Номер 314, страница 51 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Сила трения. Законы движения и взаимодействия тел - номер 314, страница 51.

314. Какие сани скатятся с наклонной плоскости быстрее — с грузом или без груза? Почему?

Для ответа на этот вопрос проанализируем движение саней по наклонной плоскости с точки зрения динамики.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на сани массой $m$, которые скатываются с наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$.

1. Сила тяжести $F_{т} = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно поверхности, вверх.
3. Сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная вдоль поверхности против движения.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a} = \vec{F_{т}} + \vec{N} + \vec{F_{тр}}$.

Выберем систему координат так, чтобы ось $Ox$ была направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. Спроецируем силы на эти оси:

Проекция на ось $Ox$: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma$

Проекция на ось $Oy$: $N - mg \cos(\alpha) = 0$, откуда $N = mg \cos(\alpha)$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения $\mu$: $F_{тр} = \mu N$. Подставив выражение для $N$, получим:

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$

Теперь подставим это выражение для силы трения в уравнение для оси $Ox$:

$mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma$

В этом уравнении масса $m$ является общим множителем для всех его членов, поэтому ее можно сократить:

$g \sin(\alpha) - \mu g \cos(\alpha) = a$

Таким образом, ускорение саней равно:

$a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Из полученной формулы видно, что ускорение саней на наклонной плоскости зависит только от ускорения свободного падения $g$, угла наклона плоскости $\alpha$ и коэффициента трения $\mu$. Ускорение не зависит от массы саней.

Это означает, что в рамках идеальной физической модели (где коэффициент трения не зависит от давления, а сопротивление воздуха пренебрежимо мало) сани с грузом и сани без груза будут скатываться с одинаковым ускорением. Следовательно, они достигнут подножия склона одновременно.

Однако в реальных условиях сани с грузом, скорее всего, скатятся быстрее. Это может быть связано с двумя основными причинами:

1. Сопротивление воздуха. Сила сопротивления воздуха зависит от скорости и формы тела, но не от его массы. При одинаковой силе сопротивления ее тормозящий эффект (отрицательное ускорение $F_{возд}/m$) будет меньше для более массивного тела.
2. Зависимость трения. При движении по снегу или льду трение уменьшается при увеличении давления, так как под полозьями образуется тонкий слой воды, работающий как смазка. Сани с грузом оказывают большее давление, что может привести к уменьшению коэффициента трения и, соответственно, к увеличению ускорения.

Ответ:

Теоретически, если пренебречь сопротивлением воздуха и считать коэффициент трения постоянным, сани с грузом и без груза скатятся с наклонной плоскости одновременно, так как их ускорение не зависит от массы. В реальных условиях нагруженные сани, вероятнее всего, скатятся быстрее из-за меньшего относительного влияния сопротивления воздуха и возможного уменьшения коэффициента трения при большем давлении на снег.