Страница 76 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

501. Трамвай массой 12 т движется с постоянной скоростью 15 км/ч. На каком расстоянии от остановки необходимо начать торможение? Через какое время трамвай остановится? Силу сопротивления движению принять равной 18 кН.

Дано:

Масса трамвая, $m = 12 \, \text{т}$
Начальная скорость, $v_0 = 15 \, \text{км/ч}$
Сила сопротивления (тормозящая сила), $F = 18 \, \text{кН}$
Конечная скорость, $v = 0$

$m = 12 \cdot 1000 = 12000 \, \text{кг}$
$v_0 = 15 \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3600 \, \text{с}} = \frac{150}{36} \, \text{м/с} = \frac{25}{6} \, \text{м/с}$
$F = 18 \cdot 1000 = 18000 \, \text{Н}$

Найти:

Тормозной путь, $s - ?$
Время торможения, $t - ?$

Решение:

Движение трамвая во время торможения является равнозамедленным. Сила сопротивления $F$ сообщает трамваю ускорение $a$, направленное против движения. Согласно второму закону Ньютона, модуль этого ускорения (замедления) равен:

$a = \frac{F}{m}$

$a = \frac{18000 \, \text{Н}}{12000 \, \text{кг}} = 1.5 \, \text{м/с}^2$

На каком расстоянии от остановки необходимо начать торможение?

Для равнозамедленного движения тормозной путь $s$ можно найти по формуле, связывающей начальную $v_0$ и конечную $v$ скорости с ускорением $a$. Так как конечная скорость $v = 0$, а ускорение направлено против движения (т.е. замедление), формула выглядит так:

$s = \frac{v_0^2}{2a}$

Подставим числовые значения:

$s = \frac{(\frac{25}{6} \, \text{м/с})^2}{2 \cdot 1.5 \, \text{м/с}^2} = \frac{\frac{625}{36} \, \text{м}^2/\text{с}^2}{3 \, \text{м/с}^2} = \frac{625}{36 \cdot 3} \, \text{м} = \frac{625}{108} \, \text{м} \approx 5.79 \, \text{м}$

Ответ: торможение необходимо начать на расстоянии примерно 5.79 м от остановки.

Через какое время трамвай остановится?

Время торможения $t$ можно найти из формулы для скорости при равнозамедленном движении: $v = v_0 - at$. Поскольку конечная скорость $v = 0$:

$0 = v_0 - at \implies t = \frac{v_0}{a}$

Подставим значения:

$t = \frac{\frac{25}{6} \, \text{м/с}}{1.5 \, \text{м/с}^2} = \frac{25}{6 \cdot 1.5} \, \text{с} = \frac{25}{9} \, \text{с} \approx 2.78 \, \text{с}$

Ответ: трамвай остановится через примерно 2.78 с.

502. Масса ребёнка вместе с санками $20 \text{ кг}$. Коэффициент трения санок о снег $0,1$.
а) Какую работу должна совершить сила, направленная вдоль наклонной плоскости, чтобы втащить санки на горку длиной $100 \text{ м}$ и углом наклона $30^\circ$?
б) Чему будет равна скорость санок у основания наклонной плоскости, если дать им свободно скатываться вниз?

Дано:

$m = 20$ кг
$\mu = 0,1$
$L = 100$ м
$\alpha = 30^\circ$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) $A$ - ?
б) $v$ - ?

Решение:

а) Какую работу должна совершить сила, направленная вдоль наклонной плоскости, чтобы втащить санки на горку длиной 100 м и углом наклона 30°?

Чтобы втащить санки на горку с постоянной скоростью, прикладываемая сила $F$ должна уравновесить сумму проекции силы тяжести на наклонную плоскость $F_{т\parallel}$ и силы трения скольжения $F_{тр}$.

Силы, действующие на санки вдоль наклонной плоскости:

1. Проекция силы тяжести: $F_{т\parallel} = mg \sin(\alpha)$.
2. Сила трения: $F_{тр} = \mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости $N = mg \cos(\alpha)$. Таким образом, $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$.

При равномерном подъеме прикладываемая сила $F$ равна:

$F = F_{т\parallel} + F_{тр} = mg \sin(\alpha) + \mu mg \cos(\alpha) = mg(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$

Работа $A$, совершаемая этой силой на пути $L$, определяется как:

$A = F \cdot L = mgL(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$

Подставим числовые значения, учитывая, что $\sin(30^\circ) = 0,5$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$:

$A = 20 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 100 \text{ м} \cdot (0,5 + 0,1 \cdot 0,866)$

$A = 20000 \cdot (0,5 + 0,0866) = 20000 \cdot 0,5866 = 11732$ Дж.

Ответ: работа, которую должна совершить сила, составляет $11732 \text{ Дж}$ или примерно $11,7 \text{ кДж}$.

б) Чему будет равна скорость санок у основания наклонной плоскости, если дать им свободно скатываться вниз?

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Начальная энергия санок на вершине горы (потенциальная энергия) переходит в кинетическую энергию у основания, при этом часть энергии расходуется на работу против силы трения.

Начальная энергия системы (на вершине горы высотой $h$):
$E_{нач} = E_p = mgh$
Высота горы $h$ связана с длиной склона $L$ и углом наклона $\alpha$: $h = L \sin(\alpha)$.

Конечная энергия системы (у основания):
$E_{кон} = E_k = \frac{mv^2}{2}$

Работа силы трения $A_{тр}$ при скатывании вниз:
$A_{тр} = F_{тр} \cdot L = (\mu mg \cos(\alpha)) \cdot L$

Согласно закону сохранения энергии с учетом неконсервативных сил:
$E_{нач} = E_{кон} + A_{тр}$
$mgh = \frac{mv^2}{2} + \mu mgL \cos(\alpha)$

Подставим $h = L \sin(\alpha)$ в уравнение:
$mgL \sin(\alpha) = \frac{mv^2}{2} + \mu mgL \cos(\alpha)$

Сократим обе части уравнения на массу $m$:
$gL \sin(\alpha) = \frac{v^2}{2} + \mu gL \cos(\alpha)$

Выразим $v^2$:
$\frac{v^2}{2} = gL \sin(\alpha) - \mu gL \cos(\alpha) = gL(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$
$v^2 = 2gL(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Отсюда скорость $v$ равна:
$v = \sqrt{2gL(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}$

Подставим числовые значения:
$v = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 100 \text{ м} \cdot (0,5 - 0,1 \cdot 0,866)}$
$v = \sqrt{2000 \cdot (0,5 - 0,0866)} = \sqrt{2000 \cdot 0,4134} = \sqrt{826,8} \approx 28,75 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость санок у основания наклонной плоскости будет равна примерно $28,75 \text{ м/с}$.

503. Тело массой $m$ спустилось по наклонной плоскости без трения с высоты $h$. Какова скорость тела в конце движения? Какова была бы скорость этого тела, если бы оно свободно упало на землю с высоты $h$?

Дано:

Масса тела: $m$
Начальная высота: $h$
Начальная скорость: $v_0 = 0$
Трение отсутствует.

Найти:

$v_{накл}$ – скорость тела в конце спуска по наклонной плоскости;
$v_{своб}$ – скорость тела при свободном падении с той же высоты.

Решение:

В обоих случаях на тело действуют только консервативные силы (сила тяжести и сила реакции опоры, которая не совершает работы), так как трение отсутствует. Следовательно, для обоих случаев можно применить закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия тела $E$ равна сумме его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий: $E = E_k + E_p$.

Какова скорость тела в конце движения?

Рассмотрим движение тела по наклонной плоскости.
В начальный момент времени (на высоте $h$) тело покоится, поэтому его начальная скорость $v_0 = 0$.
Начальная кинетическая энергия: $E_{k1} = \frac{m v_0^2}{2} = 0$.
Начальная потенциальная энергия (относительно нулевого уровня у основания плоскости): $E_{p1} = mgh$.
Полная начальная энергия: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = mgh$.
В конечный момент времени (у основания наклонной плоскости) высота тела равна нулю, а его скорость равна $v_{накл}$.
Конечная потенциальная энергия: $E_{p2} = 0$.
Конечная кинетическая энергия: $E_{k2} = \frac{m v_{накл}^2}{2}$.
Полная конечная энергия: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{m v_{накл}^2}{2}$.
Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:
$mgh = \frac{m v_{накл}^2}{2}$
Сократим массу $m$:
$gh = \frac{v_{накл}^2}{2}$
Выразим скорость $v_{накл}$:
$v_{накл}^2 = 2gh$
$v_{накл} = \sqrt{2gh}$

Ответ: Скорость тела в конце движения по наклонной плоскости равна $v = \sqrt{2gh}$.

Какова была бы скорость этого тела, если бы оно свободно упало на землю с высоты h?

Рассмотрим свободное падение тела с высоты $h$.
Начальные условия такие же: тело покоится на высоте $h$.
Полная начальная энергия: $E_1 = mgh$.
В конечный момент времени (непосредственно перед касанием земли) высота тела равна нулю, а его скорость равна $v_{своб}$.
Полная конечная энергия: $E_2 = \frac{m v_{своб}^2}{2}$.
По закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:
$mgh = \frac{m v_{своб}^2}{2}$
Это уравнение идентично предыдущему случаю. Решая его относительно $v_{своб}$, получаем:
$v_{своб} = \sqrt{2gh}$
Как видно, конечная скорость не зависит от траектории движения, а только от начальной высоты (при отсутствии сил сопротивления).

Ответ: Скорость тела при свободном падении была бы такой же и равна $v = \sqrt{2gh}$.

504. Тело брошено под углом $ \alpha $ к горизонту с начальной скоростью $ v_0 $. На какой высоте его кинетическая и потенциальная энергии будут равны?

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$

Угол броска к горизонту: $\alpha$

Найти:

Высота $h$ — ?

Решение:

Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Полная механическая энергия тела $E$ в любой точке траектории остается постоянной и равной сумме его кинетической $E_к$ и потенциальной $E_п$ энергий.

$E = E_к + E_п = \text{const}$

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность земли ($h=0$). В начальный момент времени тело находится на земле и обладает начальной скоростью $v_0$. Его полная энергия равна:

$E_0 = E_{к0} + E_{п0} = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_0^2$

где $m$ — масса тела.

На искомой высоте $h$ полная энергия тела будет равна:

$E_h = E_к + E_п$

где $E_к$ — кинетическая энергия на высоте $h$, а $E_п = mgh$ — потенциальная энергия на высоте $h$.

По условию задачи, на этой высоте кинетическая и потенциальная энергии равны:

$E_к = E_п$

Подставим это равенство в выражение для полной энергии на высоте $h$:

$E_h = E_п + E_п = 2E_п = 2mgh$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в начальный момент времени равна полной энергии на высоте $h$:

$E_0 = E_h$

$\frac{1}{2}mv_0^2 = 2mgh$

Теперь выразим искомую высоту $h$. Для этого разделим обе части уравнения на $2mg$ (масса $m$ сокращается):

$h = \frac{\frac{1}{2}v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}$

Полученное выражение показывает, что высота, на которой кинетическая энергия равна потенциальной, зависит только от квадрата начальной скорости и не зависит от угла броска $\alpha$.

Ответ:

Высота, на которой кинетическая и потенциальная энергии тела будут равными, составляет $h = \frac{v_0^2}{4g}$.

* 505. Прыгун в воду отталкивается от трамплина и приобретает скорость $5 \text{ м/с}$. Определите скорость входа в воду спортсмена, если высота трамплина равна $5 \text{ м}$.

Дано

Начальная скорость спортсмена: $v_0 = 5$ м/с
Высота трамплина: $h = 5$ м
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Скорость входа в воду: $v$

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. При движении спортсмена после отталкивания от трамплина его полная механическая энергия сохраняется, так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха. Полная механическая энергия $E$ является суммой кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

где $m$ – масса спортсмена, $v$ – его скорость, $h$ – высота над поверхностью воды.

За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность воды.

В начальный момент времени (сразу после отталкивания от трамплина) полная механическая энергия спортсмена $E_0$ равна:

$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} + mgh$

В конечный момент времени (непосредственно перед входом в воду) высота спортсмена равна нулю ($h_{кон} = 0$), а его скорость равна искомой скорости $v$. Полная механическая энергия в этот момент $E_{кон}$ равна:

$E_{кон} = \frac{mv^2}{2} + mg \cdot 0 = \frac{mv^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия равна конечной:

$E_0 = E_{кон}$

$\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2}$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:

$\frac{v_0^2}{2} + gh = \frac{v^2}{2}$

Умножим обе части на 2 и выразим $v$:

$v^2 = v_0^2 + 2gh$

$v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи. Примем ускорение свободного падения $g = 10$ м/с² для упрощения расчетов.

$v = \sqrt{5^2 + 2 \cdot 10 \cdot 5} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125}$

$v = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \approx 11,2$ м/с

Ответ: скорость входа спортсмена в воду составляет примерно $11,2$ м/с.

* 506. Тело массой $m$ соскальзывает с полусферы радиусом $R$ (рис. 103). Найдите силу давления тела на поверхность полусферы в положении $M$, соответствующем углу $\alpha$. На какой высоте $h$ от вершины тело оторвётся от поверхности полусферы? Трение не учитывать.

Рис. 103

Дано:

Масса тела: $m$
Радиус полусферы: $R$
Трение отсутствует.

Найти:

1. Силу давления $P$ тела на поверхность полусферы в положении М.
2. Высоту $h$ от вершины, на которой тело оторвётся от поверхности.

Решение:

Найдите силу давления тела на поверхность полусферы в положении М, соответствующем углу α.

Рассмотрим тело в положении $M$, которое определяется углом $\alpha$ от вертикали. На тело действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно поверхности (по радиусу от центра полусферы). Согласно третьему закону Ньютона, сила давления $P$, которую тело оказывает на поверхность, равна по модулю силе нормальной реакции опоры: $P = N$.

Запишем второй закон Ньютона для тела в проекции на радиальную ось, направленную к центру полусферы. Равнодействующая сил в этом направлении сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = v^2/R$, где $v$ – скорость тела в точке $M$.

Проекция силы тяжести на радиальную ось равна $mg \cos{\alpha}$. Сила реакции опоры $N$ направлена в противоположную сторону. Таким образом, уравнение движения имеет вид:

$mg \cos{\alpha} - N = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos{\alpha} - m \frac{v^2}{R}$

Скорость тела $v$ в точке $M$ найдем из закона сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии вершину полусферы. Поскольку тело соскальзывает из состояния покоя, его начальная скорость и начальная полная механическая энергия равны нулю.

$E_{начальная} = 0$

В положении $M$ тело опускается по вертикали на высоту $h_{\alpha} = R - R \cos{\alpha} = R(1 - \cos{\alpha})$. Его потенциальная энергия становится равной $E_п = -mgh_{\alpha} = -mgR(1 - \cos{\alpha})$, а кинетическая энергия $E_к = \frac{mv^2}{2}$.

По закону сохранения энергии $E_{начальная} = E_п + E_к$:

$0 = -mgR(1 - \cos{\alpha}) + \frac{mv^2}{2}$

Из этого уравнения выразим квадрат скорости $v^2$:

$\frac{mv^2}{2} = mgR(1 - \cos{\alpha}) \implies v^2 = 2gR(1 - \cos{\alpha})$

Теперь подставим найденное выражение для $v^2$ в формулу для $N$:

$N = mg \cos{\alpha} - m \frac{2gR(1 - \cos{\alpha})}{R} = mg \cos{\alpha} - 2mg(1 - \cos{\alpha})$

$N = mg \cos{\alpha} - 2mg + 2mg \cos{\alpha} = 3mg \cos{\alpha} - 2mg = mg(3\cos{\alpha} - 2)$

Так как $P = N$, то сила давления равна:

Ответ: $P = mg(3\cos{\alpha} - 2)$.

На какой высоте h от вершины тело оторвётся от поверхности полусферы?

Отрыв тела от поверхности происходит в тот момент, когда сила взаимодействия между телом и поверхностью исчезает. Это означает, что сила нормальной реакции опоры $N$ (и, соответственно, сила давления $P$) становится равной нулю.

Приравняем полученное выражение для $N$ к нулю:

$N = mg(3\cos{\alpha} - 2) = 0$

Поскольку масса $m$ и ускорение свободного падения $g$ не равны нулю, должно выполняться условие:

$3\cos{\alpha} - 2 = 0 \implies \cos{\alpha} = \frac{2}{3}$

Это косинус угла, при котором тело отрывается от поверхности. Высота $h$ от вершины, на которую опускается тело к этому моменту, связана с углом $\alpha$ соотношением (согласно геометрии задачи):

$h = R - R \cos{\alpha} = R(1 - \cos{\alpha})$

Подставим найденное значение $\cos{\alpha}$ для момента отрыва в эту формулу:

$h = R\left(1 - \frac{2}{3}\right) = R \cdot \frac{1}{3} = \frac{R}{3}$

Ответ: $h = \frac{R}{3}$.

► 507. Галилей установил, что при скатывании шара с различных по длине и углу наклона плоскостей, имеющих одну и ту же высоту, шар имел одну и ту же скорость у основания наклонной плоскости. Объясните этот результат опыта.

Дано:

Шар скатывается с наклонных плоскостей различной длины $l$ и угла наклона $\alpha$.
Начальная скорость шара $v_0 = 0$.
Высота всех наклонных плоскостей одинакова: $h = \text{const}$.
Трение и сопротивление воздуха пренебрежимо малы.

Найти:

Объяснить, почему скорость шара $v$ у основания наклонной плоскости одинакова для всех случаев.

Решение:

Данное явление объясняется законом сохранения полной механической энергии. В системе, где действуют только консервативные силы (в данном случае сила тяжести), полная механическая энергия тела (сумма его кинетической и потенциальной энергии) сохраняется.

1. Энергия шара в начальном положении.

На вершине наклонной плоскости на высоте $h$ шар покоится, поэтому его начальная скорость $v_0=0$.Его начальная кинетическая энергия $E_{к0}$ равна нулю.Начальная потенциальная энергия $E_{п0}$ относительно основания плоскости равна:

$E_{п0} = mgh$

где $m$ — масса шара, а $g$ — ускорение свободного падения.

Полная начальная механическая энергия шара $E_0$ равна его потенциальной энергии:

$E_0 = E_{к0} + E_{п0} = 0 + mgh = mgh$

2. Энергия шара в конечном положении.

У основания наклонной плоскости высота шара равна нулю ($h=0$), поэтому его конечная потенциальная энергия $E_{п1}$ равна нулю.

При скатывании шар приобретает скорость $v$. Так как шар не скользит, а катится, его кинетическая энергия $E_{к1}$ складывается из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения:

$E_{к1} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

Здесь $I$ — момент инерции шара, а $\omega$ — его угловая скорость. Для сплошного шара момент инерции $I = \frac{2}{5}mr^2$. Условие качения без проскальзывания связывает линейную и угловую скорости: $v = \omega r$, откуда $\omega = v/r$.

Подставим эти выражения в формулу для кинетической энергии:

$E_{к1} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$

Полная конечная механическая энергия шара $E_1$ равна его кинетической энергии:

$E_1 = E_{к1} + E_{п1} = \frac{7}{10}mv^2 + 0 = \frac{7}{10}mv^2$

3. Применение закона сохранения энергии.

Полная механическая энергия сохраняется, поэтому $E_0 = E_1$.

$mgh = \frac{7}{10}mv^2$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:

$gh = \frac{7}{10}v^2$

Отсюда выразим скорость $v$:

$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

Как видно из полученного выражения, конечная скорость шара $v$ зависит только от начальной высоты $h$ и ускорения свободного падения $g$. Она не зависит ни от массы шара, ни от его радиуса, ни от длины или угла наклона плоскости. Поскольку по условию эксперимента высота $h$ была одинаковой для всех плоскостей, то и конечная скорость шара у основания оказывалась одной и той же.

Ответ: Результат опыта объясняется законом сохранения механической энергии. Начальная потенциальная энергия шара ($E_п = mgh$), определяемая высотой, при скатывании полностью преобразуется в его кинетическую энергию. Так как начальная высота $h$ во всех опытах была одинаковой, то и конечная кинетическая энергия, а следовательно, и скорость шара у основания плоскости, оказывались одинаковыми, независимо от длины и угла наклона плоскости.

► 508. Используя закон сохранения энергии, решите задачу Гюйгенса: докажите, что «подвешенный на нити к центру вертикального круга шар не может вращаться по этому кругу, если нить не в состоянии выдержать силу натяжения, превышающую вес шара в 6 раз».

Дано:

$T_{пред}$ — предельная сила натяжения нити.
$P = mg$ — вес шара.
Условие: нить не выдерживает силу $T$, превышающую $6P$. Это означает, что $T_{пред} \le 6mg$.

Найти:

Доказать, что шар не может вращаться по этому кругу.

Решение:

Рассмотрим движение шара массой $m$ на нити длиной $R$ в вертикальной плоскости. На шар действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к центру вращения.

Запишем второй закон Ньютона для шара в проекции на радиальное направление (направленное к центру окружности). Пусть $\theta$ — угол между нитью и вертикалью, отсчитываемый от нижнего положения.

$T - mg \cos\theta = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда выразим силу натяжения нити:

$T = mg \cos\theta + \frac{mv^2}{R}$

Сила натяжения нити $T$ будет максимальной, когда оба слагаемых в правой части максимальны. Это происходит в нижней точке траектории, где $\theta = 0$ (следовательно, $\cos\theta = 1$) и скорость $v$ максимальна (согласно закону сохранения энергии, так как потенциальная энергия в этой точке минимальна). Таким образом, максимальная сила натяжения за весь цикл движения возникает в нижней точке:

$T_{max\_motion} = mg + \frac{mv_{н}^2}{R}$

где $v_{н}$ — скорость шара в нижней точке.

Для того чтобы шар совершил полный оборот, нить должна оставаться натянутой во всех точках траектории. Критическим является условие в верхней точке, где натяжение минимально. Условием прохождения верхней точки является $T_{в} \ge 0$.

В верхней точке $\theta = \pi$ и $\cos\theta = -1$. Запишем второй закон Ньютона для верхней точки:

$T_{в} + mg = \frac{mv_{в}^2}{R}$

Из условия $T_{в} \ge 0$ получаем минимально необходимую скорость в верхней точке для совершения полного оборота:

$\frac{mv_{в}^2}{R} - mg \ge 0 \implies v_{в}^2 \ge gR$

Минимальная скорость в верхней точке равна $v_{в, min} = \sqrt{gR}$.

Теперь применим закон сохранения механической энергии, чтобы связать скорости в нижней ($v_{н}$) и верхней ($v_{в}$) точках. Примем потенциальную энергию в нижней точке равной нулю. Тогда в верхней точке на высоте $2R$ она будет равна $mg \cdot 2R$.

$\frac{mv_{н}^2}{2} = \frac{mv_{в}^2}{2} + 2mgR$

Подставим сюда минимально необходимое значение скорости в верхней точке ($v_{в, min}^2 = gR$), чтобы найти соответствующую минимальную скорость в нижней точке, при которой шар еще может совершить полный оборот:

$\frac{mv_{н, min}^2}{2} = \frac{m(gR)}{2} + 2mgR \implies v_{н, min}^2 = gR + 4gR = 5gR$

Теперь найдем, какой будет сила натяжения в нижней точке при этой минимальной скорости:

$T_{н, min} = mg + \frac{mv_{н, min}^2}{R} = mg + \frac{m(5gR)}{R} = mg + 5mg = 6mg$

Это минимальное значение максимальной силы натяжения. Если начальная скорость будет больше, то и натяжение в нижней точке будет больше $6mg$. Таким образом, для совершения вращения по кругу необходимо, чтобы нить выдерживала натяжение как минимум $6mg$. То есть требуемое для вращения натяжение $T_{треб} \ge 6mg$.

По условию задачи, нить не в состоянии выдержать силу натяжения, превышающую вес шара в 6 раз. Это означает, что предельная (максимально допустимая) сила натяжения $T_{пред} \le 6mg$.

Сравнивая два условия, получаем, что для вращения необходимо $T_{треб} \ge 6mg$, а нить выдерживает только $T_{пред} \le 6mg$. Эти условия совместимы только в одном идеальном случае, когда $T_{треб} = T_{пред} = 6mg$. В реальности невозможно сообщить шару в точности такую скорость, чтобы это равенство выполнялось. Любое, даже самое малое, превышение скорости приведет к разрыву нити, а при меньшей скорости шар не совершит полного оборота. Следовательно, устойчивое вращение шара невозможно.

Ответ:

Для совершения полного оборота в вертикальной плоскости сила натяжения нити в нижней точке траектории должна быть не менее чем в 6 раз больше веса шара ($T_{треб} \ge 6mg$). По условию, нить не выдерживает натяжения, превышающего вес шара в 6 раз ($T_{пред} \le 6mg$). Так как минимально необходимое для вращения натяжение равно предельному натяжению нити, а любое его превышение приведет к разрыву, устойчивое вращение невозможно.