Номер 348, страница 56 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Прямолинейное и криволинейное движение. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью - номер 348, страница 56.

Условие.

348. Ракета-носитель вращается на меньшей высоте над поверхностью Земли, чем запущенный ею спутник. У какого из этих тел скорость движения больше? Почему под влиянием сопротивления воздуха спутник приближается к Земле? Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение

У какого из этих тел скорость движения больше?

Движение тела (ракеты-носителя или спутника) по круговой орбите вокруг Земли происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает телу центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, можно приравнять силу тяготения и центростремительную силу:
$F_{тяг} = F_{ц}$
$G \frac{M \cdot m}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r}$
где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $m$ – масса обращающегося тела, $v$ – его орбитальная скорость, а $r$ – радиус орбиты (расстояние от центра Земли).
Из этого равенства выразим скорость $v$:
$v^2 = G \frac{M}{r}$
$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$
Эта формула показывает, что орбитальная скорость тела обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса его орбиты. То есть, чем меньше радиус орбиты (чем ближе тело к Земле), тем больше должна быть его скорость, чтобы оставаться на этой орбите.
По условию задачи ракета-носитель вращается на меньшей высоте, чем спутник. Это означает, что радиус орбиты ракеты-носителя ($r_{ракеты}$) меньше радиуса орбиты спутника ($r_{спутника}$). Следовательно, скорость ракеты-носителя будет больше скорости спутника.

Ответ: Скорость движения больше у ракеты-носителя. Это связано с тем, что она находится на более низкой орбите, а для удержания на орбите с меньшим радиусом требуется большая скорость.

Почему под влиянием сопротивления воздуха спутник приближается к Земле?

Даже в верхних, очень разреженных слоях атмосферы существует сопротивление воздуха, которое оказывает тормозящее действие на спутник. Сила сопротивления направлена против вектора скорости спутника и совершает отрицательную работу. Эта работа приводит к уменьшению полной механической энергии спутника $E$.
Полная механическая энергия тела на круговой орбите складывается из его кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий:
$E = E_k + E_p = \frac{m v^2}{2} - G \frac{M m}{r}$
Используя выведенное ранее соотношение $v^2 = G \frac{M}{r}$, можно выразить полную энергию через радиус орбиты:
$E = \frac{m}{2} \left( G \frac{M}{r} \right) - G \frac{M m}{r} = \frac{G M m}{2r} - \frac{G M m}{r} = - \frac{G M m}{2r}$
Когда сила сопротивления воздуха совершает отрицательную работу, полная энергия $E$ спутника уменьшается (становится более отрицательной). Из формулы $E = - \frac{G M m}{2r}$ видно, что уменьшение энергии $E$ возможно только при уменьшении радиуса орбиты $r$.
Таким образом, теряя энергию из-за трения об атмосферу, спутник переходит на более низкие орбиты, то есть приближается к Земле. Этот процесс продолжается по спирали, пока спутник не войдет в плотные слои атмосферы и не сгорит.

Ответ: Под влиянием сопротивления воздуха спутник теряет свою полную механическую энергию. Состояние с меньшей полной энергией соответствует орбите с меньшим радиусом, поэтому спутник начинает двигаться по спирали, приближаясь к Земле.