Номер 509, страница 77 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Закон сохранения механической энергии - номер 509, страница 77.

Условие.

► 509. Древнейшее из дошедших до нас сочинений по механике называется «Механические проблемы». Оно создано в Египте в III в. до н. э. В нём есть такая задача: «Почему, если к дереву приложить топор, обременённый тяжёлым грузом, то дерево будет повреждено весьма незначительно, но если поднять топор без груза и ударить по дереву, то оно расколется? Между тем падающий груз в этом случае гораздо меньше давящего». Автор сочинения не мог ответить на поставленный вопрос. А что ответите вы?

Решение.

Эта задача, поставленная в древности, прекрасно иллюстрирует разницу между статической силой и динамическим ударом, а также важность понятий энергии и импульса, которые не были известны автору «Механических проблем».

Случай 1: Топор с грузом приложен к дереву

Когда топор с тяжёлым грузом просто прикладывают к дереву, на него действует постоянная, статическая сила, равная их общему весу: $F_1 = (m_{топора} + m_{груза}) \cdot g$. Хотя эта сила может быть значительной, она приложена статически. Лезвие топора, имея малую площадь $A$, создает высокое давление $P_1 = F_1 / A$, которое может оставить на дереве вмятину. Однако для раскалывания дерева необходимо совершить работу по разрушению его структуры, то есть приложить силу на определённом расстоянии (глубине). В статическом положении работа не совершается, и энергия на разрушение не передаётся.

Случай 2: Топор без груза ударяет по дереву

В этом случае всё решает не вес топора, а его движение. Замахиваясь, человек совершает работу и сообщает топору скорость $v$, а значит, и кинетическую энергию $E_k = \frac{1}{2}m_{топора}v^2$. Именно эта накопленная энергия в момент удара идёт на совершение работы по раскалыванию дерева.

Ключевой момент — это само столкновение. Оно происходит за очень короткий промежуток времени $\Delta t$. За это время скорость топора падает до нуля, то есть его импульс ($p=mv$) полностью гасится. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, средняя сила удара $F_2$ определяется как отношение изменения импульса ко времени этого изменения:$F_2 = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m_{топора}v}{\Delta t}$

Поскольку знаменатель $\Delta t$ (время удара) очень мал, сила удара $F_2$ становится огромной. Она во много раз превосходит статическую силу веса топора с грузом из первого случая ($F_2 \gg F_1$). Именно эта кратковременная, но чрезвычайно большая сила, сосредоточенная на малой площади лезвия, создает колоссальное давление, которое и разрывает волокна древесины.

Таким образом, автор древнего текста ошибался, сравнивая лишь величины веса («падающий груз» и «давящий груз»). Разрушительный эффект удара обусловлен не весом, а кинетической энергией и возникающей при резкой остановке огромной силой.

Ответ: Разница в результате объясняется различием между статическим и динамическим воздействием. В первом случае на дерево действует статическая сила тяжести топора с грузом, которой недостаточно для разрушения древесины. Во втором случае топор, движущийся со скоростью, обладает кинетической энергией. При ударе о дерево эта энергия за очень короткое время преобразуется в работу по его разрушению. Возникающая при этом кратковременная сила удара ($F = \frac{m \cdot v}{\Delta t}$) оказывается во много раз больше статической силы веса, что и приводит к раскалыванию дерева.