Номер 500, страница 75 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Закон сохранения механической энергии - номер 500, страница 75.

Условие.

500. Поезд метро, двигаясь со скоростью $72 \text{ км/ч}$, в точке $A$ отключает двигатель и подходит к точке $B$ со скоростью $54 \text{ км/ч}$. Определите длину участка $AB$, если коэффициент сопротивления движению равен $0,01$.

Решение.

Дано:

Начальная скорость поезда в точке А: $v_A = 72 \text{ км/ч}$

Конечная скорость поезда в точке B: $v_B = 54 \text{ км/ч}$

Коэффициент сопротивления движению: $\mu = 0,01$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Переведем скорости в систему СИ (м/с):

$v_A = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

$v_B = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

Длину участка АВ: $S$ - ?

Решение:

После того как поезд отключает двигатель, на него в горизонтальном направлении действует только сила сопротивления (трения), которая вызывает замедление. Движение поезда на участке АВ является равнозамедленным.

Воспользуемся вторым законом Ньютона. Сумма всех сил, действующих на поезд, равна произведению его массы на ускорение: $m\vec{a} = \sum \vec{F}$.

В проекции на горизонтальную ось, направленную по движению поезда, действует только сила сопротивления $F_{сопр}$, направленная в противоположную сторону:

$ma = -F_{сопр}$

Сила сопротивления пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$ с коэффициентом $\mu$: $F_{сопр} = \mu N$.

На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции опоры равна силе тяжести: $N = mg$.

Таким образом, сила сопротивления равна: $F_{сопр} = \mu mg$.

Подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона:

$ma = -\mu mg$

Сократив массу $m$, найдем ускорение (замедление) поезда:

$a = -\mu g$

Вычислим значение ускорения:

$a = -0,01 \cdot 10 \text{ м/с}^2 = -0,1 \text{ м/с}^2$

Для определения длины участка $S$ используем формулу кинематики для равноускоренного движения, связывающую начальную и конечную скорости, ускорение и перемещение:

$v_B^2 = v_A^2 + 2aS$

Выразим из этой формулы искомую длину участка $S$:

$S = \frac{v_B^2 - v_A^2}{2a}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$S = \frac{(15 \text{ м/с})^2 - (20 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (-0,1 \text{ м/с}^2)} = \frac{225 - 400}{-0,2} = \frac{-175}{-0,2} = 875 \text{ м}$

Другой способ решения — через закон сохранения энергии. Работа силы сопротивления идет на изменение кинетической энергии поезда.

$A_{сопр} = \Delta E_k = E_{k,B} - E_{k,A}$

Работа силы сопротивления: $A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot S = -\mu mgS$

Изменение кинетической энергии: $\Delta E_k = \frac{mv_B^2}{2} - \frac{mv_A^2}{2}$

Приравниваем оба выражения:

$-\mu mgS = \frac{mv_B^2}{2} - \frac{mv_A^2}{2}$

Сокращаем массу $m$ и выражаем $S$:

$S = \frac{v_A^2 - v_B^2}{2\mu g}$

Подставляем значения:

$S = \frac{20^2 - 15^2}{2 \cdot 0,01 \cdot 10} = \frac{400 - 225}{0,2} = \frac{175}{0,2} = 875 \text{ м}$

Ответ: длина участка АВ равна 875 м.