Номер 507, страница 76 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 507, страница 76.

► 507. Галилей установил, что при скатывании шара с различных по длине и углу наклона плоскостей, имеющих одну и ту же высоту, шар имел одну и ту же скорость у основания наклонной плоскости. Объясните этот результат опыта.

Дано:

Шар скатывается с наклонных плоскостей различной длины $l$ и угла наклона $\alpha$.
Начальная скорость шара $v_0 = 0$.
Высота всех наклонных плоскостей одинакова: $h = \text{const}$.
Трение и сопротивление воздуха пренебрежимо малы.

Найти:

Объяснить, почему скорость шара $v$ у основания наклонной плоскости одинакова для всех случаев.

Решение:

Данное явление объясняется законом сохранения полной механической энергии. В системе, где действуют только консервативные силы (в данном случае сила тяжести), полная механическая энергия тела (сумма его кинетической и потенциальной энергии) сохраняется.

1. Энергия шара в начальном положении.

На вершине наклонной плоскости на высоте $h$ шар покоится, поэтому его начальная скорость $v_0=0$.Его начальная кинетическая энергия $E_{к0}$ равна нулю.Начальная потенциальная энергия $E_{п0}$ относительно основания плоскости равна:

$E_{п0} = mgh$

где $m$ — масса шара, а $g$ — ускорение свободного падения.

Полная начальная механическая энергия шара $E_0$ равна его потенциальной энергии:

$E_0 = E_{к0} + E_{п0} = 0 + mgh = mgh$

2. Энергия шара в конечном положении.

У основания наклонной плоскости высота шара равна нулю ($h=0$), поэтому его конечная потенциальная энергия $E_{п1}$ равна нулю.

При скатывании шар приобретает скорость $v$. Так как шар не скользит, а катится, его кинетическая энергия $E_{к1}$ складывается из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения:

$E_{к1} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

Здесь $I$ — момент инерции шара, а $\omega$ — его угловая скорость. Для сплошного шара момент инерции $I = \frac{2}{5}mr^2$. Условие качения без проскальзывания связывает линейную и угловую скорости: $v = \omega r$, откуда $\omega = v/r$.

Подставим эти выражения в формулу для кинетической энергии:

$E_{к1} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$

Полная конечная механическая энергия шара $E_1$ равна его кинетической энергии:

$E_1 = E_{к1} + E_{п1} = \frac{7}{10}mv^2 + 0 = \frac{7}{10}mv^2$

3. Применение закона сохранения энергии.

Полная механическая энергия сохраняется, поэтому $E_0 = E_1$.

$mgh = \frac{7}{10}mv^2$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:

$gh = \frac{7}{10}v^2$

Отсюда выразим скорость $v$:

$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

Как видно из полученного выражения, конечная скорость шара $v$ зависит только от начальной высоты $h$ и ускорения свободного падения $g$. Она не зависит ни от массы шара, ни от его радиуса, ни от длины или угла наклона плоскости. Поскольку по условию эксперимента высота $h$ была одинаковой для всех плоскостей, то и конечная скорость шара у основания оказывалась одной и той же.

Ответ: Результат опыта объясняется законом сохранения механической энергии. Начальная потенциальная энергия шара ($E_п = mgh$), определяемая высотой, при скатывании полностью преобразуется в его кинетическую энергию. Так как начальная высота $h$ во всех опытах была одинаковой, то и конечная кинетическая энергия, а следовательно, и скорость шара у основания плоскости, оказывались одинаковыми, независимо от длины и угла наклона плоскости.