Номер 495, страница 75 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 495, страница 75.

495. Шар массой $5 \text{ кг}$ падает с высоты $2 \text{ м}$ и сжимает пружину жёсткостью $500 \text{ Н/м}$ (рис. 102). Масса пружины пренебрежимо мала по сравнению с массой шара. Чему равно максимальное сжатие пружины?

Рис. 102

Дано

Масса шара, $m = 5$ кг
Высота падения, $h = 2$ м
Жёсткость пружины, $k = 500$ Н/м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальное сжатие пружины, $x$ - ?

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Так как в задаче пренебрегается сопротивлением воздуха и массой пружины, система "шар-пружина-Земля" является замкнутой, и её полная механическая энергия сохраняется.

Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии положение шара в момент максимального сжатия пружины.

Начальная полная механическая энергия системы ($E_1$) соответствует моменту, когда шар находится на высоте $h$ над пружиной. В этот момент шар покоится ($v_1=0$), а пружина не деформирована. Вся энергия системы — это потенциальная энергия шара. Высота шара относительно выбранного нулевого уровня составляет $(h+x)$.
$E_1 = E_{п1} = mg(h+x)$

Конечная полная механическая энергия системы ($E_2$) соответствует моменту максимального сжатия пружины на величину $x$. В этот момент шар на мгновение останавливается ($v_2=0$), и его высота относительно нулевого уровня равна нулю. Вся начальная энергия системы перешла в потенциальную энергию упруго деформированной (сжатой) пружины.
$E_2 = E_{упр2} = \frac{kx^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия равна конечной: $E_1 = E_2$.
$mg(h+x) = \frac{kx^2}{2}$

Мы получили квадратное уравнение относительно искомой величины $x$:
$kx^2 = 2mg(h+x)$
$kx^2 - 2mgx - 2mgh = 0$

Подставим числовые значения из условия задачи:
$500x^2 - 2 \cdot (5 \cdot 10)x - 2 \cdot (5 \cdot 10 \cdot 2) = 0$
$500x^2 - 100x - 200 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 100:
$5x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=5$, $b=-1$, $c=-2$.
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 40}}{10}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{10}$

Поскольку сжатие пружины $x$ является физической величиной (длиной) и не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком "плюс":
$x = \frac{1 + \sqrt{41}}{10}$
Используя приближенное значение $\sqrt{41} \approx 6.403$, находим $x$:
$x \approx \frac{1 + 6.403}{10} \approx \frac{7.403}{10} \approx 0.74$ м.

Ответ: максимальное сжатие пружины составляет приблизительно 0.74 м.