Страница 71 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

466. На рисунке 95 приведён график зависимости скорости $v$ велосипедиста от времени $t$. Как изменилась кинетическая энергия велосипедиста за первые $2 \text{ с}$ движения?

Рис. 95

Дано:

Из графика зависимости скорости от времени (Рис. 95) находим:

Начальная скорость велосипедиста (в момент времени $t_0 = 0$ c): $v_0 = 1$ м/с.

Конечная скорость велосипедиста (в момент времени $t = 2$ c): $v = 3$ м/с.

Найти:

Как изменилась кинетическая энергия за первые 2 с, то есть найти отношение $\frac{E_k}{E_{k0}}$.

Решение:

Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{m v^2}{2}$

где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

Начальная кинетическая энергия велосипедиста (при $t_0 = 0$ с) была равна:

$E_{k0} = \frac{m v_0^2}{2} = \frac{m \cdot (1 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{m}{2}$

Кинетическая энергия велосипедиста через 2 секунды (при $t = 2$ с) стала равна:

$E_k = \frac{m v^2}{2} = \frac{m \cdot (3 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{9m}{2}$

Чтобы найти, как изменилась кинетическая энергия, найдем отношение конечной кинетической энергии к начальной:

$\frac{E_k}{E_{k0}} = \frac{\frac{9m}{2}}{\frac{m}{2}} = 9$

Следовательно, кинетическая энергия велосипедиста увеличилась в 9 раз.

Ответ: кинетическая энергия велосипедиста увеличилась в 9 раз.

467. Почему при абсолютно упругом соударении шарика со стенкой импульс шарика изменяется, а кинетическая энергия остаётся прежней?

Рис. 95

Это различие обусловлено тем, что импульс и кинетическая энергия являются разными физическими величинами. Импульс — это векторная величина, а кинетическая энергия — скалярная.

Импульс — это векторная величина, которая определяется формулой $\vec{p} = m\vec{v}$, где $m$ — масса тела, а $\vec{v}$ — его вектор скорости. Векторная величина характеризуется не только числовым значением (модулем), но и направлением. При абсолютно упругом соударении шарика со стенкой, он отскакивает от нее, и направление его скорости меняется на противоположное. Если до удара скорость шарика была $\vec{v}$, то после удара она становится $-\vec{v}$. Следовательно, импульс шарика также меняет свое направление: импульс до удара $\vec{p}_1 = m\vec{v}$, а после удара $\vec{p}_2 = m(-\vec{v}) = -m\vec{v}$. Поскольку вектор импульса изменил свое направление, это означает, что сам импульс изменился. Изменение импульса равно $\Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = -m\vec{v} - m\vec{v} = -2m\vec{v}$, что не равно нулю.

Кинетическая энергия — это скалярная величина, которая не имеет направления и определяется формулой $E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $v$ — это модуль скорости (или скорость как скаляр). По определению, при абсолютно упругом ударе кинетическая энергия системы сохраняется. В случае удара о массивную неподвижную стенку, модуль скорости шарика не изменяется, то есть $|v_{до}| = |v_{после}| = v$. Так как ни масса шарика, ни модуль его скорости не изменились, его кинетическая энергия остается прежней. Энергия до удара $E_{k1} = \frac{mv^2}{2}$ и энергия после удара $E_{k2} = \frac{m(-v)^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$. Таким образом, $E_{k1} = E_{k2}$.

В итоге, изменение направления движения при столкновении является причиной изменения векторной величины (импульса), но не влияет на скалярную величину (кинетическую энергию), если модуль скорости остается постоянным.

Ответ: Импульс является векторной величиной, поэтому он изменяется, так как при отскоке от стенки меняется направление вектора скорости шарика. Кинетическая энергия является скалярной величиной и зависит от квадрата модуля скорости. Поскольку при абсолютно упругом ударе модуль скорости шарика не меняется, его кинетическая энергия остается прежней.

468. На пружине подвешен груз массой 300 кг, под действием которого она удлинилась на 6 см. Определите потенциальную энергию деформированной пружины.

Дано

$m = 300$ кг

$\Delta x = 6$ см $= 0.06$ м

$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$E_п$ - ?

Решение

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется по формуле:

$E_п = \frac{k (\Delta x)^2}{2}$

где $k$ – жесткость пружины, а $\Delta x$ – ее удлинение.

Жесткость пружины $k$ неизвестна, но ее можно найти из условия равновесия груза. Когда груз подвешен на пружине и находится в покое, сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$, действующую на груз.

$F_{упр} = F_{тяж}$

Согласно закону Гука, сила упругости равна $F_{упр} = k \Delta x$. Сила тяжести равна $F_{тяж} = mg$.

Таким образом, мы получаем равенство:

$k \Delta x = mg$

Теперь можно преобразовать формулу для потенциальной энергии, чтобы выразить ее через известные величины:

$E_п = \frac{k (\Delta x)^2}{2} = \frac{(k \Delta x) \cdot \Delta x}{2}$

Подставим в это выражение $mg$ вместо $k \Delta x$:

$E_п = \frac{mg \Delta x}{2}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:

$E_п = \frac{300 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.06 \text{ м}}{2} = \frac{176.4}{2} = 88.2$ Дж

Ответ: $E_п = 88.2$ Дж.

469. Небольшое тело массой 200 г свободно соскальзывает вниз по гладкой наклонной плоскости вдоль оси X. В таблице приведены значения проекции $v_x$ скорости этого тела в различные моменты времени $t$.

$t$, с: 0, 1, 2, 3, 4

$v_x$, М/с: 0, 0,5, 1, 1,5, 2

Какую работу совершит сила тяжести к моменту, к которому тело пройдёт путь 1 м?

Дано:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

$S = 1 \text{ м}$

Зависимость проекции скорости $v_x$ от времени $t$ дана в таблице.

Найти:

$A_g$ — работу силы тяжести.

Решение:

1. Проанализируем движение тела по данным из таблицы. Зависимость проекции скорости от времени линейная ($v_x = 0.5t$), что указывает на равноускоренное движение с постоянным ускорением. Начальная скорость тела равна нулю, так как при $t=0$, $v_x=0$.

Найдем ускорение тела $a_x$:

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}$

Возьмем, например, промежуток времени от $t_1=0 \text{ с}$ до $t_2=2 \text{ с}$:

$a_x = \frac{v_x(t_2) - v_x(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{1 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{2 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 0.5 \text{ м/с}^2$

Таким образом, тело движется с постоянным ускорением $a = 0.5 \text{ м/с}^2$.

2. Работу силы тяжести можно найти, используя теорему о кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии:

$A_{нет} = \Delta K = K_{конечная} - K_{начальная}$

На тело действуют две силы: сила тяжести $F_g$ и сила нормальной реакции опоры $N$ (так как плоскость гладкая, сила трения отсутствует). Суммарная работа равна сумме работ этих сил:

$A_{нет} = A_g + A_N$

Сила нормальной реакции опоры $N$ перпендикулярна направлению движения (смещения) тела, поэтому ее работа равна нулю ($A_N = 0$). Следовательно, полная работа равна работе силы тяжести:

$A_{нет} = A_g$

3. Начальная скорость тела $v_0 = 0$, поэтому начальная кинетическая энергия $K_{начальная} = \frac{mv_0^2}{2} = 0$.

Тогда теорема о кинетической энергии принимает вид:

$A_g = K_{конечная} = \frac{mv^2}{2}$

где $v$ — скорость тела в тот момент, когда оно прошло путь $S = 1 \text{ м}$.

4. Найдем квадрат скорости $v^2$ тела после того, как оно прошло путь $S$, используя формулу для равноускоренного движения без времени:

$S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Поскольку $v_0 = 0$, получаем:

$v^2 = 2aS$

5. Подставим выражение для $v^2$ в формулу для работы силы тяжести:

$A_g = \frac{m(2aS)}{2} = maS$

Теперь подставим числовые значения:

$A_g = 0.2 \text{ кг} \cdot 0.5 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м} = 0.1 \text{ Дж}$

Ответ: работа, совершенная силой тяжести, равна $0.1 \text{ Дж}$.

470. Автомобиль массой 1 т перемещается из точки A в точку B, а затем в точку C (рис. 96). Определите потенциальную энергию автомобиля в точках B и C относительно точки A.

Рис. 96

Дано:

Масса автомобиля, $m = 1 \text{ т}$
Высота точки B относительно точки A, $h_B = 5 \text{ м}$
Высота точки C относительно точки A, $h_C = -7 \text{ м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:

$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

Найти:

$E_{pB}$ - ?

$E_{pC}$ - ?

Решение:

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли вычисляется по формуле:

$E_p = mgh$

где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота тела над нулевым уровнем. В данной задаче за нулевой уровень потенциальной энергии принимается точка A.

Потенциальная энергия автомобиля в точке B

Точка B находится на высоте $h_B = 5 \text{ м}$ относительно точки A. Рассчитаем потенциальную энергию в этой точке:

$E_{pB} = m \cdot g \cdot h_B = 1000 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5 \text{ м} = 49000 \text{ Дж}$

Переведем джоули в килоджоули: $49000 \text{ Дж} = 49 \text{ кДж}$.

Ответ: Потенциальная энергия автомобиля в точке B равна $49 \text{ кДж}$.

Потенциальная энергия автомобиля в точке C

Точка C находится на 7 м ниже точки A, поэтому ее высота относительно нулевого уровня будет отрицательной: $h_C = -7 \text{ м}$. Рассчитаем потенциальную энергию в этой точке:

$E_{pC} = m \cdot g \cdot h_C = 1000 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (-7 \text{ м}) = -68600 \text{ Дж}$

Переведем джоули в килоджоули: $-68600 \text{ Дж} = -68.6 \text{ кДж}$.

Ответ: Потенциальная энергия автомобиля в точке C равна $-68.6 \text{ кДж}$.