Страница 67 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

435. Возьмите в руки шланг от душа и держите его вертикально над ванной распылительной частью вниз. Откройте кран — распылитель отклонится в сторону, противоположную вытекающим струям. Объясните это явление.

Решение

Данное явление является примером реактивного движения и объясняется законом сохранения импульса, а также третьим законом Ньютона.

1. До того, как вода начала вытекать, система, состоящая из распылителя и воды в нём, находилась в состоянии покоя. Это означает, что её суммарный импульс был равен нулю.

2. Когда кран открывают, вода начинает вытекать из отверстий распылителя с некоторой скоростью $\vec{v}$. Таким образом, вытекающие струи воды массой $\Delta m$ приобретают импульс $\Delta \vec{p}_{воды} = \Delta m \cdot \vec{v}$, направленный в сторону истечения.

3. В соответствии с законом сохранения импульса, для замкнутой системы (которой можно считать систему «распылитель-вода» в горизонтальном направлении, пренебрегая сопротивлением воздуха) полный импульс должен сохраняться. Так как начальный импульс был нулевым, суммарный импульс системы должен оставаться равным нулю и после начала движения воды.

4. Чтобы суммарный импульс системы остался равным нулю, распылитель должен получить импульс $\Delta \vec{p}_{распылителя}$, равный по модулю и противоположный по направлению импульсу вытекающей воды:

$\Delta \vec{p}_{распылителя} + \Delta \vec{p}_{воды} = 0$

$\Delta \vec{p}_{распылителя} = - \Delta \vec{p}_{воды}$

5. Это означает, что на распылитель начинает действовать сила, называемая силой реактивной тяги, которая направлена в сторону, противоположную направлению скорости вытекающих струй. Именно эта сила и вызывает отклонение распылителя.

С точки зрения третьего закона Ньютона: распылитель действует на воду с некоторой силой, чтобы вытолкнуть её. В ответ вода действует на распылитель с точно такой же по величине, но противоположно направленной силой, которая и заставляет его двигаться.

Ответ: Отклонение распылителя душа происходит из-за реактивной силы, возникающей в соответствии с законом сохранения импульса. Вытекающие струи воды создают импульс в одном направлении, а распылитель для сохранения общего нулевого импульса системы получает равный по модулю и противоположный по направлению импульс, что и заставляет его двигаться в обратную сторону.

► 436. Сделайте дома сегнерово колесо:
в шарике для настольного тенниса горячим гвоздём проткните три отверстия — два из них друг против друга по диаметру шарика, а третье между ними сверху. В эти отверстия вставьте хлорвиниловые трубки, концы боковых трубок загните (рис. 91). Поставьте шарик на гладкую поверхность и подуйте в верхнюю трубку. Шарик начнёт вращаться. Почему? Какой физический закон здесь действует?

Рис. 91

Почему?

Когда вы дуете в верхнюю трубку, воздух попадает внутрь шарика и создает там повышенное давление. Под действием этого давления воздух устремляется наружу через боковые, изогнутые трубки. Струи воздуха, вырывающиеся из трубок, создают реактивную силу. Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой шарик выталкивает воздух, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой воздух толкает шарик. Поскольку трубки направлены тангенциально (по касательной к окружности вращения), эти реактивные силы создают вращающий момент, который и заставляет шарик вращаться в сторону, противоположную направлению выхода струй воздуха. Ответ: Шарик начинает вращаться из-за возникновения реактивной силы, создаваемой струями воздуха, которые выходят из загнутых трубок. Эта сила создает вращающий момент.

Какой физический закон здесь действует?

В основе этого явления лежит закон сохранения импульса. До начала движения система «шарик + воздух внутри» покоится, её суммарный импульс равен нулю. Когда воздух начинает вылетать из трубок в одну сторону, он уносит с собой некоторый импульс. Чтобы суммарный импульс замкнутой системы оставался равным нулю, шарик должен приобрести импульс, равный по величине и противоположный по направлению импульсу вытекающего воздуха. Это и приводит к его вращению. Также это явление является прекрасной иллюстрацией третьего закона Ньютона (сила действия равна силе противодействия). Ответ: Здесь действует закон сохранения импульса и третий закон Ньютона.

► 437. В работе «О движении тел под влиянием удара» Гюйгенс писал: «Если с покоящимся телом соударяется одинаковое с ним тело, то ударившееся тело приходит в состояние покоя, а покоящееся тело приходит в движение со скоростью ударившегося о него». Согласны ли вы с этим утверждением Гюйгенса? Ответ обоснуйте.

Да, с утверждением Гюйгенса можно согласиться, но с важным уточнением: оно справедливо для абсолютно упругого и центрального удара. Абсолютно упругий удар — это столкновение, при котором сохраняется полная кинетическая энергия системы. Центральный удар — это столкновение, при котором скорости тел до и после удара направлены вдоль линии, соединяющей их центры масс.

Обоснуем это утверждение с помощью законов сохранения.

Дано:

Масса первого (ударяющего) тела: $m_1$
Масса второго (покоящегося) тела: $m_2$
Начальная скорость первого тела: $v_1$
Начальная скорость второго тела: $v_2 = 0$
Условие задачи: $m_1 = m_2 = m$
Удар абсолютно упругий и центральный.

Найти:

Скорость первого тела после удара: $u_1$
Скорость второго тела после удара: $u_2$

Решение:

Рассмотрим систему из двух тел. Так как удар является центральным, движение можно рассматривать в одной проекции. При столкновении тел выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии (поскольку удар абсолютно упругий).

1. Закон сохранения импульса:

Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения.

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Подставим наши условия ($m_1 = m_2 = m$ и $v_2 = 0$):

$m v_1 + m \cdot 0 = m u_1 + m u_2$

Сократив массу $m$, получим первое уравнение:

$v_1 = u_1 + u_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии:

Суммарная кинетическая энергия системы до столкновения равна суммарной кинетической энергии после столкновения.

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Подставим наши условия:

$\frac{m v_1^2}{2} + 0 = \frac{m u_1^2}{2} + \frac{m u_2^2}{2}$

Сократив $\frac{m}{2}$, получим второе уравнение:

$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2$ (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим $u_1$:

$u_1 = v_1 - u_2$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$v_1^2 = (v_1 - u_2)^2 + u_2^2$

$v_1^2 = v_1^2 - 2v_1 u_2 + u_2^2 + u_2^2$

$0 = -2v_1 u_2 + 2u_2^2$

$2u_2(u_2 - v_1) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения:

а) $u_2 = 0$. Если подставить это в уравнение (1), получим $u_1 = v_1$. Это означает, что скорости тел не изменились, то есть столкновения не произошло. Этот случай не представляет физического интереса.

б) $u_2 - v_1 = 0 \implies u_2 = v_1$. Это решение описывает результат столкновения. Второе тело (покоящееся) приобретает скорость, равную начальной скорости первого тела.

Теперь найдем скорость первого тела $u_1$ после удара, подставив $u_2 = v_1$ в уравнение (1):

$v_1 = u_1 + v_1 \implies u_1 = 0$

Таким образом, после столкновения первое (ударяющее) тело останавливается, а второе (покоящееся) начинает двигаться со скоростью первого.

Полученный результат полностью совпадает с утверждением Гюйгенса.

Ответ: Утверждение Гюйгенса верно при условии, что столкновение двух одинаковых по массе тел является абсолютно упругим и центральным. Математический вывод, основанный на законах сохранения импульса и энергии, показывает, что в этом случае тела обмениваются скоростями: ударяющее тело останавливается ($u_1=0$), а покоящееся приходит в движение со скоростью ударившего его тела ($u_2=v_1$).

► 438. В книге Э. Распе «Приключения барона Мюнхгаузена» написано: «Обе пушки грянули в один и тот же миг. Случилось то, чего я ожидал: в намеченной мною точке два ядра — наше и неприятельское — столкнулись с ужасающей силой, и неприятельское ядро полетело назад к испанцам... Наше ядро тоже не доставило им удовольствия...» Возможно ли описанное здесь явление, если бы при соударении ядра не разорвались?

Да, описанное явление возможно с точки зрения законов физики, если предположить, что столкновение ядер было центральным (лобовым) и упругим или частично упругим.

Рассмотрим эту ситуацию, используя закон сохранения импульса.

Дано:

$m_1$ - масса нашего ядра
$\vec{v_1}$ - скорость нашего ядра до столкновения
$m_2$ - масса неприятельского ядра
$\vec{v_2}$ - скорость неприятельского ядра до столкновения

Найти:

Выяснить, возможно ли, что после столкновения оба ядра полетят в обратные стороны.

Решение:

Систему из двух ядер можно считать замкнутой, так как время взаимодействия очень мало, и внешними силами (силой тяжести и сопротивлением воздуха) за это время можно пренебречь. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса: суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия.

$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = m_1 \vec{v_1'} + m_2 \vec{v_2'}$

где $\vec{v_1'}$ и $\vec{v_2'}$ — скорости ядер после столкновения.

Для простоты рассмотрим идеальный случай, который наиболее ярко демонстрирует это явление. Предположим, что:

1. Столкновение центральное (лобовое).
2. Массы ядер одинаковы: $m_1 = m_2 = m$.
3. Модули скоростей ядер до столкновения равны: $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v$.

Направим ось ОХ вдоль направления полета нашего ядра. Тогда проекции скоростей на эту ось до столкновения будут:

$v_{1x} = v$

$v_{2x} = -v$

Найдем суммарный импульс системы до столкновения в проекции на ось ОХ:

$p_x = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m v + m (-v) = 0$

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы после столкновения также должен быть равен нулю:

$p_x' = m_1 v_{1x}' + m_2 v_{2x}' = m v_{1x}' + m v_{2x}' = 0$

Из этого уравнения следует, что $v_{1x}' = -v_{2x}'$. Это означает, что после столкновения ядра разлетятся в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями.

Если столкновение было абсолютно упругим (кинетическая энергия системы сохранилась), то ядра обменяются скоростями. Скорость нашего ядра после столкновения станет $v_{1x}' = -v$, а неприятельского — $v_{2x}' = v$. То есть, оба ядра полетят назад к тем, кто их выпустил, с той же скоростью, с которой они летели до столкновения.

Если же столкновение было неупругим (часть кинетической энергии перешла в тепло), то ядра все равно разлетятся в противоположные стороны, но их скорости будут по модулю меньше, чем до столкновения. Главное условие — чтобы ядра не "слиплись" (что соответствует абсолютно неупругому удару, при котором они бы остановились в точке столкновения, так как суммарный импульс равен нулю).

Таким образом, описанная бароном Мюнхгаузеном ситуация, когда оба ядра после столкновения полетели назад, физически абсолютно возможна.

Ответ: Да, описанное явление возможно. Это следует из закона сохранения импульса при центральном столкновении двух тел. В идеальном случае (одинаковые массы и скорости, упругий удар) ядра разлетятся в обратные стороны с первоначальными скоростями.

► 439. Интересный цирковой трюк «легче воздуха» описал А. И. Куприн в своём рассказе «Ольга Сур»: «И что же делает Никаноро Нанни? Он берёт в каждую из рук по двадцатипятифунтовой гире, затем делает короткий, но быстрый разбег, отталкивается со страшной силой от трамплина и летит прямо на тамбур... Но во время этого полёта, в какой-то необходимый, но неуловимый момент, он бросает обе гири, и тут-то, преодолев закон тяжести, ставши внезапно легче на пятьдесят фунтов, он неожиданно взвивается кверху и потом уж кончает полёт, упав на тамбур». Объясните этот цирковой номер с точки зрения физики.

Описанный в рассказе цирковой трюк является яркой иллюстрацией законов физики, в частности, закона сохранения импульса и третьего закона Ньютона. Фраза «преодолев закон тяжести» является художественным преувеличением, так как сила тяжести действует на акробата непрерывно в течение всего полета.

Физическое объяснение трюка заключается в следующем:

1. Движение центра масс. С момента отрыва от трамплина система, состоящая из акробата и двух гирь, представляет собой единое целое. Под действием силы тяжести центр масс этой системы движется по параболической траектории. Никакие внутренние силы, то есть силы взаимодействия между акробатом и гирями, не могут изменить траекторию движения этого общего центра масс.

2. Взаимодействие при броске. Эффект «взмывания» возникает из-за того, что акробат не просто разжимает руки и отпускает гири, а с силой толкает их вниз. Согласно третьему закону Ньютона, на всякое действие есть равное по величине и противоположное по направлению противодействие. Сила, с которой акробат толкает гири вниз, вызывает появление равной ей по величине силы, действующей со стороны гирь на акробата, но направленной вверх.

3. Изменение индивидуальных траекторий. Этот кратковременный толчок вверх (импульс силы) придает телу акробата дополнительную вертикальную скорость, направленную вверх. В результате его личная траектория полета изменяется — он действительно поднимается на большую высоту, чем если бы он просто держал гири. Для зрителей это выглядит как неожиданное «взмывание». Одновременно гири, получив дополнительный импульс вниз, падают на землю быстрее и по более крутой траектории.

Таким образом, хотя индивидуальные траектории акробата и гирь меняются, параболическая траектория их общего центра масс остается неизменной. Аксель Поульсен (реальный прототип персонажа) просто «отталкивается» от гирь в воздухе, чтобы подпрыгнуть выше, что является блестящим применением законов механики.

Ответ: Эффект «взмывания» акробата объясняется законом сохранения импульса и третьим законом Ньютона. В полете акробат с силой отталкивает гири вниз. В ответ гири сообщают ему равный по величине и противоположно направленный (вверх) импульс. Этот дополнительный импульс изменяет индивидуальную траекторию акробата, заставляя его подняться выше. При этом траектория общего центра масс системы «акробат + гири» остается неизменной параболой, так как на систему действуют только внешние силы (сила тяжести).