Страница 60 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

376. Материальная точка движется по окружности радиусом $2 \text{ м}$. На рисунке 82 представлен график зависимости модуля её скорости $v$ от времени $t$. Чему равен модуль центростремительного ускорения точки в момент $t = 2 \text{ с}$?

Рис. 82

Дано:

Радиус окружности, $R = 2$ м

Время, $t = 2$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль центростремительного ускорения $a_ц$ в момент времени $t=2$ с.

Решение:

Модуль центростремительного ускорения точки, движущейся по окружности, вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

где $v$ — это модуль линейной (мгновенной) скорости точки, а $R$ — радиус окружности.

Из условия задачи известно, что радиус окружности $R = 2$ м. Чтобы найти центростремительное ускорение в момент времени $t = 2$ с, нам необходимо определить скорость $v$ в этот момент.

Обратимся к графику зависимости модуля скорости $v$ от времени $t$. На оси абсцисс (горизонтальной) отложено время в секундах, а на оси ординат (вертикальной) — скорость в м/с. Находим на оси времени значение $t = 2$ с. Из этой точки проводим вертикальную линию до пересечения с графиком. От точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси скоростей. Эта линия указывает на значение скорости $v = 4$ м/с.

Теперь, зная скорость в нужный момент времени, мы можем рассчитать модуль центростремительного ускорения, подставив значения в формулу:

$a_ц = \frac{(4 \text{ м/с})^2}{2 \text{ м}} = \frac{16 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2 \text{ м}} = 8 \text{ м/с}^2$

Ответ: модуль центростремительного ускорения точки в момент времени $t = 2$ с равен $8$ м/с².

377. Спутник Земли перешёл с одной круговой орбиты на другую с меньшим радиусом. Как изменились в результате этого перехода центростремительное ускорение спутника, скорость его движения по орбите и период обращения вокруг Земли?

Рис. 82

Дано:

Спутник переходит с круговой орбиты радиусом $R_1$ на круговую орбиту радиусом $R_2$.
$R_2 < R_1$

Найти:

Как изменились центростремительное ускорение спутника ($a_c$), скорость его движения по орбите ($v$) и период обращения вокруг Земли ($T$).

Решение:

Движение спутника по круговой орбите обеспечивается силой всемирного тяготения, которая играет роль центростремительной силы. Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. В данном случае центростремительное ускорение сообщается гравитационной силой:
$F_g = m a_c$
Сила гравитации определяется законом всемирного тяготения: $F_g = G \frac{M m}{R^2}$, где $m$ – масса спутника, $M$ – масса Земли, $R$ – радиус орбиты, $G$ – гравитационная постоянная.
Центростремительное ускорение связано со скоростью движения по окружности: $a_c = \frac{v^2}{R}$.
Приравнивая гравитационную силу и произведение массы на центростремительное ускорение, получаем основное уравнение движения спутника:
$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

центростремительное ускорение спутника

Из равенства $F_g = m a_c$ выразим центростремительное ускорение:
$a_c = \frac{F_g}{m} = \frac{1}{m} \left( G \frac{M m}{R^2} \right) = \frac{G M}{R^2}$
Из формулы видно, что ускорение $a_c$ обратно пропорционально квадрату радиуса орбиты ($a_c \propto \frac{1}{R^2}$). Так как по условию радиус орбиты уменьшился ($R_2 < R_1$), то знаменатель дроби $R^2$ также уменьшился. Следовательно, значение самого ускорения увеличилось.

Ответ: центростремительное ускорение увеличилось.

скорость его движения по орбите

Выразим скорость $v$ из основного уравнения движения, сократив массу спутника $m$:
$G \frac{M}{R^2} = \frac{v^2}{R}$
Умножим обе части на $R$:
$v^2 = \frac{G M}{R}$
$v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$
Из этой формулы следует, что скорость $v$ обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты ($v \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$). Поскольку радиус орбиты $R$ уменьшился, знаменатель $\sqrt{R}$ также уменьшился. Это означает, что скорость спутника увеличилась.

Ответ: скорость движения увеличилась.

период обращения вокруг Земли

Период обращения $T$ – это время полного оборота спутника по орбите. Он связан со скоростью и радиусом соотношением $T = \frac{2 \pi R}{v}$. Подставим в него ранее найденное выражение для скорости $v$:
$T = \frac{2 \pi R}{\sqrt{\frac{G M}{R}}} = 2 \pi R \cdot \sqrt{\frac{R}{G M}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^2 \cdot R}{G M}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M}}$
Эта формула является выражением третьего закона Кеплера для круговых орбит. Из нее видно, что квадрат периода обращения пропорционален кубу радиуса орбиты ($T^2 \propto R^3$), или сам период $T$ прямо пропорционален $R$ в степени 3/2 ($T \propto R^{3/2}$). Так как радиус орбиты $R$ уменьшился, то и период обращения $T$ уменьшился.

Ответ: период обращения уменьшился.

► 378. Приведите во вращение в вертикальной плоскости шарик на нити. С помощью секундомера и рулетки определите период и частоту обращения, угловую скорость, линейную скорость, ускорение шарика.

Это задание представляет собой описание лабораторной работы. Для получения численного ответа необходимо провести реальные измерения. Ниже приведено описание методики выполнения работы и пример расчета с использованием гипотетических данных.

Оборудование: шарик на нити, рулетка, секундомер.

Порядок выполнения работы:

1. Измерить с помощью рулетки длину нити $L$. Эта длина будет радиусом окружности, по которой движется шарик: $R = L$.
2. Раскрутить шарик на нити в вертикальной плоскости, стараясь поддерживать скорость вращения по возможности постоянной.
3. Включить секундомер и измерить время $t$, за которое шарик совершит $N$ полных оборотов (например, $N = 10$ или $N = 20$). Измерение времени для большого числа оборотов позволяет уменьшить погрешность.
4. Используя измеренные значения $R$, $t$ и $N$, рассчитать искомые физические величины по приведенным ниже формулам.

Пример расчета:

Дано:

Длина нити (радиус): $R = 50 \text{ см}$
Число оборотов: $N = 20$
Время вращения: $t = 30 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:

$R = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$T$ - период обращения
$f$ - частоту обращения
$\omega$ - угловую скорость
$v$ - линейную скорость
$a$ - ускорение шарика

Решение:

Движение шарика в вертикальной плоскости является неравномерным движением по окружности, так как на него действует сила тяжести. Скорость шарика максимальна в нижней точке траектории и минимальна в верхней. В данном расчете мы найдем средние значения кинематических величин, характеризующих это движение.

Период и частота обращения

Период обращения $T$ — это время, за которое тело совершает один полный оборот. Он рассчитывается как отношение общего времени движения $t$ к числу совершенных за это время оборотов $N$:
$T = \frac{t}{N}$
Подставим наши данные:
$T = \frac{30 \text{ с}}{20} = 1.5 \text{ с}$

Частота обращения $f$ — это число оборотов, совершаемых телом за единицу времени. Она является величиной, обратной периоду:
$f = \frac{1}{T} = \frac{N}{t}$
Подставим наши данные:
$f = \frac{1}{1.5 \text{ с}} \approx 0.67 \text{ Гц}$

Ответ: Период обращения $T = 1.5 \text{ с}$; частота обращения $f \approx 0.67 \text{ Гц}$.

Угловая скорость

Угловая скорость $\omega$ показывает, как быстро изменяется угол поворота тела. Она связана с периодом и частотой:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$
Рассчитаем среднюю угловую скорость:
$\omega = \frac{2\pi}{1.5 \text{ с}} \approx 4.19 \text{ рад/с}$

Ответ: Угловая скорость $\omega \approx 4.19 \text{ рад/с}$.

Линейная скорость

Линейная скорость $v$ направлена по касательной к траектории. Ее среднее значение связано со средней угловой скоростью и радиусом окружности:
$v = \omega R$
Подставим рассчитанные и данные значения:
$v \approx 4.19 \text{ рад/с} \cdot 0.5 \text{ м} \approx 2.1 \text{ м/с}$

Ответ: Линейная скорость (среднее значение) $v \approx 2.1 \text{ м/с}$.

Ускорение шарика

При движении по окружности тело всегда испытывает центростремительное (нормальное) ускорение $a_c$, направленное к центру окружности. Оно отвечает за изменение направления вектора скорости. Его среднее значение можно вычислить по формулам:
$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$
Рассчитаем среднее центростремительное ускорение:
$a_c \approx (4.19 \text{ рад/с})^2 \cdot 0.5 \text{ м} \approx 17.56 \cdot 0.5 \approx 8.78 \text{ м/с}^2$
Следует отметить, что в вертикальной плоскости существует также тангенциальное ускорение (кроме верхней и нижней точек), обусловленное силой тяжести и изменяющее модуль скорости. В контексте подобных задач под "ускорением" чаще всего подразумевают именно центростремительное ускорение.

Ответ: Ускорение шарика (среднее центростремительное) $a_c \approx 8.78 \text{ м/с}^2$.

► 379. При линейной скорости точек на ободе шлифовального круга, равной 96 м/с, возникает опасность его разрыва. Исследуйте, допустимо ли шлифовальный круг диаметром 30 см вращать с частотой 120 об/с.

Дано:

Критическая линейная скорость: $v_{крит} = 96$ м/с

Диаметр шлифовального круга: $d = 30$ см

Частота вращения: $n = 120$ об/с

Перевод в систему СИ:

$d = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Допустимо ли вращать шлифовальный круг с заданной частотой?

Решение:

Чтобы определить, допустимо ли вращение круга с указанной частотой, необходимо рассчитать линейную скорость точек на его ободе и сравнить полученное значение с критической скоростью.

Линейная скорость $v$ точек на ободе связана с частотой вращения $n$ и радиусом круга $R$ по формуле:

$v = 2 \pi n R$

Радиус круга $R$ равен половине его диаметра $d$:

$R = \frac{d}{2} = \frac{0.3 \text{ м}}{2} = 0.15 \text{ м}$

Теперь подставим значения радиуса и частоты в формулу для линейной скорости. Учтем, что 1 об/с равен 1 Гц или 1 $с^{-1}$.

$v = 2 \cdot \pi \cdot 120 \text{ с}^{-1} \cdot 0.15 \text{ м} = 36\pi \text{ м/с}$

Для сравнения с критической скоростью, вычислим приближенное значение $v$, приняв $\pi \approx 3.14$:

$v \approx 36 \cdot 3.14 = 113.04 \text{ м/с}$

Теперь сравним вычисленную скорость с критической скоростью $v_{крит}$:

$113.04 \text{ м/с} > 96 \text{ м/с}$

Поскольку расчетная линейная скорость $v$ превышает критическую скорость $v_{крит}$, вращение шлифовального круга с частотой 120 об/с является недопустимым, так как возникает опасность его разрушения.

Ответ: Шлифовальный круг вращать с частотой 120 об/с недопустимо, так как линейная скорость точек на его ободе (приблизительно 113 м/с) превысит критическую скорость (96 м/с), при которой возникает опасность разрыва.

► 380. Приведите примеры движения тел, когда направление вектора скорости изменяется при движении тела, а его ускорение по модулю остаётся постоянным.

Движение, при котором направление вектора скорости изменяется, является криволинейным. Ускорение тела $ \vec{a} $ при криволинейном движении можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение $ \vec{a}_{\tau} $, которое характеризует изменение модуля скорости, и нормальное (центростремительное) ускорение $ \vec{a}_{n} $, которое характеризует изменение направления скорости. Модуль полного ускорения определяется формулой $ a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_{n}^2} $. Условие задачи требует, чтобы направление вектора скорости $ \vec{v} $ менялось (то есть $ a_{n} \neq 0 $), а модуль ускорения $ a $ был постоянным.

Рассмотрим несколько примеров такого движения.

Пример 1: Равномерное движение по окружности.

При равномерном движении тела по окружности модуль его скорости $ v $ остается постоянным. Следовательно, тангенциальное ускорение, отвечающее за изменение модуля скорости, равно нулю: $ a_{\tau} = 0 $. Нормальное (центростремительное) ускорение, отвечающее за изменение направления скорости, равно $ a_{n} = \frac{v^2}{R} $, где $ R $ – радиус окружности. Так как $ v $ и $ R $ постоянны, модуль нормального ускорения также постоянен. Модуль полного ускорения в этом случае равен модулю нормального ускорения: $ a = a_n = \frac{v^2}{R} = \text{const} $. При этом вектор скорости, будучи всегда направленным по касательной к окружности, непрерывно изменяет свое направление. Конкретными примерами такого движения являются: движение искусственного спутника Земли по круговой орбите (в пренебрежении сопротивлением атмосферы); движение точки на ободе колеса, вращающегося с постоянной угловой скоростью; движение автомобиля на повороте круглой формы с постоянной по модулю скоростью.

Пример 2: Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Вблизи поверхности Земли (в пренебрежении сопротивлением воздуха) на тело действует только постоянная сила тяжести. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела равно ускорению свободного падения: $ \vec{a} = \vec{g} $. Этот вектор постоянен и по модулю ($ g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 $), и по направлению (вертикально вниз). Траекторией такого движения является парабола. Поскольку траектория криволинейна, направление вектора скорости, который всегда направлен по касательной к траектории, непрерывно изменяется. Конкретными примерами такого движения являются: полет камня, брошенного под углом к горизонту; движение мяча после удара футболиста; струя воды, выпущенная из фонтана или шланга под углом.

Ответ: Примерами движения, когда направление вектора скорости изменяется, а модуль ускорения остается постоянным, являются: 1) равномерное движение по окружности (например, движение спутника по круговой орбите), где ускорение постоянно по модулю ($ a = v^2/R $) и направлено к центру окружности; 2) движение тела, брошенного под углом к горизонту (например, полет камня), где ускорение постоянно и по модулю, и по направлению ($ \vec{a} = \vec{g} $).

► 381. Измерьте длину секундной и минутной стрелок своих часов и рассчитайте линейную скорость конца каждой стрелки.

Эта задача предполагает проведение измерений на ваших личных часах. Поскольку у меня нет такой возможности, я приведу примерное решение, используя типичные размеры стрелок для настенных часов. Вы можете подставить свои значения длин стрелок в формулы для получения точного ответа для ваших часов.

Дано:

Примем следующие значения для настенных часов:
Длина секундной стрелки, $R_с = 15$ см
Длина минутной стрелки, $R_м = 12$ см
Период обращения секундной стрелки, $T_с = 1$ мин $= 60$ с
Период обращения минутной стрелки, $T_м = 1$ час $= 60$ мин

Переведём данные в систему СИ:
$R_с = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$R_м = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$T_с = 60 \text{ с}$
$T_м = 60 \text{ мин} = 60 \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Линейную скорость конца секундной стрелки - $v_с$
Линейную скорость конца минутной стрелки - $v_м$

Решение:

Конец стрелки часов совершает равномерное движение по окружности. Линейная скорость точки при таком движении находится по формуле: $v = \frac{l}{t}$, где $l$ - это путь, пройденный концом стрелки, а $t$ - время движения. За один полный оборот (период $T$) конец стрелки проходит путь, равный длине окружности $l = 2\pi R$. Таким образом, формула для линейной скорости принимает вид: $v = \frac{2\pi R}{T}$ где $R$ - длина стрелки (радиус окружности), а $T$ - период ее обращения.

Линейная скорость конца секундной стрелки

Период обращения секундной стрелки $T_с$ составляет 60 секунд. Подставим значения в формулу: $v_с = \frac{2\pi R_с}{T_с} = \frac{2 \times 3.1416 \times 0.15 \text{ м}}{60 \text{ с}} = \frac{0.94248 \text{ м}}{60 \text{ с}} \approx 0.0157 \text{ м/с}$

Ответ: Линейная скорость конца секундной стрелки длиной 15 см составляет примерно $0.0157$ м/с (или $1.57$ см/с).

Линейная скорость конца минутной стрелки

Период обращения минутной стрелки $T_м$ составляет 60 минут, или 3600 секунд. Подставим значения в формулу: $v_м = \frac{2\pi R_м}{T_м} = \frac{2 \times 3.1416 \times 0.12 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{0.75398 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 0.000209 \text{ м/с}$

Ответ: Линейная скорость конца минутной стрелки длиной 12 см составляет примерно $0.000209$ м/с (или $0.209$ мм/с).

► 382. Лётчик, выходя из пикирования, описывает дугу окружности и испытывает при этом перегрузку $3g$. Объясните, что означает это утверждение.

Решение

Перегрузка — это отношение силы, с которой тело действует на опору или подвес (то есть веса тела $P$), к силе тяжести $mg$, действующей на это тело. Перегрузка $n$ показывает, во сколько раз вес тела в данных условиях превышает его вес в состоянии покоя. Она вычисляется по формуле:

$n = \frac{P}{mg}$

Когда лётчик на самолёте выходит из пикирования, его траектория представляет собой дугу окружности. Для движения по такой траектории необходимо центростремительное ускорение $a_ц$, которое в нижней точке траектории направлено вертикально вверх, к центру окружности.

На лётчика в этот момент действуют две вертикальные силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз, и сила реакции опоры $N$ со стороны кресла, направленная вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает лётчику центростремительное ускорение:

$N - mg = ma_ц$

Вес лётчика $P$ по третьему закону Ньютона равен по модулю силе реакции опоры $N$. Отсюда можно выразить вес:

$P = N = mg + ma_ц = m(g + a_ц)$

Утверждение, что лётчик испытывает перегрузку 3g, означает, что коэффициент перегрузки $n$ равен 3. Подставив это значение в формулу, получаем:

$n = \frac{P}{mg} = \frac{m(g + a_ц)}{mg} = 3$

Это означает, что вес лётчика $P$ в три раза больше силы тяжести $mg$, действующей на него ($P = 3mg$). Другими словами, сила, с которой кресло давит на лётчика (и, соответственно, лётчик на кресло), в три раза превосходит силу притяжения Земли. Лётчик ощущает это так, как будто его собственная масса утроилась.

Из этой же формулы можно определить, чему равно центростремительное ускорение самолёта:

$1 + \frac{a_ц}{g} = 3$

$\frac{a_ц}{g} = 2$

$a_ц = 2g$

Следовательно, центростремительное ускорение, которое испытывает лётчик при выходе из пикирования, в два раза превышает ускорение свободного падения.

Ответ: Утверждение "лётчик испытывает перегрузку 3g" означает, что во время манёвра его вес (сила, с которой он давит на кресло) в три раза превышает его обычный вес в состоянии покоя (силу тяжести). Это связано с возникновением направленного вверх центростремительного ускорения, которое в данном случае равно удвоенному ускорению свободного падения ($2g$).

383. Искусственный спутник Земли находится на круговой орбите, удалённой от поверхности Земли на 220 км. Определите скорость спутника и его период обращения.

Дано:

$h = 220 \text{ км}$

Для решения задачи также потребуются справочные данные:

Средний радиус Земли $R_З = 6400 \text{ км}$

Масса Земли $M_З = 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Гравитационная постоянная $G = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$h = 220 \cdot 10^3 \text{ м} = 2.2 \cdot 10^5 \text{ м}$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v - ?$

$T - ?$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите, и единственной силой, действующей на него, является сила гравитационного притяжения Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона:

$F_g = m a_ц$

где $F_g$ — сила гравитационного притяжения, $m$ — масса спутника, $a_ц$ — центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительное ускорение для движения по окружности:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Радиус орбиты $r$ складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$ над поверхностью:

$r = R_З + h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 2.2 \cdot 10^5 \text{ м} = 6.62 \cdot 10^6 \text{ м}$

Приравняем выражения для силы:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Масса спутника $m$ сокращается. Выразим скорость $v$:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Подставим числовые значения для нахождения скорости:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{6.62 \cdot 10^6 \text{ м}}} \approx \sqrt{\frac{3.98 \cdot 10^{14}}{6.62 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{6.01 \cdot 10^7} \approx 7756 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим значение до двух значащих цифр, так как высота дана с такой точностью:

$v \approx 7.8 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ или $7.8 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Длина орбиты равна $L = 2 \pi r$. Период можно найти по формуле:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим значения (используя не округленное значение скорости для большей точности):

$T = \frac{2 \cdot 3.14 \cdot 6.62 \cdot 10^6 \text{ м}}{7756 \text{ м/с}} \approx 5362 \text{ с}$

Округлим до двух значащих цифр:

$T \approx 5.4 \cdot 10^3 \text{ с}$

Это значение можно также выразить в минутах: $T \approx \frac{5362}{60} \approx 89.4 \text{ мин}$. Округляя, получаем $\approx 89 \text{ мин}$.

Ответ:

Скорость спутника $v \approx 7.8 \cdot 10^3 \text{ м/с}$ (или $7.8 \text{ км/с}$); период обращения $T \approx 5.4 \cdot 10^3 \text{ с}$ (или примерно $89 \text{ мин}$).

384. Тело движется вокруг Земли со скоростью 1 км/с. Радиус орбиты 384 000 км. Чему равна масса Земли?

Дано:

Скорость тела, $v = 1 \text{ км/с}$

Радиус орбиты, $r = 384 000 \text{ км}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод данных в систему СИ:

$v = 1 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 1 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$r = 384 000 \text{ км} = 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

Массу Земли, $M$

Решение:

Тело движется по круговой орбите вокруг Земли. Сила всемирного тяготения, действующая на тело со стороны Земли, является центростремительной силой, которая удерживает тело на орбите. Для нахождения массы Земли мы можем приравнять выражения для центростремительной силы ($F_c$) и гравитационной силы ($F_g$).

$F_c = F_g$

Центростремительная сила выражается формулой:

$F_c = \frac{m v^2}{r}$

где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость, $r$ — радиус орбиты.

Сила всемирного тяготения по закону Ньютона:

$F_g = G \frac{M m}{r^2}$

где $M$ — масса Земли, а $G$ — гравитационная постоянная.

Приравниваем правые части выражений:

$\frac{m v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2}$

Сокращаем массу тела $m$ и радиус $r$ в первой степени в обеих частях уравнения:

$v^2 = G \frac{M}{r}$

Из этого уравнения выражаем искомую массу Земли $M$:

$M = \frac{v^2 r}{G}$

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$M = \frac{(10^3 \text{ м/с})^2 \cdot (3.84 \times 10^8 \text{ м})}{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}$

Произведем расчет:

$M = \frac{10^6 \cdot 3.84 \times 10^8}{6.674 \times 10^{-11}} \text{ кг} = \frac{3.84 \times 10^{14}}{6.674 \times 10^{-11}} \text{ кг}$

$M \approx 0.575 \times 10^{25} \text{ кг} \approx 5.75 \times 10^{24} \text{ кг}$

Ответ: $M \approx 5.75 \times 10^{24} \text{ кг}$.