Номер 437, страница 67 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Импульс тела. Закон сохранения импульса. Реактивное движение. Законы движения и взаимодействия тел - номер 437, страница 67.

► 437. В работе «О движении тел под влиянием удара» Гюйгенс писал: «Если с покоящимся телом соударяется одинаковое с ним тело, то ударившееся тело приходит в состояние покоя, а покоящееся тело приходит в движение со скоростью ударившегося о него». Согласны ли вы с этим утверждением Гюйгенса? Ответ обоснуйте.

Да, с утверждением Гюйгенса можно согласиться, но с важным уточнением: оно справедливо для абсолютно упругого и центрального удара. Абсолютно упругий удар — это столкновение, при котором сохраняется полная кинетическая энергия системы. Центральный удар — это столкновение, при котором скорости тел до и после удара направлены вдоль линии, соединяющей их центры масс.

Обоснуем это утверждение с помощью законов сохранения.

Дано:

Масса первого (ударяющего) тела: $m_1$
Масса второго (покоящегося) тела: $m_2$
Начальная скорость первого тела: $v_1$
Начальная скорость второго тела: $v_2 = 0$
Условие задачи: $m_1 = m_2 = m$
Удар абсолютно упругий и центральный.

Найти:

Скорость первого тела после удара: $u_1$
Скорость второго тела после удара: $u_2$

Решение:

Рассмотрим систему из двух тел. Так как удар является центральным, движение можно рассматривать в одной проекции. При столкновении тел выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии (поскольку удар абсолютно упругий).

1. Закон сохранения импульса:

Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения.

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Подставим наши условия ($m_1 = m_2 = m$ и $v_2 = 0$):

$m v_1 + m \cdot 0 = m u_1 + m u_2$

Сократив массу $m$, получим первое уравнение:

$v_1 = u_1 + u_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии:

Суммарная кинетическая энергия системы до столкновения равна суммарной кинетической энергии после столкновения.

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Подставим наши условия:

$\frac{m v_1^2}{2} + 0 = \frac{m u_1^2}{2} + \frac{m u_2^2}{2}$

Сократив $\frac{m}{2}$, получим второе уравнение:

$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2$ (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим $u_1$:

$u_1 = v_1 - u_2$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$v_1^2 = (v_1 - u_2)^2 + u_2^2$

$v_1^2 = v_1^2 - 2v_1 u_2 + u_2^2 + u_2^2$

$0 = -2v_1 u_2 + 2u_2^2$

$2u_2(u_2 - v_1) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения:

а) $u_2 = 0$. Если подставить это в уравнение (1), получим $u_1 = v_1$. Это означает, что скорости тел не изменились, то есть столкновения не произошло. Этот случай не представляет физического интереса.

б) $u_2 - v_1 = 0 \implies u_2 = v_1$. Это решение описывает результат столкновения. Второе тело (покоящееся) приобретает скорость, равную начальной скорости первого тела.

Теперь найдем скорость первого тела $u_1$ после удара, подставив $u_2 = v_1$ в уравнение (1):

$v_1 = u_1 + v_1 \implies u_1 = 0$

Таким образом, после столкновения первое (ударяющее) тело останавливается, а второе (покоящееся) начинает двигаться со скоростью первого.

Полученный результат полностью совпадает с утверждением Гюйгенса.

Ответ: Утверждение Гюйгенса верно при условии, что столкновение двух одинаковых по массе тел является абсолютно упругим и центральным. Математический вывод, основанный на законах сохранения импульса и энергии, показывает, что в этом случае тела обмениваются скоростями: ударяющее тело останавливается ($u_1=0$), а покоящееся приходит в движение со скоростью ударившего его тела ($u_2=v_1$).