Номер 317, страница 51 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Сила трения - номер 317, страница 51.

Условие.

317. С каким ускорением скользит тело по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^\circ$ при коэффициенте трения $\mu = 0,2$?

Решение.

Дано:

Угол наклона плоскости, $\alpha = 30^\circ$

Коэффициент трения, $\mu = 0,2$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Ускорение тела, $a$

Решение:

На тело, скользящее по наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$), направленная против движения (вверх по наклонной плоскости).

Выберем систему координат так, чтобы ось OX была направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY – перпендикулярно ей вверх.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$

Запишем проекции этого уравнения на выбранные оси координат.

Проекция на ось OY (перпендикулярно плоскости):

$0 = N - mg \cos(\alpha)$

Из этого уравнения выражаем силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось OX (вдоль плоскости):

$ma = mg \sin(\alpha) - F_{тр}$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения:

$F_{тр} = \mu N$

Подставим в эту формулу ранее найденное выражение для $N$:

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение для оси OX:

$ma = mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha)$

Масса тела ($m$) присутствует в каждом члене уравнения, поэтому ее можно сократить. Получаем формулу для ускорения:

$a = g (\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$a = 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (\sin(30^\circ) - 0,2 \cdot \cos(30^\circ))$

Так как $\sin(30^\circ) = 0,5$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$, то:

$a \approx 9,8 \cdot (0,5 - 0,2 \cdot 0,866) = 9,8 \cdot (0,5 - 0,1732) = 9,8 \cdot 0,3268 \approx 3,20 \, \text{м/с}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в значении коэффициента трения.

Ответ: $a \approx 3,2 \, \text{м/с}^2$.