Страница 66 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

430. Масса первого автомобиля равна 1000 кг, второго — 500 кг. Скорости их движения изменяются в соответствии с графиками, представленными на рисунке 88. Найдите отношение импульса второго автомобиля к импульсу первого через 10 с после начала движения.

Рис. 88

Дано:

Масса первого автомобиля, $m_1 = 1000$ кг

Масса второго автомобиля, $m_2 = 500$ кг

Время, $t = 10$ с

Графики зависимости скорости от времени $v(t)$ для двух автомобилей.

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Отношение импульса второго автомобиля к импульсу первого через 10 с после начала движения, $\frac{p_2}{p_1}$.

Решение:

Импульс тела (в данном случае, автомобиля) определяется по формуле:

$p = m \cdot v$,

где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

Импульс первого автомобиля в момент времени $t = 10$ с равен $p_1 = m_1 \cdot v_1$, а импульс второго — $p_2 = m_2 \cdot v_2$, где $v_1$ и $v_2$ — скорости автомобилей в этот момент времени.

Чтобы найти скорости, воспользуемся графиками. Будем считать, что график I соответствует первому автомобилю, а график II — второму.

Найдём на оси времени $t$ (горизонтальная ось) значение 10 с.

Для графика I (первый автомобиль) этому значению времени соответствует скорость $v_1$. Проведя перпендикуляр от точки $t = 10$ с до пересечения с графиком I, а затем перпендикуляр к оси скоростей $v$ (вертикальная ось), находим значение скорости:

$v_1 = 3$ м/с.

Аналогично для графика II (второй автомобиль) находим скорость в момент времени $t = 10$ с:

$v_2 = 8$ м/с.

Теперь вычислим импульсы каждого автомобиля:

$p_1 = m_1 \cdot v_1 = 1000 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с} = 3000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

$p_2 = m_2 \cdot v_2 = 500 \text{ кг} \cdot 8 \text{ м/с} = 4000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Найдём отношение импульса второго автомобиля к импульсу первого:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{4000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{3000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}} = \frac{4}{3}$

Ответ:

Отношение импульса второго автомобиля к импульсу первого через 10 с после начала движения равно $\frac{4}{3}$.

431. С воздушного шара, неподвижно висящего в воздухе, свободно свешивается лестница (рис. 89). По ней начинает взбираться человек. При этом шар будет подниматься или опускаться?

Рис. 89

Решение

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из воздушного шара, лестницы и человека. Внешними силами, действующими на эту систему в вертикальном направлении, являются сила тяжести, направленная вниз, и архимедова (выталкивающая) сила, направленная вверх.

По условию задачи, воздушный шар изначально висит неподвижно. Это означает, что внешние силы, действующие на систему, скомпенсированы, то есть их векторная сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы сохраняется, а ее центр масс либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Поскольку система изначально неподвижна, ее центр масс будет сохранять свое положение.

Когда человек начинает взбираться по лестнице, силы взаимодействия между человеком и лестницей (человек отталкивается от лестницы вниз, а лестница толкает его вверх) являются внутренними силами для рассматриваемой системы. Эти силы не могут изменить положение центра масс всей системы.

Человек, поднимаясь по лестнице, смещается вверх. Чтобы центр масс всей системы «шар-лестница-человек» остался на прежней высоте, это смещение массы человека вверх должно быть скомпенсировано смещением вниз остальной части системы, то есть воздушного шара вместе с лестницей.

Проведем математический анализ. Пусть $M$ — масса шара с лестницей, а $m$ — масса человека. Выберем ось $Y$, направленную вертикально вверх. Так как центр масс системы неподвижен, изменение его координаты $\Delta y_c$ равно нулю.

$\Delta y_c = \frac{M\Delta Y + m\Delta y}{M+m} = 0$

где $\Delta Y$ — перемещение шара относительно Земли, а $\Delta y$ — перемещение человека относительно Земли. Из этого уравнения следует:

$M\Delta Y + m\Delta y = 0$

Предположим, что человек поднялся на высоту $h$ относительно лестницы. Тогда его перемещение относительно Земли $\Delta y$ будет равно сумме перемещения самого шара с лестницей $\Delta Y$ и перемещения человека относительно лестницы $h$:

$\Delta y = \Delta Y + h$

Подставим это выражение в уравнение сохранения положения центра масс:

$M\Delta Y + m(\Delta Y + h) = 0$

$M\Delta Y + m\Delta Y + mh = 0$

$(M+m)\Delta Y = -mh$

Отсюда перемещение шара:

$\Delta Y = -\frac{mh}{M+m}$

Так как массы $M$, $m$ и высота подъема $h$ являются положительными величинами, то перемещение шара $\Delta Y$ будет отрицательным. Знак «минус» указывает, что вектор перемещения шара направлен в сторону, противоположную оси $Y$, то есть вниз.

Ответ: Шар будет опускаться.

432. Две одинаковые тележки, на которых стоят два дворника с равными массами, движутся по инерции с одинаковыми скоростями параллельно друг другу. В некоторый момент времени на тележки начинает равномерно падать снег. Дворник, стоящий на одной тележке, всё время сбрасывает снег вбок, а дворник, стоящий на другой тележке, нет. Какая из тележек быстрее пройдёт одно и то же расстояние?

Дано:

Масса каждой тележки с дворником: $M$.
Начальная скорость тележек: $v_0$.
Тележки движутся по инерции, внешние горизонтальные силы (трение) отсутствуют.
Снег падает вертикально, его начальная горизонтальная скорость равна нулю.
Масса снега, падающего на тележку в единицу времени: $\mu$ (кг/с).

Найти:

Какая из тележек быстрее пройдет одно и то же расстояние $S$?

Решение:

Для того чтобы определить, какая тележка пройдет расстояние быстрее, необходимо сравнить их скорости через некоторое время после начала снегопада. Тележка, у которой скорость будет больше, пройдет то же расстояние за меньшее время.

Рассмотрим движение каждой тележки отдельно, используя закон сохранения импульса в горизонтальном направлении, так как в этом направлении не действуют внешние силы.

1. Тележка, на которой дворник не сбрасывает снег (тележка №2).

Системой тел здесь является «тележка + дворник + накопившийся снег». Масса этой системы постоянно увеличивается. Пусть в момент времени $t$ на тележке накопилась масса снега $m(t) = \mu t$. Общая масса системы стала $M+m(t)$. Поскольку снег падает вертикально, его горизонтальный импульс равен нулю. Начальный импульс системы (до снегопада) был $P_0 = M v_0$. В момент времени $t$ импульс системы равен $P_2(t) = (M+m(t))v_2(t)$, где $v_2(t)$ — скорость тележки в этот момент. Согласно закону сохранения импульса в горизонтальном направлении: $P_0 = P_2(t)$ $M v_0 = (M+m(t)) v_2(t)$ Отсюда скорость второй тележки в момент времени $t$: $v_2(t) = v_0 \frac{M}{M+m(t)}$

2. Тележка, с которой дворник сбрасывает снег (тележка №1).

В этом случае система тел — это «тележка + дворник». Ее масса $M$ остается постоянной. Однако на эту систему действует внешняя горизонтальная сила со стороны снега. Рассмотрим небольшой промежуток времени $dt$. За это время на тележку падает масса снега $dm = \mu dt$. Тележка должна сообщить этой массе снега горизонтальную скорость, равную текущей скорости тележки $v_1(t)$, чтобы затем сбросить его вбок. Для того чтобы ускорить массу снега $dm$ от 0 до скорости $v_1(t)$, тележка действует на него с силой, сообщая ему импульс $dp_{снега} = dm \cdot v_1(t)$. Согласно третьему закону Ньютона, снег действует на тележку с такой же по модулю и противоположной по направлению силой (силой торможения). Импульс этой силы, действующей на тележку, равен $dP_{торм} = -dp_{снега} = -dm \cdot v_1(t)$. Этот импульс изменяет импульс тележки: $d P_1 = M \cdot dv_1 = -dm \cdot v_1(t)$ Разделив на $dt$, получим уравнение движения: $M \frac{dv_1}{dt} = -\frac{dm}{dt} v_1(t) = -\mu v_1(t)$ Решая это дифференциальное уравнение, находим зависимость скорости от времени или от массы упавшего снега $m(t) = \mu t$: $\frac{dv_1}{v_1} = -\frac{\mu}{M} dt$ Интегрируя, получаем: $\int_{v_0}^{v_1} \frac{dv_1}{v_1} = -\int_0^t \frac{\mu}{M} dt \implies \ln\frac{v_1}{v_0} = -\frac{\mu t}{M} = -\frac{m(t)}{M}$ Отсюда скорость первой тележки в момент времени $t$: $v_1(t) = v_0 e^{-m(t)/M}$

Сравнение скоростей.

Теперь сравним скорости тележек $v_1(t)$ и $v_2(t)$ в один и тот же момент времени $t > 0$ (когда $m(t) > 0$). $v_1(t) = v_0 e^{-m(t)/M}$
$v_2(t) = v_0 \frac{M}{M+m(t)} = v_0 \frac{1}{1 + m(t)/M}$
Обозначим $x = m(t)/M > 0$. Нам нужно сравнить $e^{-x}$ и $\frac{1}{1+x}$. Известно математическое неравенство $e^x > 1+x$ для всех $x > 0$. Из этого неравенства следует, что $e^{-x} < \frac{1}{1+x}$. Таким образом, для любого момента времени $t>0$: $e^{-m(t)/M} < \frac{1}{1 + m(t)/M}$ $v_0 e^{-m(t)/M} < v_0 \frac{1}{1 + m(t)/M}$ $v_1(t) < v_2(t)$

Вывод: скорость тележки, с которой сбрасывают снег, в любой момент времени оказывается меньше скорости тележки, на которой снег накапливается. Следовательно, тележка, которая не избавляется от снега, пройдет то же самое расстояние быстрее.

Ответ: Быстрее пройдет одно и то же расстояние та тележка, с которой дворник не сбрасывает снег.

* 433. Мальчик массой 50 кг перешёл с кормы стоящей лодки на её нос. В каком направлении и на какое расстояние переместится при этом лодка, если её масса равна 280 кг, а длина составляет 5 м? Сопротивлением воды пренебречь.

Дано:

$m = 50$ кг (масса мальчика)
$M = 280$ кг (масса лодки)
$L = 5$ м (длина лодки)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$S$ - расстояние, на которое переместится лодка, и направление этого перемещения.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из мальчика и лодки. В условии сказано, что сопротивлением воды можно пренебречь. Это означает, что на систему в горизонтальном направлении не действуют внешние силы. Поскольку изначально система (лодка с мальчиком) находилась в состоянии покоя, её центр масс не будет перемещаться и после того, как мальчик начнёт движение.

Введём систему отсчёта, связанную с водой (берегом). Пусть ось $OX$ направлена от кормы к носу лодки. Перемещение мальчика относительно воды обозначим как $s_м$, а перемещение лодки — как $s_л$.

Поскольку центр масс системы не смещается, его суммарное смещение равно нулю:

$m \cdot s_м + M \cdot s_л = 0$

Отсюда можно выразить перемещение мальчика относительно воды через перемещение лодки:

$s_м = - \frac{M}{m} s_л$

Мальчик перешёл с кормы на нос, то есть он переместился относительно лодки на расстояние, равное её длине $L$. Перемещение мальчика относительно лодки ($s_{м/л}$) равно разности его перемещения относительно воды и перемещения лодки относительно воды:

$s_{м/л} = s_м - s_л = L$

Подставим в это уравнение выражение для $s_м$:

$- \frac{M}{m} s_л - s_л = L$

Вынесем $s_л$ за скобки:

$-s_л (\frac{M}{m} + 1) = L$

$-s_л (\frac{M+m}{m}) = L$

Отсюда находим перемещение лодки $s_л$:

$s_л = - \frac{m \cdot L}{M+m}$

Знак «минус» указывает на то, что лодка движется в направлении, противоположном движению мальчика (то есть в сторону кормы). Расстояние $S$, на которое переместится лодка, является модулем этого перемещения:

$S = |s_л| = \frac{m \cdot L}{M+m}$

Подставим числовые значения:

$S = \frac{50 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м}}{280 \text{ кг} + 50 \text{ кг}} = \frac{250}{330} \text{ м} = \frac{25}{33} \text{ м} \approx 0.76 \text{ м}$

Таким образом, лодка переместится в сторону, противоположную движению мальчика.

Ответ: Лодка переместится на расстояние приблизительно $0.76$ м в направлении, противоположном движению мальчика (в сторону кормы).

* 434. На одном конце доски массой $M$, находящейся на поверхности воды, сидит лягушка (рис. 90). С какой наименьшей скоростью должна прыгнуть лягушка, чтобы попасть в точку $B$? Расстояние между точками $A$ и $B$ равно $l$, масса лягушки $m$. Трением между доской и водой пренебречь.

Рис. 90

Дано:

Масса доски: $M$

Масса лягушки: $m$

Расстояние между точками A и B (длина доски): $l$

Все величины заданы в общем виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Наименьшую скорость прыжка лягушки $v_{min}$.

Решение:

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью воды. Так как по условию трением между доской и водой можно пренебречь, система тел «лягушка + доска» является замкнутой в горизонтальном направлении. Это означает, что для этой системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

До прыжка лягушка и доска покоились, поэтому суммарный импульс системы был равен нулю. Следовательно, и после прыжка он останется равным нулю.

Пусть лягушка прыгает со скоростью $\vec{v}$ относительно воды, а доска приобретает скорость $\vec{V}$. Направим ось OX в сторону прыжка лягушки. Закон сохранения импульса в проекции на эту ось имеет вид:

$m v_x + M V_x = 0$

где $v_x$ – горизонтальная составляющая скорости лягушки, а $V_x$ – скорость доски (так как доска движется только горизонтально). Из этого уравнения выразим скорость доски:

$V_x = -\frac{m}{M} v_x$

Знак «минус» показывает, что доска движется в направлении, противоположном горизонтальному смещению лягушки.

Для того чтобы лягушка попала в точку B, за время ее полета $t$ она должна преодолеть горизонтальное расстояние $S_л = v_x t$. За это же время точка B доски сместится на расстояние $S_д = V_x t$. Начальное расстояние между лягушкой (в точке A) и точкой B равно $l$. Таким образом, в момент приземления их координаты должны совпасть:

$S_л = l + S_д$

$v_x t = l + V_x t$

Подставим в это уравнение выражение для $V_x$:

$v_x t = l - \frac{m}{M} v_x t$

Перенесем слагаемое со скоростью в левую часть:

$v_x t \left(1 + \frac{m}{M}\right) = l \implies v_x t \left(\frac{M+m}{M}\right) = l$

Отсюда найдем дальность полета лягушки $S_л = v_x t$ в системе отсчета, связанной с водой:

$S_л = l \frac{M}{M+m}$

Дальность полета тела, брошенного со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, определяется по формуле:

$S_л = \frac{v^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $g$ – ускорение свободного падения. Из этой формулы выразим скорость $v$:

$v^2 = \frac{g S_л}{\sin(2\alpha)}$

Чтобы скорость $v$ была наименьшей ($v_{min}$), значение $\sin(2\alpha)$ должно быть максимальным, то есть $\sin(2\alpha) = 1$. Это соответствует углу прыжка $\alpha = 45^\circ$.

При этом условии минимальная скорость будет равна:

$v_{min}^2 = g S_л$

$v_{min} = \sqrt{g S_л}$

Подставим ранее найденное выражение для дальности полета $S_л$:

$v_{min} = \sqrt{g l \frac{M}{M+m}}$

Ответ: $v_{min} = \sqrt{gl \frac{M}{M+m}}$