Номер 493, страница 75 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 493, страница 75.

493. Тележка начинает двигаться на «американских горках» из точки A с начальной скоростью $v_0 = 0$ (рис. 101). Чему равна её скорость в обозначенных на рисунке точках? Трением пренебречь.

Рис. 101

Дано:

$h_A = 99$ м

$h_B = 65$ м

$h_C = 92,5$ м

$h_D = 5$ м

$h_E = 55$ м

$v_A = 0$ м/с

$g \approx 9,8$ $м/с^2$

Найти:

$v_B, v_C, v_D, v_E$ - ?

Решение:

Поскольку по условию задачи трением можно пренебречь, для тележки выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $E$ в любой точке траектории равна сумме кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$ и остается постоянной.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh = \text{const}$

где $m$ – масса тележки, $v$ – её скорость, $h$ – высота над нулевым уровнем, а $g$ – ускорение свободного падения.

Полную энергию системы найдем по состоянию в начальной точке A:

$E_A = \frac{mv_A^2}{2} + mgh_A$

Так как тележка начинает движение из состояния покоя, её начальная скорость $v_A = 0$. Следовательно, начальная кинетическая энергия равна нулю:

$E_A = 0 + mgh_A = mgh_A$

Для любой другой точки X (B, C, D или E) на траектории, полная энергия будет такой же:

$E_X = \frac{mv_X^2}{2} + mgh_X$

Согласно закону сохранения энергии, $E_A = E_X$:

$mgh_A = \frac{mv_X^2}{2} + mgh_X$

Масса тележки $m$ присутствует в каждом члене уравнения, поэтому её можно сократить:

$gh_A = \frac{v_X^2}{2} + gh_X$

Из этого уравнения выразим скорость $v_X$ в произвольной точке X:

$\frac{v_X^2}{2} = gh_A - gh_X = g(h_A - h_X)$

$v_X^2 = 2g(h_A - h_X)$

$v_X = \sqrt{2g(h_A - h_X)}$

Теперь, используя эту общую формулу, рассчитаем скорость в каждой из указанных точек, принимая $g \approx 9,8$ $м/с^2$.

B

Для точки B с высотой $h_B = 65$ м скорость будет равна:

$v_B = \sqrt{2g(h_A - h_B)} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot (99 - 65)} = \sqrt{19,6 \cdot 34} = \sqrt{666,4} \approx 25,8$ м/с.

Ответ: $v_B \approx 25,8$ м/с.

C

Для точки C с высотой $h_C = 92,5$ м скорость будет равна:

$v_C = \sqrt{2g(h_A - h_C)} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot (99 - 92,5)} = \sqrt{19,6 \cdot 6,5} = \sqrt{127,4} \approx 11,3$ м/с.

Ответ: $v_C \approx 11,3$ м/с.

D

Для точки D с высотой $h_D = 5$ м скорость будет равна:

$v_D = \sqrt{2g(h_A - h_D)} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot (99 - 5)} = \sqrt{19,6 \cdot 94} = \sqrt{1842,4} \approx 42,9$ м/с.

Ответ: $v_D \approx 42,9$ м/с.

E

Для точки E с высотой $h_E = 55$ м скорость будет равна:

$v_E = \sqrt{2g(h_A - h_E)} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot (99 - 55)} = \sqrt{19,6 \cdot 44} = \sqrt{862,4} \approx 29,4$ м/с.

Ответ: $v_E \approx 29,4$ м/с.