — ?

Решение:

Поскольку бруски связаны нерастяжимой нитью, они движутся как единое целое с одинаковым ускорением $a$. Мы можем рассмотреть оба бруска как одну систему с общей массой $M = m_1 + m_2$.

Применим второй закон Ньютона к этой системе. В проекции на горизонтальную ось, направленную в сторону движения (вправо), уравнение будет выглядеть так:

$F - F_{тр.общ} = (m_1 + m_2)a$

Здесь $F$ — приложенная внешняя сила, а $F_{тр.общ}$ — суммарная сила трения скольжения, действующая на оба бруска.

Суммарная сила трения равна сумме сил трения, действующих на каждый брусок:

$F_{тр.общ} = F_{тр1} + F_{тр2}$

Сила трения скольжения для каждого бруска вычисляется по формуле $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции равна силе тяжести $mg$. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$N_1 = m_1 g$

$N_2 = m_2 g$

Тогда силы трения для каждого бруска:

$F_{тр1} = \mu m_1 g$

$F_{тр2} = \mu m_2 g$

Суммарная сила трения:

$F_{тр.общ} = \mu m_1 g + \mu m_2 g = \mu (m_1 + m_2) g$

Подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона:

$F - \mu (m_1 + m_2) g = (m_1 + m_2)a$

Из этого уравнения выразим искомое ускорение $a$:

$a = \frac{F - \mu (m_1 + m_2) g}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$a = \frac{7 \text{ Н} - 0.1 \cdot (0.15 \text{ кг} + 0.20 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.15 \text{ кг} + 0.20 \text{ кг}}$

$a = \frac{7 \text{ Н} - 0.1 \cdot 0.35 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.35 \text{ кг}}$

$a = \frac{7 \text{ Н} - 0.35 \text{ Н}}{0.35 \text{ кг}}$

$a = \frac{6.65 \text{ Н}}{0.35 \text{ кг}} = 19 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение системы равно $19 \text{ м/с}^2$.