Номер 514, страница 77 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 514, страница 77.

* 514. Велосипедист едет по дороге и видит, что на его пути находится препятствие — стена. Что надо сделать велосипедисту, чтобы избежать аварии, — затормозить или повернуть (т. е. в каком случае он пройдёт меньшее расстояние по направлению к стене)? Учесть, что одновременно тормозить и поворачивать велосипедист не может.

Для ответа на вопрос необходимо сравнить, какое расстояние в направлении к стене проедет велосипедист в двух сценариях: при экстренном торможении и при резком повороте.

Дано:

$v_0$ - начальная скорость велосипедиста
$m$ - общая масса велосипедиста и велосипеда
$\mu$ - коэффициент трения между шинами и дорогой
$g$ - ускорение свободного падения

Найти:

Сравнить расстояние, пройденное по направлению к стене при торможении ($s_1$) и при повороте ($s_2$).

Решение:

Ключевым фактором в обоих случаях является максимальная сила трения, которую может обеспечить сцепление шин с дорогой. Эта сила может быть направлена либо против движения (сила трения скольжения при торможении), либо перпендикулярно движению (сила трения покоя, обеспечивающая центростремительное ускорение при повороте). Будем считать, что максимальная величина этой силы в обоих случаях одинакова и равна $F_{тр.max} = \mu N = \mu mg$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры.

Рассмотрим оба варианта действий велосипедиста.

Торможение

При торможении максимальная сила трения направлена против скорости, создавая замедление. Согласно второму закону Ньютона, максимальное ускорение (замедление) $a_1$, которое может быть достигнуто, равно:$a_1 = \frac{F_{тр.max}}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$

Тормозной путь $s_1$ (расстояние, которое пройдет велосипедист до полной остановки) можно найти из кинематической формулы $v_k^2 = v_0^2 + 2as$. Учитывая, что конечная скорость $v_k = 0$, а ускорение $a = -a_1 = -\mu g$ (направлено против начальной скорости), получаем:$0 = v_0^2 - 2(\mu g)s_1$

Отсюда расстояние, пройденное по направлению к стене:$s_1 = \frac{v_0^2}{2\mu g}$

Поворот

При повороте сила трения направлена к центру поворота (перпендикулярно скорости) и является центростремительной силой. По условию, велосипедист не может одновременно тормозить и поворачивать, значит, его скорость по модулю остается постоянной, $v=v_0$. Центростремительная сила, необходимая для движения по окружности радиусом $R$, равна:$F_{цс} = \frac{mv_0^2}{R}$

Чтобы совершить наиболее резкий поворот (т.е. с минимальным радиусом $R_{min}$), велосипедист должен использовать максимальную силу трения:$F_{цс} = F_{тр.max} = \mu mg$

Приравнивая два выражения для силы, находим минимальный радиус поворота:$\frac{mv_0^2}{R_{min}} = \mu mg$$R_{min} = \frac{v_0^2}{\mu g}$

Чтобы избежать столкновения со стеной, велосипедисту нужно изменить направление своего движения на 90 градусов, чтобы двигаться параллельно стене. Для этого ему нужно проехать четверть окружности. Смещение велосипедиста в первоначальном направлении (к стене) за время такого маневра будет равно радиусу этой окружности. Таким образом, расстояние, пройденное по направлению к стене в этом случае, равно $s_2 = R_{min}$.$s_2 = \frac{v_0^2}{\mu g}$

Сравнение результатов

Сравним расстояния, пройденные по направлению к стене в обоих случаях:$s_1 = \frac{v_0^2}{2\mu g}$$s_2 = \frac{v_0^2}{\mu g}$

Легко видеть, что $s_2 = 2 \cdot s_1$.Это означает, что при торможении велосипедист пройдет в два раза меньшее расстояние по направлению к стене, чем при выполнении самого резкого поворота. Следовательно, торможение является более эффективным способом избежать аварии.

Ответ: Чтобы избежать аварии, велосипедисту следует тормозить. В этом случае расстояние, пройденное в направлении препятствия, будет в два раза меньше, чем при самом резком повороте.