Номер 499, страница 75 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 499, страница 75.

499. Пружина детского пистолета, жёсткость которой 102 Н/м, имеет длину 15 см. На какую высоту поднимется шарик массой 10 г, выпущенный из пистолета вертикально вверх, если пружина пистолета была сжата до 5 см? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 102$ Н/м

Длина пружины в недеформированном состоянии, $L_0 = 15$ см

Масса шарика, $m = 10$ г

Длина сжатой пружины, $L_1 = 5$ см

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$L_0 = 15 \text{ см} = 0.15$ м
$m = 10 \text{ г} = 0.01$ кг
$L_1 = 5 \text{ см} = 0.05$ м

Найти:

Высоту подъёма шарика, $h$ - ?

Решение:

В данной задаче можно применить закон сохранения механической энергии. Система «шарик-пружина-Земля» является замкнутой, так как сопротивлением воздуха пренебрегаем. В начальный момент, когда пружина сжата, система обладает потенциальной энергией упругой деформации пружины. В конечный момент, когда шарик достигает максимальной высоты, его скорость становится равной нулю, и вся начальная энергия переходит в потенциальную энергию шарика в поле тяготения Земли.

Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии положение шарика перед выстрелом (на сжатой пружине).

1. Найдём величину сжатия пружины $\Delta x$. Это разница между её длиной в недеформированном состоянии и длиной в сжатом состоянии:

$\Delta x = L_0 - L_1 = 0.15 \text{ м} - 0.05 \text{ м} = 0.1$ м.

2. Потенциальная энергия сжатой пружины (начальная энергия системы $E_1$) вычисляется по формуле:

$E_1 = E_{p.spring} = \frac{k (\Delta x)^2}{2}$

3. Потенциальная энергия шарика на максимальной высоте $h$ (конечная энергия системы $E_2$) вычисляется по формуле:

$E_2 = E_{p.grav} = mgh$

4. Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия системы равна её конечной энергии:

$E_1 = E_2$

$\frac{k (\Delta x)^2}{2} = mgh$

5. Из этого равенства выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{k (\Delta x)^2}{2mg}$

6. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$h = \frac{102 \text{ Н/м} \cdot (0.1 \text{ м})^2}{2 \cdot 0.01 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{102 \cdot 0.01}{0.2} = \frac{1.02}{0.2} = 5.1$ м.

Ответ: шарик поднимется на высоту 5,1 м.