Номер 342, страница 56 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Прямолинейное и криволинейное движение. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Законы движения и взаимодействия тел - номер 342, страница 56.

342. Велосипедист делает восьмёрку (рис. 77). Как изменяется ускорение во время этого движения?

Рис. 77

Решение

Полное ускорение тела, движущегося по криволинейной траектории, является векторной суммой двух компонент: тангенциального (касательного) ускорения $\vec{a}_{\tau}$ и нормального (центростремительного) ускорения $\vec{a}_{n}$.

Тангенциальное ускорение $\vec{a}_{\tau}$ отвечает за изменение величины (модуля) скорости и направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение $\vec{a}_{n}$ отвечает за изменение направления скорости и направлено перпендикулярно вектору скорости к центру кривизны траектории. Модуль нормального ускорения определяется формулой: $a_n = \frac{v^2}{R}$, где $v$ – это скорость тела, а $R$ – радиус кривизны траектории в данной точке.

Для анализа движения велосипедиста предположим, что он движется с постоянной по модулю скоростью ($v = const$). В этом случае тангенциальное ускорение равно нулю ($a_{\tau} = 0$), и полное ускорение совпадает с нормальным ($\vec{a} = \vec{a}_{n}$). Таким образом, нам нужно проанализировать, как меняется нормальное ускорение.

1. Изменение модуля ускорения.

Модуль ускорения равен $a = a_n = \frac{v^2}{R}$.
- На криволинейных участках траектории (дуги A-B-C и M-K) радиус кривизны $R$ имеет конечное значение, поэтому модуль ускорения отличен от нуля. Если дуги являются частями окружностей, то на этих участках $R$ постоянен, и модуль ускорения также постоянен.
- В точке O, где траектория пересекает саму себя, происходит перегиб кривой. В этой точке траектория на мгновение становится прямой, а радиус кривизны стремится к бесконечности ($R \rightarrow \infty$). Следовательно, в точке O модуль ускорения становится равным нулю: $a = \frac{v^2}{\infty} = 0$.
Таким образом, модуль ускорения велосипедиста непрерывно изменяется, достигая максимальных значений на дугах и падая до нуля в центре "восьмёрки".

2. Изменение направления ускорения.

Вектор ускорения всегда направлен к центру кривизны траектории.
- При движении по верхней петле (например, от A к C) вектор ускорения направлен к центру этой петли. По мере движения велосипедиста по дуге, вектор ускорения поворачивается.
- Аналогично, при движении по нижней петле (например, от M к K) вектор ускорения направлен к центру нижней петли и также поворачивается.
- В момент прохождения точки O происходит резкое изменение. Когда велосипедист подъезжает к точке O со стороны точки C, его ускорение направлено к центру верхней петли. Сразу после прохождения точки O, двигаясь к точке M, его ускорение уже направлено к центру нижней петли. Таким образом, в точке O направление вектора ускорения скачкообразно меняется на противоположное.

Ответ:

При движении велосипедиста по траектории в виде "восьмёрки" его ускорение постоянно изменяется как по модулю, так и по направлению.
- Модуль ускорения периодически изменяется от некоторого значения на дугах до нуля в центральной точке пересечения.
- Направление ускорения непрерывно поворачивается во время движения по петлям и скачкообразно меняется на противоположное в точке пересечения траектории.