Страница 56 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

341. Материальная точка равномерно вращается по окружности. Укажите направления вектора скорости и центростремительного ускорения этой точки в положениях A, B, C, D (рис. 76).

Рис. 76

Решение

При равномерном движении материальной точки по окружности вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ всегда направлен по касательной к траектории в данной точке и в сторону движения. Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_{цс}$ всегда направлен к центру окружности, по которой движется точка.

На рисунке стрелкой показано, что вращение происходит против часовой стрелки.

В положении A

Точка находится в нижней части окружности. Вектор скорости $\vec{v}_A$ направлен по касательной в сторону движения, то есть горизонтально вправо. Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_A$ направлен к центру окружности, то есть вертикально вверх.

Ответ: вектор скорости направлен горизонтально вправо, а вектор центростремительного ускорения — вертикально вверх.

В положении B

Точка находится в левой части окружности. Вектор скорости $\vec{v}_B$ направлен по касательной в сторону движения, то есть вертикально вверх. Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_B$ направлен к центру окружности, то есть горизонтально вправо.

Ответ: вектор скорости направлен вертикально вверх, а вектор центростремительного ускорения — горизонтально вправо.

В положении C

Точка находится в верхней части окружности. Вектор скорости $\vec{v}_C$ направлен по касательной в сторону движения, то есть горизонтально влево. Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_C$ направлен к центру окружности, то есть вертикально вниз.

Ответ: вектор скорости направлен горизонтально влево, а вектор центростремительного ускорения — вертикально вниз.

В положении D

Точка находится в правой части окружности. Вектор скорости $\vec{v}_D$ направлен по касательной в сторону движения, то есть вертикально вниз. Вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_D$ направлен к центру окружности, то есть горизонтально влево.

Ответ: вектор скорости направлен вертикально вниз, а вектор центростремительного ускорения — горизонтально влево.

342. Велосипедист делает восьмёрку (рис. 77). Как изменяется ускорение во время этого движения?

Рис. 77

Решение

Полное ускорение тела, движущегося по криволинейной траектории, является векторной суммой двух компонент: тангенциального (касательного) ускорения $\vec{a}_{\tau}$ и нормального (центростремительного) ускорения $\vec{a}_{n}$.

Тангенциальное ускорение $\vec{a}_{\tau}$ отвечает за изменение величины (модуля) скорости и направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение $\vec{a}_{n}$ отвечает за изменение направления скорости и направлено перпендикулярно вектору скорости к центру кривизны траектории. Модуль нормального ускорения определяется формулой: $a_n = \frac{v^2}{R}$, где $v$ – это скорость тела, а $R$ – радиус кривизны траектории в данной точке.

Для анализа движения велосипедиста предположим, что он движется с постоянной по модулю скоростью ($v = const$). В этом случае тангенциальное ускорение равно нулю ($a_{\tau} = 0$), и полное ускорение совпадает с нормальным ($\vec{a} = \vec{a}_{n}$). Таким образом, нам нужно проанализировать, как меняется нормальное ускорение.

1. Изменение модуля ускорения.

Модуль ускорения равен $a = a_n = \frac{v^2}{R}$.
- На криволинейных участках траектории (дуги A-B-C и M-K) радиус кривизны $R$ имеет конечное значение, поэтому модуль ускорения отличен от нуля. Если дуги являются частями окружностей, то на этих участках $R$ постоянен, и модуль ускорения также постоянен.
- В точке O, где траектория пересекает саму себя, происходит перегиб кривой. В этой точке траектория на мгновение становится прямой, а радиус кривизны стремится к бесконечности ($R \rightarrow \infty$). Следовательно, в точке O модуль ускорения становится равным нулю: $a = \frac{v^2}{\infty} = 0$.
Таким образом, модуль ускорения велосипедиста непрерывно изменяется, достигая максимальных значений на дугах и падая до нуля в центре "восьмёрки".

2. Изменение направления ускорения.

Вектор ускорения всегда направлен к центру кривизны траектории.
- При движении по верхней петле (например, от A к C) вектор ускорения направлен к центру этой петли. По мере движения велосипедиста по дуге, вектор ускорения поворачивается.
- Аналогично, при движении по нижней петле (например, от M к K) вектор ускорения направлен к центру нижней петли и также поворачивается.
- В момент прохождения точки O происходит резкое изменение. Когда велосипедист подъезжает к точке O со стороны точки C, его ускорение направлено к центру верхней петли. Сразу после прохождения точки O, двигаясь к точке M, его ускорение уже направлено к центру нижней петли. Таким образом, в точке O направление вектора ускорения скачкообразно меняется на противоположное.

Ответ:

При движении велосипедиста по траектории в виде "восьмёрки" его ускорение постоянно изменяется как по модулю, так и по направлению.
- Модуль ускорения периодически изменяется от некоторого значения на дугах до нуля в центральной точке пересечения.
- Направление ускорения непрерывно поворачивается во время движения по петлям и скачкообразно меняется на противоположное в точке пересечения траектории.

343. Все ли точки окружности катящегося колеса имеют одинаковые скорости относительно земли?

Решение

Нет, не все точки окружности катящегося колеса имеют одинаковые скорости относительно земли. Движение катящегося колеса можно рассматривать как сложное, состоящее из двух простых движений: поступательного движения со скоростью центра масс $\vec{v}_{ц}$ и вращательного движения вокруг центра масс с угловой скоростью $\omega$.

Скорость любой точки на ободе колеса относительно земли ($\vec{v}$) является векторной суммой скорости центра масс ($\vec{v}_{ц}$) и линейной скорости точки во вращательном движении ($\vec{v}_{вр}$):

$\vec{v} = \vec{v}_{ц} + \vec{v}_{вр}$

Модуль скорости центра масс $v_{ц}$ одинаков для всех точек. Для качения без проскальзывания он связан с угловой скоростью как $v_{ц} = \omega R$, где $R$ – радиус колеса. Модуль линейной скорости вращения для точек на ободе также постоянен и равен $v_{вр} = \omega R = v_{ц}$. Однако направление вектора $\vec{v}_{вр}$ постоянно меняется, так как он всегда направлен по касательной к окружности в данной точке.

Рассмотрим скорости в нескольких характерных точках:

1. Верхняя точка обода. Вектор скорости центра $\vec{v}_{ц}$ и вектор вращательной скорости $\vec{v}_{вр}$ направлены в одну сторону (в сторону движения). Поэтому их модули складываются, и скорость этой точки максимальна:$v_{верх} = v_{ц} + v_{вр} = v_{ц} + v_{ц} = 2v_{ц}$.

2. Нижняя точка обода (точка касания с землей). Вектор $\vec{v}_{ц}$ направлен вперед, а вектор $\vec{v}_{вр}$ — назад. Так как их модули равны, результирующая скорость этой точки равна нулю:$v_{низ} = v_{ц} - v_{вр} = v_{ц} - v_{ц} = 0$.Точка касания мгновенно неподвижна относительно земли.

3. Точки на горизонтальном диаметре. Для точки на передней части колеса вектор $\vec{v}_{ц}$ направлен горизонтально, а $\vec{v}_{вр}$ — вертикально вниз. Векторы перпендикулярны. Модуль скорости находится по теореме Пифагора:$v_{бок} = \sqrt{v_{ц}^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{v_{ц}^2 + v_{ц}^2} = v_{ц}\sqrt{2}$.Направление скорости — под углом 45° вниз к горизонту.

Таким образом, скорости разных точек окружности колеса различны и по модулю (от 0 до $2v_{ц}$), и по направлению.

Ответ: Нет, скорости разных точек окружности катящегося колеса относительно земли различны как по модулю, так и по направлению.

344. Может ли направление вектора скорости изменяться, в то время как его ускорение по модулю остаётся постоянным?

Да, такое возможно. Изменение направления вектора скорости $\vec{v}$ означает, что тело движется по криволинейной траектории. Для того чтобы вектор скорости изменял своё направление, необходимо наличие ускорения, или, по крайней мере, составляющей ускорения, перпендикулярной вектору скорости. Эта составляющая называется нормальным или центростремительным ускорением.

Существуют движения, при которых направление вектора скорости изменяется, а модуль ускорения остаётся постоянным. Рассмотрим два классических примера.

Первый пример — равномерное движение тела по окружности. При таком движении модуль скорости $v$ тела остаётся постоянным, однако направление вектора скорости $\vec{v}$ непрерывно изменяется, так как он всегда направлен по касательной к окружности. Ускорение $\vec{a}$ в этом случае является центростремительным. Оно всегда направлено к центру окружности, и его модуль постоянен и равен $a = \frac{v^2}{R}$, где $v$ — постоянная скорость, а $R$ — радиус окружности. Таким образом, направление скорости изменяется, а модуль ускорения — нет.

Второй пример — движение тела, брошенного под углом к горизонту (в идеальных условиях, без учёта сопротивления воздуха). Такое тело движется под действием постоянной силы тяжести, поэтому его ускорение — это ускорение свободного падения $\vec{g}$. Вектор $\vec{g}$ постоянен как по направлению (вертикально вниз), так и по модулю ($|\vec{a}| = g \approx 9,8 \, м/с^2$). При этом траектория движения является параболой, и направление вектора скорости $\vec{v}$ непрерывно меняется в каждой точке траектории. Это ещё один пример движения, где направление скорости меняется при постоянном по модулю (и даже по направлению) ускорении.

Ответ: Да, может. Примерами такого движения являются равномерное движение по окружности и движение тела, брошенного под углом к горизонту в поле силы тяжести.

345. Во сколько раз угловая скорость вращения часовой стрелки больше скорости суточного вращения Земли?

Дано:

$T_{ч}$ = 12 ч (период полного оборота часовой стрелки)
$T_{З}$ = 24 ч (период суточного вращения Земли)

Найти:

$\frac{ω_{ч}}{ω_{З}}$ — ?

Решение:

Угловая скорость $ω$ определяется как отношение угла поворота $Δφ$ ко времени $Δt$, за которое этот поворот произошел. Для полного оборота ($Δφ = 2π$ радиан) время равно периоду вращения $T$. Таким образом, формула для угловой скорости:

$ω = \frac{2π}{T}$

Найдем угловую скорость часовой стрелки. Она совершает полный оборот за 12 часов:

$ω_{ч} = \frac{2π}{T_{ч}} = \frac{2π}{12 \text{ ч}}$

Найдем угловую скорость суточного вращения Земли. Земля совершает полный оборот вокруг своей оси за 24 часа:

$ω_{З} = \frac{2π}{T_{З}} = \frac{2π}{24 \text{ ч}}$

Чтобы определить, во сколько раз угловая скорость часовой стрелки больше угловой скорости Земли, найдем их отношение:

$\frac{ω_{ч}}{ω_{З}} = \frac{\frac{2π}{T_{ч}}}{\frac{2π}{T_{З}}} = \frac{2π}{T_{ч}} \cdot \frac{T_{З}}{2π} = \frac{T_{З}}{T_{ч}}$

Подставим числовые значения периодов:

$\frac{ω_{ч}}{ω_{З}} = \frac{24 \text{ ч}}{12 \text{ ч}} = 2$

Ответ: Угловая скорость вращения часовой стрелки в 2 раза больше скорости суточного вращения Земли.

346. У каких часов линейная скорость вращения конца минутной стрелки больше — у карманных или у больших, настенных?

Дано:

$T_{к}$ — период обращения минутной стрелки карманных часов
$T_{н}$ — период обращения минутной стрелки настенных часов
$r_{к}$ — длина (радиус) минутной стрелки карманных часов
$r_{н}$ — длина (радиус) минутной стрелки настенных часов
$T_{к} = T_{н} = T$
$r_{н} > r_{к}$

$T = 1 \text{ час} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Сравнить линейные скорости конца минутной стрелки $v_{к}$ и $v_{н}$.

Решение:

Линейная скорость $v$ точки, движущейся по окружности радиуса $r$, связана с угловой скоростью $ω$ формулой: $v = ωr$

Угловая скорость $ω$ показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Она связана с периодом обращения $T$ (временем одного полного оборота) следующим образом: $ω = \frac{2π}{T}$

Минутная стрелка на любых часах, будь то карманные или большие настенные, совершает один полный оборот ровно за 1 час (3600 секунд). Это означает, что период их обращения одинаков: $T_{к} = T_{н} = 3600 \text{ с}$

Поскольку периоды обращения равны, то и угловые скорости вращения минутных стрелок у обоих видов часов также будут равны: $ω_{к} = ω_{н} = ω$

Теперь мы можем сравнить линейные скорости концов стрелок. Для карманных часов: $v_{к} = ω \cdot r_{к}$
Для настенных часов: $v_{н} = ω \cdot r_{н}$

По условию, настенные часы — большие, а карманные — маленькие. Следовательно, длина минутной стрелки у настенных часов больше, чем у карманных: $r_{н} > r_{к}$.

Так как угловые скорости $ω$ равны, а линейная скорость $v$ прямо пропорциональна радиусу $r$, то линейная скорость конца стрелки будет больше у тех часов, у которых стрелка длиннее. Отсюда следует, что $v_{н} > v_{к}$.

Ответ: Линейная скорость вращения конца минутной стрелки больше у больших настенных часов, так как при одинаковой угловой скорости она прямо пропорциональна длине стрелки.

347. Объясните, нет ли противоречия в выражении: «При равномерном движении тела по окружности всегда существует ускорение». Может ли быть ускорение при равномерном движении?

Решение

Противоречия в выражении «При равномерном движении тела по окружности всегда существует ускорение» нет. Разберем этот вопрос подробно.

1. В физике скорость является векторной величиной, то есть она имеет как модуль (численное значение), так и направление. Ускорение — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости. Ускорение возникает, если изменяется либо модуль скорости, либо ее направление, либо и то и другое.

2. Термин «равномерное движение по окружности» означает, что модуль скорости тела остается постоянным ($v = const$). Однако, поскольку траектория движения — окружность, направление вектора скорости непрерывно изменяется. В каждой точке окружности вектор скорости направлен по касательной к ней.

3. Так как направление вектора скорости постоянно меняется, это означает, что сам вектор скорости изменяется. А любое изменение вектора скорости со временем, по определению, является ускорением ($ \vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} $). При равномерном движении по окружности это ускорение называется центростремительным (или нормальным). Оно всегда направлено к центру окружности и отвечает за изменение направления скорости, не меняя ее модуля. Модуль центростремительного ускорения определяется формулой: $ a_ц = \frac{v^2}{R} $, где $v$ — модуль скорости, а $R$ — радиус окружности. Поскольку $v > 0$ и $R > 0$, то $a_ц > 0$.

Таким образом, отвечая на вторую часть вопроса: да, ускорение при равномерном движении может быть. Это происходит всегда, когда равномерное движение (то есть движение с постоянной по модулю скоростью) является криволинейным. Ускорение отсутствует только в случае равномерного прямолинейного движения, когда и модуль, и направление скорости остаются неизменными.

Ответ: Противоречия в выражении нет. При равномерном движении по окружности скорость тела постоянна по модулю, но непрерывно изменяется по направлению. Так как скорость — это вектор, ее изменение (даже только по направлению) означает наличие ускорения. Это ускорение называется центростремительным. Ускорение может существовать при равномерном движении, если траектория движения криволинейна.

348. Ракета-носитель вращается на меньшей высоте над поверхностью Земли, чем запущенный ею спутник. У какого из этих тел скорость движения больше? Почему под влиянием сопротивления воздуха спутник приближается к Земле? Ответ обоснуйте.

У какого из этих тел скорость движения больше?

Движение тела (ракеты-носителя или спутника) по круговой орбите вокруг Земли происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает телу центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, можно приравнять силу тяготения и центростремительную силу:
$F_{тяг} = F_{ц}$
$G \frac{M \cdot m}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r}$
где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $m$ – масса обращающегося тела, $v$ – его орбитальная скорость, а $r$ – радиус орбиты (расстояние от центра Земли).
Из этого равенства выразим скорость $v$:
$v^2 = G \frac{M}{r}$
$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$
Эта формула показывает, что орбитальная скорость тела обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса его орбиты. То есть, чем меньше радиус орбиты (чем ближе тело к Земле), тем больше должна быть его скорость, чтобы оставаться на этой орбите.
По условию задачи ракета-носитель вращается на меньшей высоте, чем спутник. Это означает, что радиус орбиты ракеты-носителя ($r_{ракеты}$) меньше радиуса орбиты спутника ($r_{спутника}$). Следовательно, скорость ракеты-носителя будет больше скорости спутника.

Ответ: Скорость движения больше у ракеты-носителя. Это связано с тем, что она находится на более низкой орбите, а для удержания на орбите с меньшим радиусом требуется большая скорость.

Почему под влиянием сопротивления воздуха спутник приближается к Земле?

Даже в верхних, очень разреженных слоях атмосферы существует сопротивление воздуха, которое оказывает тормозящее действие на спутник. Сила сопротивления направлена против вектора скорости спутника и совершает отрицательную работу. Эта работа приводит к уменьшению полной механической энергии спутника $E$.
Полная механическая энергия тела на круговой орбите складывается из его кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий:
$E = E_k + E_p = \frac{m v^2}{2} - G \frac{M m}{r}$
Используя выведенное ранее соотношение $v^2 = G \frac{M}{r}$, можно выразить полную энергию через радиус орбиты:
$E = \frac{m}{2} \left( G \frac{M}{r} \right) - G \frac{M m}{r} = \frac{G M m}{2r} - \frac{G M m}{r} = - \frac{G M m}{2r}$
Когда сила сопротивления воздуха совершает отрицательную работу, полная энергия $E$ спутника уменьшается (становится более отрицательной). Из формулы $E = - \frac{G M m}{2r}$ видно, что уменьшение энергии $E$ возможно только при уменьшении радиуса орбиты $r$.
Таким образом, теряя энергию из-за трения об атмосферу, спутник переходит на более низкие орбиты, то есть приближается к Земле. Этот процесс продолжается по спирали, пока спутник не войдет в плотные слои атмосферы и не сгорит.

Ответ: Под влиянием сопротивления воздуха спутник теряет свою полную механическую энергию. Состояние с меньшей полной энергией соответствует орбите с меньшим радиусом, поэтому спутник начинает двигаться по спирали, приближаясь к Земле.

349. Рассчитайте центростремительное ускорение, с которым по закруглению радиусом 250 м движется поезд со скоростью 36 км/ч.

Дано:

Радиус закругления $R = 250 \text{ м}$

Скорость поезда $v = 36 \text{ км/ч}$

Перевод в систему СИ:

Скорость поезда необходимо перевести из км/ч в м/с. Для этого умножим значение на 1000 (чтобы перевести километры в метры) и разделим на 3600 (чтобы перевести часы в секунды).

$v = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{36000}{3600} \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

Центростремительное ускорение $a_ц$

Решение:

Центростремительное ускорение — это ускорение, с которым тело движется по криволинейной траектории. Оно всегда направлено к центру кривизны траектории и вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

где $v$ — это линейная скорость движения тела, а $R$ — радиус закругления траектории.

Подставим в формулу значения скорости в м/с и радиуса в м:

$a_ц = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{250 \text{ м}}$

$a_ц = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{250 \text{ м}}$

$a_ц = 0.4 \text{ м/с}^2$

Ответ: центростремительное ускорение поезда равно $0.4 \text{ м/с}^2$.

350. Найдите период и частоту обращения минутной стрелки.

Дано:

Минутная стрелка часов.

Время одного полного оборота $t_{об} = 60$ мин.

Перевод в систему СИ:

$t_{об} = 60 \text{ мин} = 60 \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$

Найти:

$T$ — период обращения.

$\nu$ — частота обращения.

Решение:

Период обращения

Период обращения ($T$) — это время, за которое тело совершает один полный оборот. Для минутной стрелки часов это время составляет 60 минут, так как за это время она проходит полный круг по циферблату. Выразим период в основных единицах системы СИ (секундах).

$T = 60 \text{ мин} = 3600 \text{ с}$

Частота обращения

Частота обращения ($\nu$) — это число оборотов, совершаемых за единицу времени. Она является величиной, обратной периоду обращения:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим найденное значение периода в эту формулу, чтобы найти частоту в герцах (Гц):

$\nu = \frac{1}{3600 \text{ с}} = \frac{1}{3600} \text{ Гц}$

При необходимости это значение можно представить в виде десятичной дроби: $\nu \approx 0.000278 \text{ Гц}$, или в стандартном виде: $\nu \approx 2.78 \cdot 10^{-4} \text{ Гц}$.

Ответ: период обращения $T = 3600$ с; частота обращения $\nu = \frac{1}{3600}$ Гц.

351. Радиус колеса велосипеда равен 30 см. Определите линейную скорость вращения точек обода колеса, если колесо делает 100 оборотов в минуту.

Дано:

Радиус колеса, $R = 30$ см

Частота вращения, $n = 100$ об/мин

Перевод в систему СИ:

$R = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

$n = 100 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{100 \text{ об}}{60 \text{ с}} = \frac{5}{3} \frac{\text{об}}{\text{с}} \approx 1.67 \text{ Гц}$

Найти:

Линейную скорость, $v$ - ?

Решение:

Линейная скорость точек на ободе колеса связана с угловой скоростью и радиусом колеса соотношением:

$v = \omega R$

где $v$ - линейная скорость, $\omega$ - угловая скорость, $R$ - радиус.

Угловая скорость, в свою очередь, связана с частотой вращения $n$ (количество оборотов в секунду) следующей формулой:

$\omega = 2\pi n$

Объединим эти две формулы, чтобы выразить линейную скорость через известные нам величины:

$v = 2\pi n R$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ в полученную формулу:

$v = 2 \cdot \pi \cdot \frac{5}{3} \frac{\text{об}}{\text{с}} \cdot 0.3 \text{ м} = 2 \cdot \pi \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{10} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 3}{3 \cdot 10} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \pi \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3.14$:

$v \approx 3.14 \text{ м/с}$

Ответ: Линейная скорость вращения точек обода колеса равна $\pi$ м/с, что приблизительно составляет 3.14 м/с.