Номер 338, страница 55 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Сила трения - номер 338, страница 55.

Условие.

► 338. Брусок начинает скользить по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$. Докажите, что ускорение бруска определяется по формуле $a = (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)g$, где $\mu$ — коэффициент трения.

Решение.

Дано:

Брусок на наклонной плоскости.

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Коэффициент трения: $\mu$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Доказать, что ускорение бруска $a$ определяется формулой $a = (\sin \alpha - \mu\cos \alpha)g$.

Решение:

На брусок, скользящий по наклонной плоскости, действуют три силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости вверх.

3. Сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная против движения, то есть вверх вдоль наклонной плоскости.

Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз (в направлении ускорения бруска), а ось $Oy$ — перпендикулярно наклонной плоскости вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат.

Проекция на ось $Oy$:

Брусок не движется перпендикулярно наклонной плоскости, поэтому проекция ускорения на ось $Oy$ равна нулю ($a_y = 0$). Проекции сил на эту ось: $N_y = N$, $F_{тр,y} = 0$, $ (m\vec{g})_y = -mg \cos \alpha$.

Таким образом, уравнение для оси $Oy$ имеет вид:

$0 = N - mg \cos \alpha$

Отсюда выражаем силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos \alpha$

Проекция на ось $Ox$:

Ускорение бруска направлено вдоль оси $Ox$, поэтому $a_x = a$. Проекции сил на эту ось: $N_x = 0$, $F_{тр,x} = -F_{тр}$, $ (m\vec{g})_x = mg \sin \alpha$.

Уравнение для оси $Ox$ имеет вид:

$ma = mg \sin \alpha - F_{тр}$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения $\mu$:

$F_{тр} = \mu N$

Подставим в эту формулу выражение для $N$, полученное из уравнения для оси $Oy$:

$F_{тр} = \mu mg \cos \alpha$

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение для оси $Ox$:

$ma = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha$

Масса бруска $m$ присутствует в каждом члене уравнения, поэтому мы можем сократить на нее:

$a = g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha$

Вынесем ускорение свободного падения $g$ за скобки, чтобы получить итоговую формулу:

$a = (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)g$

Это и есть формула, которую требовалось доказать.

Ответ:

Формула $a = (\sin \alpha - \mu\cos \alpha)g$ доказана на основе второго закона Ньютона.