Номер 503, страница 76 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 503, страница 76.

503. Тело массой $m$ спустилось по наклонной плоскости без трения с высоты $h$. Какова скорость тела в конце движения? Какова была бы скорость этого тела, если бы оно свободно упало на землю с высоты $h$?

Дано:

Масса тела: $m$
Начальная высота: $h$
Начальная скорость: $v_0 = 0$
Трение отсутствует.

Найти:

$v_{накл}$ – скорость тела в конце спуска по наклонной плоскости;
$v_{своб}$ – скорость тела при свободном падении с той же высоты.

Решение:

В обоих случаях на тело действуют только консервативные силы (сила тяжести и сила реакции опоры, которая не совершает работы), так как трение отсутствует. Следовательно, для обоих случаев можно применить закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия тела $E$ равна сумме его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий: $E = E_k + E_p$.

Какова скорость тела в конце движения?

Рассмотрим движение тела по наклонной плоскости.
В начальный момент времени (на высоте $h$) тело покоится, поэтому его начальная скорость $v_0 = 0$.
Начальная кинетическая энергия: $E_{k1} = \frac{m v_0^2}{2} = 0$.
Начальная потенциальная энергия (относительно нулевого уровня у основания плоскости): $E_{p1} = mgh$.
Полная начальная энергия: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = mgh$.
В конечный момент времени (у основания наклонной плоскости) высота тела равна нулю, а его скорость равна $v_{накл}$.
Конечная потенциальная энергия: $E_{p2} = 0$.
Конечная кинетическая энергия: $E_{k2} = \frac{m v_{накл}^2}{2}$.
Полная конечная энергия: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{m v_{накл}^2}{2}$.
Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:
$mgh = \frac{m v_{накл}^2}{2}$
Сократим массу $m$:
$gh = \frac{v_{накл}^2}{2}$
Выразим скорость $v_{накл}$:
$v_{накл}^2 = 2gh$
$v_{накл} = \sqrt{2gh}$

Ответ: Скорость тела в конце движения по наклонной плоскости равна $v = \sqrt{2gh}$.

Какова была бы скорость этого тела, если бы оно свободно упало на землю с высоты h?

Рассмотрим свободное падение тела с высоты $h$.
Начальные условия такие же: тело покоится на высоте $h$.
Полная начальная энергия: $E_1 = mgh$.
В конечный момент времени (непосредственно перед касанием земли) высота тела равна нулю, а его скорость равна $v_{своб}$.
Полная конечная энергия: $E_2 = \frac{m v_{своб}^2}{2}$.
По закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:
$mgh = \frac{m v_{своб}^2}{2}$
Это уравнение идентично предыдущему случаю. Решая его относительно $v_{своб}$, получаем:
$v_{своб} = \sqrt{2gh}$
Как видно, конечная скорость не зависит от траектории движения, а только от начальной высоты (при отсутствии сил сопротивления).

Ответ: Скорость тела при свободном падении была бы такой же и равна $v = \sqrt{2gh}$.