Номер 506, страница 76 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 506, страница 76.

* 506. Тело массой $m$ соскальзывает с полусферы радиусом $R$ (рис. 103). Найдите силу давления тела на поверхность полусферы в положении $M$, соответствующем углу $\alpha$. На какой высоте $h$ от вершины тело оторвётся от поверхности полусферы? Трение не учитывать.

Рис. 103

Дано:

Масса тела: $m$
Радиус полусферы: $R$
Трение отсутствует.

Найти:

1. Силу давления $P$ тела на поверхность полусферы в положении М.
2. Высоту $h$ от вершины, на которой тело оторвётся от поверхности.

Решение:

Найдите силу давления тела на поверхность полусферы в положении М, соответствующем углу α.

Рассмотрим тело в положении $M$, которое определяется углом $\alpha$ от вертикали. На тело действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно поверхности (по радиусу от центра полусферы). Согласно третьему закону Ньютона, сила давления $P$, которую тело оказывает на поверхность, равна по модулю силе нормальной реакции опоры: $P = N$.

Запишем второй закон Ньютона для тела в проекции на радиальную ось, направленную к центру полусферы. Равнодействующая сил в этом направлении сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = v^2/R$, где $v$ – скорость тела в точке $M$.

Проекция силы тяжести на радиальную ось равна $mg \cos{\alpha}$. Сила реакции опоры $N$ направлена в противоположную сторону. Таким образом, уравнение движения имеет вид:

$mg \cos{\alpha} - N = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos{\alpha} - m \frac{v^2}{R}$

Скорость тела $v$ в точке $M$ найдем из закона сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии вершину полусферы. Поскольку тело соскальзывает из состояния покоя, его начальная скорость и начальная полная механическая энергия равны нулю.

$E_{начальная} = 0$

В положении $M$ тело опускается по вертикали на высоту $h_{\alpha} = R - R \cos{\alpha} = R(1 - \cos{\alpha})$. Его потенциальная энергия становится равной $E_п = -mgh_{\alpha} = -mgR(1 - \cos{\alpha})$, а кинетическая энергия $E_к = \frac{mv^2}{2}$.

По закону сохранения энергии $E_{начальная} = E_п + E_к$:

$0 = -mgR(1 - \cos{\alpha}) + \frac{mv^2}{2}$

Из этого уравнения выразим квадрат скорости $v^2$:

$\frac{mv^2}{2} = mgR(1 - \cos{\alpha}) \implies v^2 = 2gR(1 - \cos{\alpha})$

Теперь подставим найденное выражение для $v^2$ в формулу для $N$:

$N = mg \cos{\alpha} - m \frac{2gR(1 - \cos{\alpha})}{R} = mg \cos{\alpha} - 2mg(1 - \cos{\alpha})$

$N = mg \cos{\alpha} - 2mg + 2mg \cos{\alpha} = 3mg \cos{\alpha} - 2mg = mg(3\cos{\alpha} - 2)$

Так как $P = N$, то сила давления равна:

Ответ: $P = mg(3\cos{\alpha} - 2)$.

На какой высоте h от вершины тело оторвётся от поверхности полусферы?

Отрыв тела от поверхности происходит в тот момент, когда сила взаимодействия между телом и поверхностью исчезает. Это означает, что сила нормальной реакции опоры $N$ (и, соответственно, сила давления $P$) становится равной нулю.

Приравняем полученное выражение для $N$ к нулю:

$N = mg(3\cos{\alpha} - 2) = 0$

Поскольку масса $m$ и ускорение свободного падения $g$ не равны нулю, должно выполняться условие:

$3\cos{\alpha} - 2 = 0 \implies \cos{\alpha} = \frac{2}{3}$

Это косинус угла, при котором тело отрывается от поверхности. Высота $h$ от вершины, на которую опускается тело к этому моменту, связана с углом $\alpha$ соотношением (согласно геометрии задачи):

$h = R - R \cos{\alpha} = R(1 - \cos{\alpha})$

Подставим найденное значение $\cos{\alpha}$ для момента отрыва в эту формулу:

$h = R\left(1 - \frac{2}{3}\right) = R \cdot \frac{1}{3} = \frac{R}{3}$

Ответ: $h = \frac{R}{3}$.