Номер 504, страница 76 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 504, страница 76.

504. Тело брошено под углом $ \alpha $ к горизонту с начальной скоростью $ v_0 $. На какой высоте его кинетическая и потенциальная энергии будут равны?

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$

Угол броска к горизонту: $\alpha$

Найти:

Высота $h$ — ?

Решение:

Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Полная механическая энергия тела $E$ в любой точке траектории остается постоянной и равной сумме его кинетической $E_к$ и потенциальной $E_п$ энергий.

$E = E_к + E_п = \text{const}$

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность земли ($h=0$). В начальный момент времени тело находится на земле и обладает начальной скоростью $v_0$. Его полная энергия равна:

$E_0 = E_{к0} + E_{п0} = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_0^2$

где $m$ — масса тела.

На искомой высоте $h$ полная энергия тела будет равна:

$E_h = E_к + E_п$

где $E_к$ — кинетическая энергия на высоте $h$, а $E_п = mgh$ — потенциальная энергия на высоте $h$.

По условию задачи, на этой высоте кинетическая и потенциальная энергии равны:

$E_к = E_п$

Подставим это равенство в выражение для полной энергии на высоте $h$:

$E_h = E_п + E_п = 2E_п = 2mgh$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в начальный момент времени равна полной энергии на высоте $h$:

$E_0 = E_h$

$\frac{1}{2}mv_0^2 = 2mgh$

Теперь выразим искомую высоту $h$. Для этого разделим обе части уравнения на $2mg$ (масса $m$ сокращается):

$h = \frac{\frac{1}{2}v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}$

Полученное выражение показывает, что высота, на которой кинетическая энергия равна потенциальной, зависит только от квадрата начальной скорости и не зависит от угла броска $\alpha$.

Ответ:

Высота, на которой кинетическая и потенциальная энергии тела будут равными, составляет $h = \frac{v_0^2}{4g}$.