Номер 343, страница 56 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Прямолинейное и криволинейное движение. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Законы движения и взаимодействия тел - номер 343, страница 56.

343. Все ли точки окружности катящегося колеса имеют одинаковые скорости относительно земли?

Решение

Нет, не все точки окружности катящегося колеса имеют одинаковые скорости относительно земли. Движение катящегося колеса можно рассматривать как сложное, состоящее из двух простых движений: поступательного движения со скоростью центра масс $\vec{v}_{ц}$ и вращательного движения вокруг центра масс с угловой скоростью $\omega$.

Скорость любой точки на ободе колеса относительно земли ($\vec{v}$) является векторной суммой скорости центра масс ($\vec{v}_{ц}$) и линейной скорости точки во вращательном движении ($\vec{v}_{вр}$):

$\vec{v} = \vec{v}_{ц} + \vec{v}_{вр}$

Модуль скорости центра масс $v_{ц}$ одинаков для всех точек. Для качения без проскальзывания он связан с угловой скоростью как $v_{ц} = \omega R$, где $R$ – радиус колеса. Модуль линейной скорости вращения для точек на ободе также постоянен и равен $v_{вр} = \omega R = v_{ц}$. Однако направление вектора $\vec{v}_{вр}$ постоянно меняется, так как он всегда направлен по касательной к окружности в данной точке.

Рассмотрим скорости в нескольких характерных точках:

1. Верхняя точка обода. Вектор скорости центра $\vec{v}_{ц}$ и вектор вращательной скорости $\vec{v}_{вр}$ направлены в одну сторону (в сторону движения). Поэтому их модули складываются, и скорость этой точки максимальна:$v_{верх} = v_{ц} + v_{вр} = v_{ц} + v_{ц} = 2v_{ц}$.

2. Нижняя точка обода (точка касания с землей). Вектор $\vec{v}_{ц}$ направлен вперед, а вектор $\vec{v}_{вр}$ — назад. Так как их модули равны, результирующая скорость этой точки равна нулю:$v_{низ} = v_{ц} - v_{вр} = v_{ц} - v_{ц} = 0$.Точка касания мгновенно неподвижна относительно земли.

3. Точки на горизонтальном диаметре. Для точки на передней части колеса вектор $\vec{v}_{ц}$ направлен горизонтально, а $\vec{v}_{вр}$ — вертикально вниз. Векторы перпендикулярны. Модуль скорости находится по теореме Пифагора:$v_{бок} = \sqrt{v_{ц}^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{v_{ц}^2 + v_{ц}^2} = v_{ц}\sqrt{2}$.Направление скорости — под углом 45° вниз к горизонту.

Таким образом, скорости разных точек окружности колеса различны и по модулю (от 0 до $2v_{ц}$), и по направлению.

Ответ: Нет, скорости разных точек окружности катящегося колеса относительно земли различны как по модулю, так и по направлению.