Номер 339, страница 55 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Сила трения - номер 339, страница 55.

Условие.

► 339. Наибольшая скорость прохождения поворотов зависит от радиуса поворота R и коэффициента трения скольжения $\mu$. Докажите, что $v^2 = \mu Rg$.

Решение.

Решение

Рассмотрим тело (например, автомобиль) массой $m$, которое движется по горизонтальной дороге, совершая поворот по дуге окружности радиусом $R$ с постоянной по модулю скоростью $v$. На тело действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх; и сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально к центру окружности поворота.

Согласно второму закону Ньютона, для того чтобы тело двигалось по окружности, на него должна действовать центростремительная сила, которая сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$. В данном случае роль центростремительной силы выполняет сила трения покоя $F_{тр}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX — горизонтально к центру окружности.

В проекции на вертикальную ось OY сумма сил равна нулю, так как в этом направлении нет ускорения:

$N - mg = 0$

Отсюда следует, что сила нормальной реакции опоры равна по модулю силе тяжести:

$N = mg$

В проекции на горизонтальную ось OX, направленную к центру окружности, на тело действует только сила трения. Эта сила и является центростремительной силой:

$F_{тр} = ma_c$

Подставляя выражение для центростремительного ускорения $a_c = \frac{v^2}{R}$, получаем:

$F_{тр} = m \frac{v^2}{R}$

Наибольшая возможная скорость $v$ на повороте достигается тогда, когда необходимая для удержания на траектории центростремительная сила становится равной максимальной силе трения покоя. Максимальная сила трения покоя, согласно закону Амонтона-Кулона, равна $F_{тр, max} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения скольжения. Подставив сюда выражение для силы нормальной реакции $N = mg$, получим:

$F_{тр, max} = \mu mg$

Приравнивая центростремительную силу при максимальной скорости к максимальной силе трения, имеем:

$m \frac{v^2}{R} = \mu mg$

Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, получим:

$\frac{v^2}{R} = \mu g$

И, наконец, умножив обе части на $R$, получим искомую формулу:

$v^2 = \mu Rg$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Было доказано, что при движении тела по повороту радиусом $R$ на горизонтальной поверхности с коэффициентом трения $\mu$, квадрат максимальной скорости определяется соотношением $v^2 = \mu Rg$. Это следует из второго закона Ньютона, где роль центростремительной силы выполняет максимальная сила трения покоя.