Номер 510, страница 77 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 510. На рисунке 104 изображена «чёртова петля», которая была изобретена в 1902 г. одновременно двумя цирковыми артистами — Дьяволо (Джонсоном) и Мефисто (Нуазетом). По этой петле цирковые артисты спускаются на велосипеде на глазах изумлённой публики. С какой наименьшей высоты должен начинать движение артист, чтобы не упасть с петли в её верхней части?

Рис. 104

Дано:

R - радиус петли

v₀ = 0 - начальная скорость артиста в точке A

Найти:

h - наименьшая высота, с которой должен начинать движение артист

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии и вторым законом Ньютона для движения по окружности.

1. Рассмотрим движение артиста в верхней точке петли (точка С). На него действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $m\vec{g}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $\vec{a_c}$:

$ m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a_c} $

В проекции на вертикальную ось, направленную к центру окружности (вниз), уравнение примет вид:

$ mg + N = \frac{mv^2}{R} $

где $v$ - скорость артиста в верхней точке петли, а R - радиус петли.

2. Условие, при котором артист не упадёт с петли, заключается в том, что он должен оказывать давление на опору, то есть сила реакции опоры должна быть больше или равна нулю ($ N \ge 0 $). Наименьшая возможная скорость в верхней точке будет соответствовать случаю, когда сила реакции опоры обращается в ноль ($ N = 0 $). В этот предельный момент только сила тяжести будет обеспечивать центростремительное ускорение:

$ mg = \frac{mv_{min}^2}{R} $

Отсюда находим квадрат минимальной скорости в верхней точке:

$ v_{min}^2 = gR $

3. Теперь применим закон сохранения механической энергии. Будем считать, что трение отсутствует. Полная механическая энергия артиста в начальной точке А (на высоте h) равна его полной механической энергии в верхней точке петли С (на высоте 2R).

$ E_A = E_C $

Энергия в точке А (начальная скорость равна нулю):

$ E_A = E_{kA} + E_{pA} = 0 + mgh $

Энергия в точке С (скорость равна $v_{min}$, высота равна диаметру петли 2R):

$ E_C = E_{kC} + E_{pC} = \frac{mv_{min}^2}{2} + mg(2R) $

Приравниваем энергии:

$ mgh = \frac{mv_{min}^2}{2} + mg(2R) $

4. Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для квадрата минимальной скорости $ v_{min}^2 = gR $:

$ mgh = \frac{m(gR)}{2} + mg(2R) $

Сократим обе части уравнения на $mg$:

$ h = \frac{R}{2} + 2R $

$ h = 2.5R $

Таким образом, наименьшая высота, с которой должен стартовать артист, чтобы успешно пройти верхнюю точку петли, составляет 2.5 радиуса самой петли.

Ответ:

Наименьшая высота, с которой должен начинать движение артист, чтобы не упасть с петли в её верхней части, равна $h = 2.5R$, где R - радиус петли.