Номер 432, страница 66 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Импульс тела. Закон сохранения импульса. Реактивное движение. Законы движения и взаимодействия тел - номер 432, страница 66.

432. Две одинаковые тележки, на которых стоят два дворника с равными массами, движутся по инерции с одинаковыми скоростями параллельно друг другу. В некоторый момент времени на тележки начинает равномерно падать снег. Дворник, стоящий на одной тележке, всё время сбрасывает снег вбок, а дворник, стоящий на другой тележке, нет. Какая из тележек быстрее пройдёт одно и то же расстояние?

Дано:

Масса каждой тележки с дворником: $M$.
Начальная скорость тележек: $v_0$.
Тележки движутся по инерции, внешние горизонтальные силы (трение) отсутствуют.
Снег падает вертикально, его начальная горизонтальная скорость равна нулю.
Масса снега, падающего на тележку в единицу времени: $\mu$ (кг/с).

Найти:

Какая из тележек быстрее пройдет одно и то же расстояние $S$?

Решение:

Для того чтобы определить, какая тележка пройдет расстояние быстрее, необходимо сравнить их скорости через некоторое время после начала снегопада. Тележка, у которой скорость будет больше, пройдет то же расстояние за меньшее время.

Рассмотрим движение каждой тележки отдельно, используя закон сохранения импульса в горизонтальном направлении, так как в этом направлении не действуют внешние силы.

1. Тележка, на которой дворник не сбрасывает снег (тележка №2).

Системой тел здесь является «тележка + дворник + накопившийся снег». Масса этой системы постоянно увеличивается. Пусть в момент времени $t$ на тележке накопилась масса снега $m(t) = \mu t$. Общая масса системы стала $M+m(t)$. Поскольку снег падает вертикально, его горизонтальный импульс равен нулю. Начальный импульс системы (до снегопада) был $P_0 = M v_0$. В момент времени $t$ импульс системы равен $P_2(t) = (M+m(t))v_2(t)$, где $v_2(t)$ — скорость тележки в этот момент. Согласно закону сохранения импульса в горизонтальном направлении: $P_0 = P_2(t)$ $M v_0 = (M+m(t)) v_2(t)$ Отсюда скорость второй тележки в момент времени $t$: $v_2(t) = v_0 \frac{M}{M+m(t)}$

2. Тележка, с которой дворник сбрасывает снег (тележка №1).

В этом случае система тел — это «тележка + дворник». Ее масса $M$ остается постоянной. Однако на эту систему действует внешняя горизонтальная сила со стороны снега. Рассмотрим небольшой промежуток времени $dt$. За это время на тележку падает масса снега $dm = \mu dt$. Тележка должна сообщить этой массе снега горизонтальную скорость, равную текущей скорости тележки $v_1(t)$, чтобы затем сбросить его вбок. Для того чтобы ускорить массу снега $dm$ от 0 до скорости $v_1(t)$, тележка действует на него с силой, сообщая ему импульс $dp_{снега} = dm \cdot v_1(t)$. Согласно третьему закону Ньютона, снег действует на тележку с такой же по модулю и противоположной по направлению силой (силой торможения). Импульс этой силы, действующей на тележку, равен $dP_{торм} = -dp_{снега} = -dm \cdot v_1(t)$. Этот импульс изменяет импульс тележки: $d P_1 = M \cdot dv_1 = -dm \cdot v_1(t)$ Разделив на $dt$, получим уравнение движения: $M \frac{dv_1}{dt} = -\frac{dm}{dt} v_1(t) = -\mu v_1(t)$ Решая это дифференциальное уравнение, находим зависимость скорости от времени или от массы упавшего снега $m(t) = \mu t$: $\frac{dv_1}{v_1} = -\frac{\mu}{M} dt$ Интегрируя, получаем: $\int_{v_0}^{v_1} \frac{dv_1}{v_1} = -\int_0^t \frac{\mu}{M} dt \implies \ln\frac{v_1}{v_0} = -\frac{\mu t}{M} = -\frac{m(t)}{M}$ Отсюда скорость первой тележки в момент времени $t$: $v_1(t) = v_0 e^{-m(t)/M}$

Сравнение скоростей.

Теперь сравним скорости тележек $v_1(t)$ и $v_2(t)$ в один и тот же момент времени $t > 0$ (когда $m(t) > 0$). $v_1(t) = v_0 e^{-m(t)/M}$
$v_2(t) = v_0 \frac{M}{M+m(t)} = v_0 \frac{1}{1 + m(t)/M}$
Обозначим $x = m(t)/M > 0$. Нам нужно сравнить $e^{-x}$ и $\frac{1}{1+x}$. Известно математическое неравенство $e^x > 1+x$ для всех $x > 0$. Из этого неравенства следует, что $e^{-x} < \frac{1}{1+x}$. Таким образом, для любого момента времени $t>0$: $e^{-m(t)/M} < \frac{1}{1 + m(t)/M}$ $v_0 e^{-m(t)/M} < v_0 \frac{1}{1 + m(t)/M}$ $v_1(t) < v_2(t)$

Вывод: скорость тележки, с которой сбрасывают снег, в любой момент времени оказывается меньше скорости тележки, на которой снег накапливается. Следовательно, тележка, которая не избавляется от снега, пройдет то же самое расстояние быстрее.

Ответ: Быстрее пройдет одно и то же расстояние та тележка, с которой дворник не сбрасывает снег.